新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章重难点突破01 外接球（2份，原卷版+解析版）

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A．B．C．D．
【解答】解：由于，故是等腰直角三角形，取的中点，
在上取点，使得，
由面面垂直的性质可知平面，
由于是的外心，故球心必然在上，
注意到，故点为三棱锥外接球的球心，
由可得，
且，故球的半径，
球的表面积．
故选：．
2．已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：正六棱柱的所有棱长均为2，故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线的中点，
故，表面积为．
故选：．
3．三棱锥为正三棱锥，且，侧棱，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：因为三棱锥为正三棱锥，且，侧棱，
所以，，
即三棱锥与正方体有相同的外接球，
所以三棱锥的外接球的半径，表面积为．
故选：．
4．已知圆锥的底面积为，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意得，所以，
因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，得，
易知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其外接圆的半径即圆锥外接球的半径，
所以，
故该圆锥外接球的表面积．
故选：．
5．正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为，
正四棱锥的高为，又球心在正四棱锥的高上，
该正四棱锥的体积为，，，
设外接球的半径为，则在直角三角形中，
，解得．
球的表面积．
故选：．
6．在三棱锥中，、、两两互相垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示，因为，，两两互相垂直，故将三棱锥补成一个长方体，
由题意知球心为中点，所以外接球半径，
因为，，，所以，
则，
所以球的表面积为．
故选：．
7．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为
A．3B．C．D．6
【解答】解：由正弦定理得，外接圆直径为，得，
设球心到平面的距离为，则，
三棱锥的外接球半径为．
故选：．
8．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为
A．B．C．D．
【解答】解：，，则是等腰直角三角形，
为所在截面圆的直径，
取的中点，则为外接圆圆心，
设三棱锥外接球的球心为，
则平面，
底面的面积为定值，
当，，共线且，位于截面同一侧时，棱锥的最大高度为，棱锥的体积最大，
则三棱锥的体积，解得，
设外接球的半径为，则，，
在中，，
在中，，
由勾股定理得：，解得．
外接球的体积．
故选：．
9．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为
A．B．C．D．
【解答】解：由，，所以的外接圆直径，
，
由于底面，，
所以外接球的半径，
，
所以外接球的体积．
故选：．
10．已知在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，设，，为的外心，为三棱锥外接球的球心，
则平面，又平面，所以，平面，
则，四边形是直角梯形，设，，，
由平面，平面，得，
则，即，
又，则，
，
令，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以三棱锥外接球表面积．
故选：．
11．三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
取中点，连接，，则，，
平面平面，平面，平面，
取的外心，的外心，
分别过，作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接，
由与均为边长为2的等边三角形，得，，
，
三棱锥外接球的表面积．
故选：．
12．在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的正三角形，是正方形，则四棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：连接交于，球心在底面的射影必为点，取的中点，在截面中，连结，如图，
在等边中，的中点为，
所以，又平面平面，是交线，
所以平面，且，
设，外接球半径为，
则在正方形中，，，
在中，，
而在截面中，，
由可得：
解得，
所以，
所以．
故选：．
13．三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：因为平面，，平面，
所以，，又因为，
所以三棱锥的外接球，就是以，，为长宽高的长方体的外接球，
外接球的直径等于长方体的对角线，
即，所以外接球的表面积为，
故选：．
14．已知直三棱柱中，底面边长分别为、、3，高，则该三棱柱的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：不妨设，由余弦定理可得，
且，则，
所以的外接圆半径，
可得该三棱柱的外接球的半径，
所以该三棱柱的外接球的表面积为．
故选：．
15．三棱锥中，是边长为的正三角形，，，为中点且，则该三棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：棱锥中，是边长为的正三角形，，，为中点且，
由题设易得，则，即，
又，，，面，则面，
若的中心为，则外接球球心在过垂直于面的直线上，
又，结合线面垂直模型知：外接球的半径，
所以，外接球表面积为．
故选：．
16．已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
【解答】解：取的中点，连结、
平面，平面，，
又，，平面，
平面，，
是的斜边上的中线，．
同理可得：中，．
，可得、、、四点在以为球心的球面上．
中，且，可得，
由此可得球的半径，，
故选：．
17．如图，正方体中的棱长为2，，分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，
则，2，，，2，，，0，，，0，，设球心为，，，外接球半径为，
于是，解得，
即球心，球半径，显然，符合题意，
所以四棱锥的外接球半径，表面积．
故选：．
18．已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，折叠后的四面体中，，，且，，，
设的外心为，外接圆半径，过作平面，过作，则四边形为矩形，
，
中，，，故，
由正弦定理可得，，即，则可得外接球球心在的中点，，
四面体的外接球表面积．
故选：．
19．在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：取中点，连接根据题意，因为为等腰直角三角形，
所以的外心为斜边的中点，，
又因为，
所以的外接圆半径为2，
因为平面平面，平面平面，
为等边三角形，所以，
所以平面，
所以外接球球心在直线上，
且，为的外心，
因为为等边三角形，所以，
所以由正弦定理有，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
20．四棱柱中，侧棱底面，，底面中满足，，，为上的动点，为四棱锥外接球的球心，则直线与所成角的正弦值的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为在四棱柱中，侧棱底面，
所以四棱柱为直四棱柱，所以，，
因为，所以，，两两垂直，
所以以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，，
所以，0，，，2，，，2，，，0，，
，0，，，0，，，2，，，2，，
球心在平面的投影坐标为，则设球心，
因为，所以，
解得，所以，
设，0，，，，则，0，，，
所以，
设，则，
所以当，即时，有最大值，
此时直线与所成的角最小，则其对应的正弦值也最小，正弦值为．
故选：．
21．古代数学名著《九章算术商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：因为四棱锥为阳马，平面，，，
将四棱锥补成以，，为邻边的长方体，
则长方体体对角线即为外接球的直径，
所以，
设外接球的半径为，
所以，
故，
所以，
故选：．
22．如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为为等腰直角三角形，，
所以的外接圆的圆心为的中点，且，
连接与的中点，则，所以平面，
设球的球心为，由球的截面性质可得在上，
设，，半径为，
因为，所以，
所以，又，
所以，
因为，所以，
所以三棱锥的外接球表面积的最大值为．
故选：．
23．在中，，为的中点．将沿进行旋转，得到三棱锥，当二面角为时，的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，，
二面角的平面角是，，
又，
由余弦定理可得，
平面，将三棱锥补形成直三棱柱，
三棱锥的外接球球心就是直三棱柱的外接球球心，
取外接圆的圆心，外接圆的圆心，
根据对称性知直三棱柱的外接球球心是的中点，
，，
又的外接圆的半径，，
在中，，
即，三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
24．已知四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，
得，
，
设为的中点，为，的交点，连接，，
则为的中点，故，且
因为底面，故平面，
平面，故，
而四边形是边长为2的正方形，故，
故，则，
又，故，
同理求得，即，
故为四棱锥的外接球的球心，则半径为，
则该四棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
25．我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，
A．B．C．D．
【解答】解：设圆柱的高为，
由题意可得，
所以，
设圆柱的外接球为，当最小时，圆柱的外接球表面积最小，
由题意可得
，
当且仅当，即时，取等号，
所以当圆柱的外接球表面积取得最小值时，．
故选：．
26．已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一球面上，，，，则四棱锥外接球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：
由题意知，，又，又，平面，
所以平面，而平面，则平面平面．
由条件知，所以．
如图，取的中点，连接，交于点，则是的外心，为正方形的中心，
过点作平面的垂线，则点在该垂线上，所以为四棱锥外接球的球心．
由于，
所以四棱锥外接球的表面积为．
故选：．
27．在四面体中，底面，，，点为三角形的重心，若四面体的外接球的表面积为，则
A．B．2C．D．
【解答】解：设的中点为，
点是的重心，，
设的外心为，由题意点在上，
令，则，
即，解得，
平面，
四面体的外接球的半径满足，
由题意得，，
解得，
．
故选：．
28．已三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，为的外接圆的圆心，，那么三棱锥外接球的半径为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，，，，
是以角为直角的直角三角形，为圆的直径，
则，
，，，
在中，由余弦定理得，
即，得，
则，得，，
，为的中点，，
，，平面，平面，
三棱锥外接球的球心在直线上，得，
在中，由，得，解得，
三棱锥外接球的半径为．
故选：．
二．填空题（共2小题）
29．在三棱柱中，已知平面，，，，则该三棱柱外接球的表面积为 ．
【解答】解：设△，与的外心分别为，，
则线段的中点为外接球的球心．
设外接圆的半径与该三棱柱外接球的半径分别为，，
由正弦定理知，解得，
所以：，
从而三棱柱外接球的表面积．
故答案为：．
30．在三棱锥中，是等边三角形，平面，，，是的中点，球为三棱锥的外接球，是球上的一点，则三棱锥体积的最大值是 ．
【解答】解：因为是等边三角形，为的中点，所以，
又平面，平面，所以，又，
所以平面，又平面，
所以，
因为平面，且平面，
所以，
所以的中点到点，，，的距离相等，
所以三棱锥外接球的球心为的中点．
设三棱锥外接球的半径为，
则，解得，
因为外接圆的圆心为的中点，
设为，连接，因为，分别为，的中点，
则，故平面，如图．
则有，即到平面的距离为，
因此到平面距离的最大值为，
又，
所以三棱锥体积的最大值是．
故答案为：．