新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章跟踪训练03 空间直线、平面的平行（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章跟踪训练03 空间直线、平面的平行（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．设与分别为圆柱上下底面圆周上的点，且位于该圆柱轴截面同侧，下底面圆心在上，若，，，则直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：设圆柱底面半径为，高为，过作，连接，，，，
由题设弧长的数量关系知：为边长为的正三角形且，垂直于圆柱底面，
则，，
在△中，由余弦定理可得：，
整理可得，
因为，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）．
在△中，，
所以直线与所成角的余弦值为，
故选：．
2．如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：由，，，
得，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，1，，
所以，，
所以，
即直线与所成角的余弦值为．
故选：．
3．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为
A．B．C．D．
【解答】解：取中点点，连接，，，作图如下：
因为为正方体，所以易知，
在中，因为，，分别为，的中点，所以，
所以，
所以即为异面直线与所成的角，
设正方体棱长为2，
易知，，，
所以为等边三角形，所以，
故选：．
4．下列命题正确的是
（1）已知平面和直线，，若，，则；
（2）已知平面，和直线，，且，为异面直线，，．若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于；
（3）已知平面，和直线，，若，，，，则；
（4）在三棱锥中，，，，垂足都为，则在底面上的射影是三角形的垂心
A．（2）（4）B．（2）（3）（4）C．（3）（4）D．（1）（2）
【解答】解：对于（1）：在正方体中，平面，
又平面，显然与异面，故（1）错误；
对于（2）：假设，因为，所以，又，所以（矛盾），
故与相交，记交线为．
过直线上点作，记，所在平面为，
因为，，，，所以，，
又，所以，
因为，，，所以．
因为，，所以，
又，，，，
所以，所以，（2）正确；
对于（3）：由面面平行判定定理可知（3）错误；
对于（4）：作平面，因为平面，所以，
因为，，，
所以平面．
又平面，所以．
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，即点在的边的高上．
同理，点在的边和边的高上，
所以点为高的交点，即为的垂心，（4）正确．
故选：．
5．如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接，，设，连接．
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，，，所
以，，
所以，，
故异面直线，所成角的余弦值为．
故选：．
6．在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设与所成角为．
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．
则，0，，，1，，，1，，，0，，
，，0，，，
设，
则，．
，，
当时，，；
当时，，，
此时，，
当且仅当时等号成立．
．
故选：．
7．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
又因为侧棱与底面垂直，
所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易得，0，，，0，，，0，，，3，，
所以，
设异面直线与所成角为，
则，．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
8．如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：设，因为，所以，
分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，2，，
所以，，
所以，，
故直线与直线所成角的余弦值为．
故选：．
9．在正方体中，异面直线，所成角的大小为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，所以为异面直线与所成角的平面角，
因为△为正三角形，
所以，
即异面直线，所成角的大小为．
故选：．
10．如图，在正四棱台中，，分别为上、下底面中心，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是
A．是直角梯形B．是直角梯形
C．直线与直线异面D．直线与直线异面
【解答】解：由棱台的定义可知可将正四棱台补全为如图所示正四棱锥，
因为，分别为上、下底面中心，所以、、三点共线，
且底面，底面，底面，底面，
所以，，
又，且，所以是直角梯形，故正确；
因为，分别为，的中点，与△均为等腰三角形，且，，
所以，，
又，，所以是直角梯形，故正确；
因为，，所以直线与直线异面，故正确；
由，所以直线与直线相交于点，故错误．
故选：．
11．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，0，，，0，，，0，，，1，，
，0，，，1，，
设与所成角为，
则，
与所成角的余弦值为．
故选：．
12．已知正三棱柱的所有棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：取中点点，连接，根据题意作图如下：
因为，分别是和的中点，所以，且，
故四边形为平行四边形，所以，
所以即为与所成的角，
设正三棱柱的棱长为2，
易知，，，，
在△中，根据余弦定理得．
故选：．
13．四棱柱中，侧棱底面，，底面中满足，，，为上的动点，为四棱锥外接球的球心，则直线与所成角的正弦值的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：因为在四棱柱中，侧棱底面，
所以四棱柱为直四棱柱，所以，，
因为，所以，，两两垂直，
所以以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，，
所以，0，，，2，，，2，，，0，，
，0，，，0，，，2，，，2，，
球心在平面的投影坐标为，则设球心，
因为，所以，
解得，所以，
设，0，，，，则，0，，，
所以，
设，则，
所以当，即时，有最大值，
此时直线与所成的角最小，则其对应的正弦值也最小，正弦值为．
故选：．
14．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：在平行六面体中，，，，
则，，
又，，
则，
又，
即，
又，
则．
故选：．
15．若，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是
A．若，，且，则
B．若，相交且都在，外，，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【解答】解：，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，
对于，若，，且，则与相交或平行，故错误；
对于，若，相交且都在，外，，，，，
设，确定一个平面，则，，，故正确；
对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，则与相交、平行或异面，故错误．
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过△的重心，点，分别是，的中点，且、、、四点共面，则下列结论正确的是
A．B．平面
C．D．平面平面
【解答】解：对于，因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
因为，分别是，的中点，
所以，，
所以，所以正确；
对于，由选项可知，
因为平面，平面，
所以平面，所以正确；
对于，因为，，
所以，
因为经过△的重心，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，所以正确；
对于，因为，，
所以，
因为，
所以四边形为梯形，且与为腰，
所以与必相交，
因为平面，平面，
所以平面与平面相交，所以错误．
故选：．
17．在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，为正方体表面上的一个动点，下列说法正确的是 ．
A．平面
B．平面截正方体所得的截面面积为
C．满足平行于平面的点的轨迹总长度为
D．异面直线与所成角的正弦值为
【解答】解：连接，，，
，分别为，的中点，
，
又，
，，，，四点共面，
连接，，，，
，
，
与不垂直，
与平面不垂直，故错误；
平面截正方体所得的截面，为等腰梯形，
，梯形的高为，
截面面积为，故正确；
取的中点，则，
又，
，，，，四点共面，
，平面，平面，
平面，
同理，平面，
又，，平面，
平面平面，
由题意知，满足平行于平面的点的轨迹为等腰梯形，
，
则点的轨迹总长度为，故正确；
，
为异面直线与所成的角，
，
由余弦定理得，，
则，
即异面直线与所成角的正弦值为，故正确．
故选：．
18．在正方体中，点、、分别为棱、、的中点，下列命题中正确的是
A．
B．平面
C．平面
D．异面直线、所成角的大小为
【解答】解：如图，
．连接，则，而，则，故正确；
．，平面，平面，平面，故正确；
．，，，平面，故正确；
．，为异面直线、所成角，连接，可得△为等边三角形，则，
即异面直线、所成角的大小为，故错误．
故选：．
19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是
A．在棱上存在点，使平面
B．异面直线与所成的角的余弦值为
C．直线与平面所成的角为
D．平面
【解答】解：对于，取中点，连接，，，
四边形为菱形，，为等边三角形，
又为中点，；为等边三角形，，
又，，平面，平面，
棱上存在点，为中点，使得平面，正确；
对于，，直线与所成角即为；
由知：若为中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，
设，则，，
又，，
即直线与所成角的余弦值为，正确；
对于，由知：若为中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，平面，即为直线与平面所成角，
又，，，
即直线与平面所成角为，正确；
对于，取中点，连接交于点，连接，，
假设平面，平面，；
由知：平面，平面，，
，，平面，平面，
平面平面，又平面平面，假设错误，错误．
故选：．
20．已知，，是不同的平面，，，是不同的直线，则下列命题正确的是
A．若，，则
B．若，，，则，，两两平行
C．若，，，则
D．若，，，则
【解答】解；对于中，若，，则或相交或异面，所以不正确；
对于中，若，，，则，，两两平行或相交于一点，所以不正确；
对于中，如图所示，设，，
在平面取一点，过点分别作，，
因为，，且，所以，同理可证，
又因为，即，，所以，，
因为且，平面，所以，所以正确；
对于中，由，，，根据面面平行的性质，可得，所以正确．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．已知直三棱柱的侧棱与底面边长都相等，，分别是和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于 ．
【解答】解：直三棱柱的侧棱与底面边长都相等，，分别是和的中点，
连接，取的中点，连接，，所以异面直线和所成角就是，
设棱长为2，可得，，，
所以．
故答案为：．
22．在如图所示的直四棱柱中，，，点在侧面内（含边界）运动，若点到直线与直线的距离相等，则直线与直线所成角的正弦值的最大值为 ．
【解答】解：由题意，设于，于，于，如图连接，
由题意，，即，
以为坐标原点，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系，
由，可得的轨迹方程为，即双曲线在正方形中的部分，
由双曲线的一条渐近线为，即对角线，
故当在上时，取最大值，此时最大，，，
，又，故直线与直线所成角为，
即直线与直线所成角的正弦值的最大值为．
故答案为：．
23．三棱锥中，，，两两垂直且相等，点，分别在线段和上移动，且满足，则和所成角余弦值的取值范围是 ．
【解答】解：由直线，，两两垂直且相等，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
如图所示，不妨取．则，2，，，0，．
设，，，，，，，，，，．
则，，，，，，，
解得，．，，．
设，0，，，则，
又，．
设，则，
所以，
由，则，，则，
当，时，，同时达到最小值，此时取得最小值，
所以有最大值，即此时，2，，，0，．
当，时，，同时达到最大值，此时取得最大值，
所以有最小值，即此时，1，，，0，．
综上可得，和所成角余弦值的取值范围是．
故答案为：．
24．在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为 ．
【解答】解：分别取、中点、，连结、、，
点为棱的中点，，，
，，平面平面，
为菱形内一点（不包含边界），满足平面，
点的运动轨迹是线段，（不含端点和，
，直线与直线所成角就是与所成角，
平面，当与中点重合时，取最小值，
此时，，，
的最小值为：
．
的最小值为．
故答案为：．
25．已知体积为6的四面体满足，，，则异面直线与所成的角的大小为 或 ．
【解答】解：如图过点作且，连接，，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
由题可知是正方形，
所以，因为，，
所以，又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以，
过作于，由平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
因为四面体体积为6，
则四棱锥的体积为，
所以，又，
所以，又，
所以或，
当时，为等边三角形，，
在中，，，
当时，，，
在中，，，
所以异面直线与所成的角的大小为或．
故答案为：或．
四．解答题（共3小题）
26．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点．
（1）当为的中点时，求证：平面．
（2）当平面，求出点的位置，说明理由．
【解答】证明：（1）在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，
取中点为，连接，，
在中，为的中点，为中点，
，
在平行四边形中，为的中点，
，
，，
四边形为平行四边形，
，面，面，
平面；
解：（2）连接，，相交于，连接，
面，面面，面，
，
即存在点，为上靠近点的三等分点．
27．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．
（1）用空间的一个基底表示，并求的长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：（1）由，，，构成空间的一个基底．
因为，
所以，
所以．
（2）由，，
所以，
，
异面直线与所成的角为，余弦值为0．
28．如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，圆柱的体积为．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【解答】解：（1）在圆中，由，得，
圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，由，得．
则圆柱的表面积为；
（2）由题意知，则异面直线与所成角即为，
又，
在△中，又，，
．
则异面直线与所成角的大小为．