新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章专题7.4 空间直线、平面的垂直（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第07章专题7.4 空间直线、平面的垂直（2份，原卷版+解析版），共8页。
\l "_Tc154093804" 题型四： 直线与平面所成的角 PAGEREF _Tc154093804 \h 14
\l "_Tc154093805" 题型五： 二面角 PAGEREF _Tc154093805 \h 18
\l "_Tc154093806" 题型六： 存在性问题 PAGEREF _Tc154093806 \h 21
知识点总结
直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
(2)判定定理与性质定理
平面与平面垂直
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的范围是[0°，180°].
(2)判定定理与性质定理
空间距离
(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
垂直、平行关系的相互转化
例题精讲
直线与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．，，B．，
C．，D．，
已知直线，和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是
A．B．C．D．
已知平面上的一条直线和这个平面的一条斜线，则“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
已知直线和平面，则下列命题中正确的是
A．若与斜交，则内不存在与垂直的直线
B．若，则内的所有直线与都垂直
C．若与斜交，则内存在与平行的直线
D．若，则内的所有直线与都平行
若为一条直线，，，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是
A．，B．若，
C．，D．若，
已知直线，与平面，，，能使的充分条件是
A．，，B．，
C．，D．，，
如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点．
（Ⅰ）若点为线段中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面．
如图，在长方体中，，，，分别是，的中点．求证：
（1）四边形为平行四边形；
（2）平面．
如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
如图，在三棱锥中，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
平面与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
如图所示，在四棱锥中，是正方形，平面，，，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）证明：平面平面．
如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为2，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为棱上一动点．
（1）在棱上何处时，可使得平面？并证明你的结论；
（2）求证：平面平面．
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，．点为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
垂直关系的判断
【要点讲解】三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，平面，于．给出下列四个结论：
①；
②平面；
③平面；
④．
其中正确的选项是 ．
已知，是两个互相垂直的平面，，是一对异面直线，下列五个结论：
（1），
（2），
（3），
（4），
（5），，．
其中能得到的结论有 （把所有满足条件的序号都填上）
如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点．则满足的是 ．（填写正确的序号）
以下四个正方体中，满足平面的有
A．B．
C．D．
如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有
A．平面B．C．平面D．平面
如图，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则
A．
B．平面
C．直线与是异面直线
D．直线与平面的交点是的外心
棱长为2的正方体的展开图如图所示．关于该正方体，下列说法正确的是
A．
B．平面
C．平面平面
D．动点在正方体的表面上运动，为中点，且，则点的运动轨迹围成的面积为
在正四面体中，，，分别为，，的中点，则
A．与平行，平面平面
B．与异面，平面平面
C．与平行，与平面平行
D．与异面，与平面平行
在三棱柱中，为的中点，，平面，，则下列结论错误的是
A．平面平面B．平面平面
C．平面D．
如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是
A．B．
C．平面D．平面平面
如图，正方体中，点、、、分别为棱，，，的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是
①与异面；
②平面；
③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形；
④平面平面．
A．1个B．2个C．3个D．4个
设，为两条直线，，为两个平面，若，则
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
直线与平面所成的角
【要点讲解】(1)根据线面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．(2)射影法：设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ，则cs θ＝eq \f(|A′B′|,|AB|)；设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，则cs θ＝eq \f(S△A′B′C′,S△ABC). (3)向量法，详见后续内容.
正方体中，直线与平面所成的角为
A．B．C．D．
正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
在棱长为2的正方体中，为上的动点，则与平面所成角的正切值不可能为
A．1B．C．D．
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．
如图1，是边长为6的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
二面角
【要点讲解】根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．
如图，在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为
A．B．C．D．
如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为
A．B．C．D．
如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则
A．B．C．D．
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点，如图：
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求平面与平面所成的二面角的大小．
如图，在三棱柱中，平面，为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角大小的余弦值．
存在性问题
如图，在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线
A．有且仅有1条B．有且仅有2条C．有无数条D．不存在
在正四面体中，已知，分别是，上的点（不含端点），则
A．不存在，，使得
B．存在，使得
C．存在，使得平面
D．存在，，使得平面平面
如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为
A．存在点，使得B．存在点．使得
C．直线始终与直线异面D．直线始终与直线异面
如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面相互垂直，已知，．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．
如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使面面？并证明你的结论．
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）证明：；
（2）线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．
文字语言
图形表示
符号表示
判定
定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(m⊂α,n⊂α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))
⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))
⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定
定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂α,a⊥β))
⇒α⊥β
性质
定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥al⊂β))
⇒l⊥α