新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章重难点突破04 立体几何表面积与体积（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章重难点突破04 立体几何表面积与体积（2份，原卷版+解析版），共8页。

A．1B．2C．4D．8
【解答】解：依题意有，底面，，且，，
则
．
所以该四面体体积为2．
故选：．
2．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为
A．B．C．D．
【解答】解：如图示圆柱中，底面半径为，底面直径为，母线长为．
过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面为一个椭圆面，且．
在直角三角形中，，，所以．
所以为母线的中点，过作与圆柱底面平行的平面则平分整个圆柱．
在下半个圆柱中，椭圆面截两部分的体积为，
所以椭圆面截整个几何体，所得两部分的体积之比为．
故选：．
3．四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，连接交的延长线于点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接交于点，连接，
则平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分，
显然，．
设平行四边形的面积为，因为点为的中点，所以，
设到平面的距离为，因为点为的中点，所以点到平面的距离为，
取中点，连接，则，且，
又点，，共线且，所以，且，
所以，所以，所以点到平面的距离为，
故，
，
因此．
故选：．
二．多选题（共1小题）
4．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，，，则
A．当时，
B．当，时，点到平面的距离为
C．当时，平面
D．当时，三棱锥的体积恒为
【解答】解：对于，
当时，此时点与点重合，由正方体性质可得，，，
所以四边形为平行四边形，从而，
又因为，所以，即，故正确；
对于，当时，此时点为的中点，
由选项分析可知，平面，平面，
所以平面，从而得点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，且△为边长为的等边三角形，
所以，从而得，解得，故错误；
对于，
当时，此时，，三点共线，
由选项分析可知平面，同理可证平面，
又因为，平面，，，平面，
所以平面平面，又平面，从而得平面，故正确；
对于，
当时，点在△中与平行的中位线上，即，
由选项分析可知平面，且平面，
所以平面，从而点到平面的距离为定值，
为点到平面的距离的一半，即，
底面为边长为的等边三角形，所以，
则的体积为，故正确．
故选：．
三．填空题（共1小题）
5．四棱锥的底面是平行四边形，点、分别为、的中点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则 ．
【解答】解：如图，
延长，交于点，连接交于点，
底面为平行四边形，与全等，
且与相似，相似比为2，
设的面积为，则四边形的面积为，
设点到底面的距离为，则，
又为的中点，，
，得，
，
，
则．
故答案为：．
四．解答题（共15小题）
6．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）证明：在三棱柱中，平面，则平面，
由平面，则，
因为，则，又为的中点，所以，
又，，平面，所以平面，
由平面，所以．
（2）设点到平面的距离为，则等于点到平面的距离，
易知，△的面积为，
所以．
7．如图，在四棱锥中，，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）设，，求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）取的中点，连接，
因为，为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，，所以，
且，，平面，所以平面．
（2）由（1）知，平面，
因为平面，所以，
又，，所以，
因为，所以为等腰三角形，
所以，
所以，
所以．
8．如图，在正四棱锥中，，分别为，的中点，．
（1）证明：，，，四点共面．
（2）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值．
【解答】解：（1）证明：因为，分别为，的中点，
所以，，
所以，
故，，，四点共面；
（2）由正四棱锥的对称性知，，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
由是的中点得，
由得，
所以．
9．《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称．如图所示，是长方体．
（1）求证：三棱锥为鳖臑；
（2）若，，，求三棱锥的表面积．
【解答】解：（1）证明：是长方体，则底面，
则，则面是直角三角形，
同时，，则面是直角三角形，
又由面，则有，面为直角三角形，
同时，，则面是直角三角形，
故棱锥的四个面均为直角三角形，故三棱锥为鳖臑；
（2）根据题意，△中，，其面积，
△中，，且，其面积，
中，，其面积，
△中，，且，其面积，
故三棱锥的表面积．
10．如图1，在中，，分别为，的中点；为的中点，，，将沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2，点是线段上的一点（不包含端点）．
（1）求证：；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）由题意可知：，，，
又为的中点，．
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，；
（2）取的中点，连接，，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，2，，，0，，，，，，1，，．
设，
则，
又，设平面的一个法向量为，
由，取，得，
又，
设直线和平面所成角的大小为，
，
解得或（舍，．
．
即三棱锥的体积为．
11．如图，在棱长为1的正方体中，点平面，且满足．
（1）利用向量基本定理求的值；
（2）求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）因为点平面，且满足，
由、、、四点共面，根据空间向量基本定理知，
，解得；
（2）以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，
所以，0，，1，，0，，，，
所以，0，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，所以，1，，
所以点到平面的距离为，
所以的面积为，
所以三棱锥的体积为．
12．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【解答】解：（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为是等边三角形，是的中点，
所以，
因为，，平面，，
所以平面，
因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，
所以．
13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点．
（1）求证：面面；
（2）若二面角的大小为，求与面所成角的正弦值；
（3）若平面与平面所成的锐二面角大小为，求四棱锥的体积．
【解答】解：（1）证明：如图，分别取、中点、，连接，，，
则且，
又，，
，，
四边形为平行四边形，，
又，
，，
平面平面，且平面平面，，
平面，平面，
，，
，且，平面，
平面，又平面，
平面平面；
（2）过点作，则平面，
由（1）得平面，
，，
所以二面角的平面角为，即，
又，
即为正三角形，
，，
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，，2，，，
又为中点，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
则，
直线与平面所成角的正弦值为；
（3）设，，
则，，，
所以，0，，，0，，，4，，，2，，，0，，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，
易知平面的一个法向量为，
又平面与平面所成的锐二面角为，
，，
解得或（舍，
则，，
所以四棱锥的体积为．
14．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义，为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．
（1）求该圆柱的侧面积的最大值；
（2）求该圆柱的体积的最大值．
【解答】解：（1）设圆柱的半径为，高为，
则由题意可得，解得，
所以圆柱的侧面积为，，
因为，
当且仅当，即时取“”，所以圆柱的侧面积最大值为．
（2）圆柱的体积为，
求导，得，
令，解得或（不合题意，舍去），
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，取最大值，
所以圆柱体的最大体积为．
15．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．
（1）已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；
（2）已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．
【解答】解：（1）证明：平面，，平面，
，，又，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，2，，，2，，，2，，，0，，，0，，
，0，，，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，1，，
，且不存在，使得，即与不共线，
与平面不平行且不垂直．
（2）设且，则，0，，，，，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
化简得，解得或（舍，
，平面，平面，
平面，平面，
，，又，，，
，，平面，平面，
，
，
，
，
．
16．已知四棱锥，底面是菱形，，底面，且，点，分别是棱和的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
【解答】解：（Ⅰ）取的中点，连接，，
因为底面是菱形，所以且，
因为点，分别是棱和的中点，所以且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）由题意可得：．
17．如图，在正四棱锥中，，是棱的中点；
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【解答】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点，连接，
因为为的中点，则，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，连接，
则底面，，，
因为为的中点，则点到平面的距离为，
三棱锥的体积：．
18．如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别是、的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的表面积．
【解答】（1）证明：取的中点，连接，，，
矩形中，是的中点，
则，且，，且，
所以，，
所以四边形是平行四边形．
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为、为直角三角形，
则，，
又因为，所以，
因为，
过点作，垂足为，设，，
则，即，
解得，从而，
所以，
所以三棱锥的表面积为．
19．如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，，．
（1）若与相似，三棱锥的外接球的球心恰为中点，求与平面所成角的正弦值；
（2）求四棱锥体积的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，平面平面，平面平面，
且，平面，平面，，
又，，，
又三棱锥外接球的球心恰为中点，
，，
，即，
，，
又，，，
设与平面所成角的正弦值为，．
即与平面所成角的正弦值为．
（2）易知四边形的面积为3，
如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
易知点在平面内，设，，，，1，，，2，，
由得，
即，即，
轨迹是在面上，以为圆心，为半径的圆，
要使四棱锥体积最大，即到平面距离最大，且最大值为，
四棱锥体积最大值．
20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积．
【解答】解：由题意可知米，米，米，所以（米．
（1）圆锥部分的侧面积为（平方米）．
圆柱部分的侧面积为（平方米）．
所以该蒙古包的侧面积为（平方米）．
（2）圆锥部分的体积为（立方米），
圆柱部分的体积为（立方米）．
所以该蒙古包的体积为（立方米）．