新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章跟踪训练04 空间直线、平面的垂直（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章跟踪训练04 空间直线、平面的垂直（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了如图，四边形，，均为正方形，在四棱锥中，，等内容，欢迎下载使用。
1．如图正方体中，，则下列说法不正确的是
A．时，平面平面
B．时，平面平面
C．面积最大时，
D．面积最小时，
【解答】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，，0，，
，1，，，，，，，，
，0，，线段的中点为，，
设平面的法向量，，，
则，取，则，，，
对于，设平面的法向量，，，，1，，，1，，
则，取，得，，，
平面平面，，，解得，故正确；
对于，设平面的法向量为，，，，0，，，，，
则，取，得，，，
平面平面，，
，解得，故正确；
对于，，则，
，
，，，
当时，取最大值，则的面积最大，故正确；
当时，取最小值，则的面积最小，故错误．
故选：．
2．如图所示，空间四边形的各边都相等，，，，分别是，，，的中点，下列四个结论中正确的个数为
①平面；
②平面；
③平面平面；
④平面平面．
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：①，分别是，的中点，
，
平面，平面，
平面，即①正确；
②由题意知，和均为等边三角形，
为的中点，，，
，、平面，
平面，即②正确；
③空间四边形的各边均相等，棱锥为正四面体，
点在底面内的投影为的中心，设为，则为线段的靠近点的三等分点，
若平面平面，则点在底面内的投影为的中点，互相矛盾，即③错误；
④由题意知，和均为等边三角形，
为的中点，，，
，、平面，
平面，
又平面，
平面平面，即④正确．
故选：．
3．如图，在四棱锥中，底，，，，，若为棱上一点，满足，则
A．B．C．1D．2
【解答】解：如图，
底面，，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
由，，得，0，，，0，，，2，，，0，，
设，则，
，2，，，．
，0，，，，，．
，2，，
由，得，即．
故选：．
4．如图，三棱台中，，现在以下四项中选择一个，可以证明的条件有：①；②；③；④．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：如图所示：
设三棱台的三条侧棱交予一点，
因为在三棱台中，，所以，
故等价于，
对于条件③：若，分别在，中运用余弦定理可得，
，
，
因为，且，所以，
所以，故，故条件③满足题意；
对于条件①，若，则，
即，
又注意到，即，且，
所以，
又，，余弦函数在上单调递减，
所以，结合以上对条件③的分析，故条件①也满足题意；
对于条件②：不妨设，是两个互相垂直的等边三角形，
且，，分别是，，的中点，
因为，，所以，因为，所以，
同时又有，满足题意，
此时，取点为的中点，连接，，由于，是两个互相垂直的等边三角形，
所以平面平面，且由三线合一可知，
又平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以，，
由于在等边中，，，故，
所以，即，所以，故条件②不满足题意；
对于条件④：分别在，中运用余弦定理可得，
，，
，
所以，
不妨设，，
所以，
即，
所以或，
换言之，在条件的情况下，
不一定成立，
所以不一定成立，故条件④不满足题意，
综上所述，满足题意的条件有：①，③；共有两个．
故选：．
5．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，为的中点，若上存在一点使得平面平面，则
A．B．C．D．1
【解答】解：取的中点，的中点，的中点为，连接，，，，
由，，
可得平面平面，
由平面平面，可得平面平面，
过作，垂足为，
底面是平行四边形，可得，
又，可得，
又，可得平面，
平面，可得，
在中，，为的中点，可得，
则平面，，
而，，
可得平面，
设，则，
而，则，，
所以，
故选：．
6．如图，四边形，，均为正方形．动点在线段上，，，分别是，，的中点，则下列选项正确的是
A．
B．平面
C．存在点，使得平面平面
D．存在点，使得平面平面
【解答】解：对于，取的中点，连接，因为是的中点，所以，
若，则，这与矛盾，故选项错误；
对于，因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以，
又，且，，平面，
则平面，故选项正确；
对于，因为直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故选项错误；
对于，连接，因为四边形为正方形，
所以，因为平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，，则平面，
记，则平面，且不在平面，
所以不存在点，使得平面平面，故选项错误．
故选：．
7．如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，，且（如图，将四边形沿折起，连结、、（如图．在折起的过程中，下列说法中正确的个数
①平面；
②、、、四点可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直．
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：对①，在图②中，连接，交于点，取中点，连接，
则为平行四边形，即，所以平面，故①正确；
对②，如果、、、四点共面，则由平面，可得，
又，所以，这样四边形为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；
对③，在梯形中，由平面几何知识易得，又，平面，
即有，平面，则平面平面，故③正确；
对④，在图②中，延长至，使得，连接，，
由题意得平面平面，四点共面．
过作于，则平面，若平面平面，
则过作直线与平面垂直，其垂足在上，矛盾，故④错误．
故选：．
8．在四棱锥中，，．，，是的中点．若平面平面，则下列三个结论：①；②；③中，正确的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：取线段的中点，连接，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为，所以，
以为坐标原点，，所在直线分别作为，轴，过点平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，所以，又因为，
所以，
所以，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
因为是的中点，所以，1，，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
①因为，所以，即，故①正确；
②因为，所以，所以，故②正确；
③因为，所以，所以，故③正确．
故选：．
9．平行四边形中，，，将绕直线旋转至与面重合，在旋转过程中（不包括起始位置和终止位置），有可能正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，不可能，若，
则与共面，
在旋转过程中不可能共面．故错误；
在中，，，，
有可能．故正确；
在中，，，
，，
，但此时是终止位置，不正确．
在中，如图，在旋转过程中，
点在平面上的投影的轨迹即为线段，
，
，
在旋转过程中与的夹角（钝角部分）会越来越大，
选项不可能．
故选：．
10．如图，垂直于以为直径的圆所在平面，为圆上异于，的任意一点，垂足为，点是上一点，则下列判断中不正确的是
A．平面B．
C．D．平面平面
【解答】解：在中，为圆上异于，的任意一点，
，
，，
平面，
故正确；
在中，平面，平面，
，
，，
平面，
平面，
，
故正确；
在中若，
则平面，
则，与矛盾，
故与不垂直，
故错误；
在中，平面，面，
平面平面，
故正确．
故选：．
11．已知在矩形中，，为的中点，沿着将翻折到，使平面平面，则的长为
A．B．C．4D．6
【解答】解：（1）如图所示，取的中点，连接，，
由题意知，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，即有，
在等腰中，，，
在三角形中，可得，
则，
故选：．
12．已知直线，分别在两个不同的平面，内，则“平面和平面不垂直”是“直线和直线不垂直”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：作出正三棱柱（如图所示），
当面为面、面为面、直线为直线、直线为直线时，
平面和平面不垂直，但直线和直线垂直，
即“平面和平面不垂直”不是“直线和直线不垂直”的充分条件；
当面为面、面为面、直线为直线、直线为直线时，
直线和直线不垂直，但平面和平面垂直，
即“平面和平面不垂直”不是“直线和直线不垂直”的必要条件；
综上所述，“平面和平面不垂直”不是“直线和直线不垂直”的既不充分也不必要条件．
故选：．
13．如图，在四棱锥中，底面是正方形，且平面平面，则
A．可能为
B．若是等边三角形，则也是等边三角形
C．若是等边三角形，则异面直线和所成角的余弦值为
D．若是直角三角形，则平面
【解答】解：由题意，底面是正方形，所以，
又平面，平面平面，平面平面，
故平面．
对于，若，则，但，所以产生矛盾，则，故选项错误；
对于，若是等边三角形，则有，所以不是等边三角形，故选项错误；
对于，若是等边三角形，设边长为2，则，
因为，则即为异面直线与所成的角，
所以，故选项正确；
对于，当是以为直角的直角三角形时，平面，
当是以（或为直角的直角三角形时，与平面不垂直，故选项错误．
故选：．
14．如图，在四面体中，，截面是矩形，则下列结论不一定正确的是
A．平面平面B．平面
C．平面平面D．平面
【解答】解：由，平面，平面，得平面，
又平面，平面平面，
，
同理，，，，，
，又，平面，
平面平面，
平面平面，和选项均正确；
由，得平面，选项正确；
不能得到或，不能得到平面，故选项不一定正确．
故选：．
15．如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，，分别为，的中点，则
A．平面且
B．平面且与不垂直
C．与平面相交且
D．与平面相交且与不垂直
【解答】解：延长、相交于点，连接并延长，
因为点、分别是，的中点，
所以，
所以、、三点共线，所以与平面相交不平行，
与平面相交不平行，故、不正确；
对于、：连接与相交于点，因为，是的中点，
所以，
又，所以，
所以，，
又，
所以，
所以，所以，
又，所以，
故正确，不正确，
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如图），则
A．正八面体各面中心为顶点的几何体为正方体
B．直线与是异面直线
C．平面平面
D．平面平面
【解答】解：对于，正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体，
它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，
该正方形对角线长等于正方体的棱长，
以各个面的中心为顶点的正方体为图形是正方体，
正方体面对角线长等于棱长的，
（正三角形中心到对边的距离等于高的，故正确；
对于，如图，连接，，，，
则、、、分别是、、、的中点，
，，
直线与是平行线，故错误；
对于取中点，连接，，，
设正方体棱长为1，则和都是边长为的等边三角形，
，，是二面角的平面角，
，，
，
平面与平面不垂直，故错误；
对于，，，，，，
平面平面，故正确．
故选：．
17．如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有
A．平面B．C．平面D．平面
【解答】解：在三棱锥中，平面，可得．
又，，可得平面，故正确；
由，为的中点，可得，而平面，平面，可得，
则平面，所以，故、都正确；
若平面，可得，而平面，即有，
可得在平面内，与重合，显然矛盾，故错误．
故选：．
18．如图所示，为圆的直径，点在圆周上（异于点，，直线垂直于圆所在的
平面，点为线段的中点，以下四个命题正确的是
A．平面B．平面
C．平面D．平面平面
【解答】解：平面，故错误；
是的中位线，，
又平面，平面，
平面，故正确；
是直径，，
又平面，平面，
，又，
平面，故错误；
又平面，
平面平面，故正确．
故选：．
19．在四棱锥中，已知底面，底面为正方形，则下列命题中正确的
A．平面
B．平面
C．为直线的方向向量
D．直线的方向向量一定是平面的法向量
【解答】解：因为平面，平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，又，，平面，
所以平面，故正确；
因为，平面，平面，所以平面，故错误；
因为，所以为直线的方向向量，故正确；
因为平面，平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以直线的方向向量一定是平面的法向量，故正确．
故选：．
20．在空间直角坐标系中，已知点，1，，，0，，，1，，则下列说法正确的是
A．点关于平面对称的点的坐标为，1，
B．若平面的法向量，，，则直线平面
C．若分别为平面，的法向量，则平面平面
D．点到直线的距离为
【解答】解：在空间直角坐标系中，点，1，关于平面对称的点的坐标为，1，，故正确；
，0，，，1，，，
又平面的法向量，，，，则平面，故错误；
，，，
且分别为平面，的法向量，平面平面，故正确；
，在上的投影为，
则点到直线的距离为，故正确．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．中，，，，为中点，将沿折叠，当平面平面时，，两点之间的距离为 ．
【解答】解：取中点，连结，，
中，，，，为中点，
，
，
，
，
将沿折叠，当平面平面时，
平面，，
，两点之间的距离．
故答案为：．
22．平面与平面垂直的判定定理符号语言为： ，（答案不唯一） ．
【解答】解：平面与平面垂直的判定定理：，．
故答案为：，（答案不唯一）．
23．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接，，，，，则图中所标的各线段中，一定与垂直的线段有 3 条；若，则的值是 ．
【解答】解：与为正方形的两对角线，
，又垂直于正方形所在的平面，，
又，平面，
，，，
一定与垂直的线段有3条；
，垂直于正方形所在的平面，，
，平面，同理平面，
，，
若，不妨设，则，，
同理可得，又，在中由余弦定理可得：
．
故答案为：3；．
24．已知矩形的边，，平面，若边上有且只有一点，使，则的值为 1.5 ．
【解答】解：平面，
，
若边上存在点，使，
则面，
即，
以为直径的圆和相交即可．
，
圆的半径为3，
要使线段和半径为的圆相切，
则，
即，
的值是1.5．
故答案为：1.5．
25．在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为 ．
【解答】解：由题意，以为坐标原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，1，，，1，，，0，，
可得，1，，得，，，
所以，，，，，，
由，可得，即，解得或，
所以实数的值为．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
26．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，且交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求证：平面平面．
【解答】证明：（1）连结交于，连结，
是正方形，是的中点．
是的中点，是的中位线．
，又平面，平面，
平面；
（2）是正方形，
底面，底面，，
又，且，平面，
平面，又平面，
；
（3）底面，底面，
，易知，
又，且，平面，
平面，又平面，
，又，是的中点，，
又，且，平面，
平面，又平面，
，又，且，，平面，
平面．又平面，
平面平面．
27．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面．，分别为线段，的中点．
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：连接交于点，连接，
因为四边形是菱形，
所以点为的中点．
又因为为的中点，
所以．
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）三角形为正三角形，且侧面底面，是的中点，
，平面，
连接，取的中点，连接，
则是的中位线，
，即平面，
延长交于，则平面平面．
因为，
所以，，
又因为，
所以，
则，
故存在点使得平面平面，．
28．如图，在直三棱柱中，平面平面，侧面 是边长为2的正方形，，分别是与的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）取中点，连接、，
则，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
（2）连接，
是正方形，
，
又平面平面 且交线为，平面，
平面，
又平面，
，
又直三棱柱中平面，平面，
，
又，
平面，
又平面
．