新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第03章重难点突破05 含参导数的分类讨论（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第03章重难点突破05 含参导数的分类讨论（2份，原卷版+解析版），共8页。
(2)分三种情况分类讨论的大小关系,判断不同区间对应导数的正负;
(3)通过分类讨论情况,综合得到所求的函数单调性及单调区间.
二、当导函数属于一元二次函数类型时,需要对对应的判别式的大小进行分类讨论,根据与0的大小关系判断实数根的个数,从而对函数单调性作出解答.
根据判别式讨论函数单调性问题,基本思路为:
(1)求出导函数解析式,判断判别式的符号的正负;
(2)讨论大小对应情况,从而确定方程实数根的个数;
(3)结合实数根对应不同的具体图象,从而判断函数的单调区间.
三、当导函数类型不明确时,参数的不同情况会导致函数导函数类型不同,因此当参数决定导函数类型时,应对参数进行分类讨论从而判断对应函数的单调区间。
以导函数类型为依据的分类讨论解题思路一般为:
(1)对所求函数求导,得到具体到函数解析式;
(2)对参数进行分类讨论,探讨不同类别导函数在规定区间的具体值,判断对应函数单调区间;
(3)综合所有情况,对函数的单调区间做出总结,即对应问题所求.
1．（2023春•商洛期末）已知函数．
（1）当时，求在，上的最值；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值（2），
又，（4），
所以在，上的最大值为32，最小值为；
（2）易知，
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
若，即时，，单调递增；
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当 时，函数在和上单调递增，
在上单调递减．
2．（2023春•荔湾区期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
【解答】解：（1），
，
当时，，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
当时，令得或，
①若，即时，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
在，上，单调递增，
②若，即时，
在上，单调递增，
在，上，单调递减，
在上，单调递增，
③若，即时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在，上单调递减，
当时，在单调递增．
3．（2023春•朝阳期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
【解答】解：（1）因为，
所以，
当时，，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
当时，令，得，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
4．（2023春•铁西区校级期中）已知函数．
（1）当时，求函数在，上的最大值和最小值；
（2）试讨论函数的单调性．
【解答】解：（1）当时，，
，
令，得或，
所以在上，，单调递减，
在，上，单调递增，
，
，
（1），
（4），
所以，．
（2），
令得或，
当，即时，，
所以在上单递增，
当，即时，
在，上，，单调递增，
在上，，单调递减，
当，即时，
在，上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述，当时，在上单递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
5．（2023春•越秀区校级月考）设函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，的图象与的图象有2条公切线．
【解答】解：（1），
，
令，，
△，且，
方程的根为或，，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减．
（2）证明：设，，，分别是，图象上的点，
所以在，处的切线方程为，即，
所以在，处的切线方程为，
在，处的切线方程为，即，
所以在，处的切线方程为，
若和有共切线，则，
所以，
若的图象与的图象有2条公切线．则有两个根，
令，
，
，
所以在上单调递减，
又（1），（2），
所以存在使得，即，即，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
所以，
因为，
所以，
所以当时，方程有两个根，得证．
6．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数．
（1）若在，上单调递增，求的取值范围．
（2）求的单调区间．
【解答】解：（1）由题意得的定义域为，，
当时，，在单调递增，满足题意；
当时，由得（不符合题意，舍去）或，
要使在，上单调递增，则，即，
综上所述，的取值范围为，；
（2）由（1）得当时，在单调递增，
当时，在单调递增，
由得，即在单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
7．（2023•中卫一模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【解答】解：（1）的定义域为，，．
当时，，则，
当时，可知在上单调递增，
当时，令，得，今，得．
因为，所以为偶函数，
所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
8．（2023春•怀仁市期末）已知函数，．
（1）若时，求在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
【解答】解：（1）当时，，，，，
切线方程为：，即．
（2）因为，，
所以．
①当时，令，得，在上单调递减；
令，得，在上单调递增；
②当时，令，得，在上单调递减；
令，得或，在和上单调递增，
③当时，在时恒成立，在单调递增；
④当时，令，得，在上单调递减；
令，得或，在和上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增．
9．（2023春•芗城区校级月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
【解答】解：（1），函数定义域为，，
若，则，在递增，
若，，解得：，，解得：，
在单调递减，在单调递增．
10．（2023春•唐山期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有且仅有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，是减函数，时，，是增函数；
综上，时，在上是增函数，时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）当时，由（1）得在上是增函数，不符合题意；
当时，由（1）得；
①当时，，只有一个零点，不符合题意；
②当时，，故在有一个零点，
又在上是增函数，
设（a）（a），（a）（a），（a）（1），
（a）在单调递增，（a）（1），
（a）在单调递增，（a）（a）（1），
设，由知，
当，，单调递减，当，，单调递增，
（1），即，
故在有一个零点，故函数有两个零点；
③当时，，故有一个零点，
又在上是减函数，，由②得，
故在有一个零点，故函数有两个零点；
综上，或，
实数的取值范围为，，．
11．（2023春•锦州期末）已知函数．
（1）若是函数的极小值点，求的值；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1），
令，得：，，
由于是函数的极小值点，所以（1），即，
此时因为时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，故满足题意．
（2）时或，
时，的解为或，此时在，和，上单调递增；
的解为，此时在，上单调递减；
时，的解为或，此时在，和上单调递增；
的解为，此时在，上单调递减；
时，恒成立，此时在上单调递增．
12．（2023春•斗门区校级月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）讨论函数在，上的单调性．
【解答】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值；
（2）解：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，对于任意的，，此时函数的减区间为；
当时，由，可得；由，可得，
此时函数的减区间为，增区间为，
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为．
13．（2023春•青山区校级月考）已知，函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间．
【解答】解：（1）当时，，
则，（1），
又（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．
（2）当时，，
则
令，得；令，得；
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
14．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1）时，，
则，
故（1），（1），
故切线方程是：，即；
（2）因为，
对求导，，，
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增；
③当时，令，解得，
因为当，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上可知，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
15．（2023春•忠县校级月考）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若a≤0，试讨论函数f（x）的单调性
【解答】解：（1）由题意a＝1时，函数，
则有f'（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），，
故所求切线方程为，即15x﹣3y﹣25＝0；
（2）f'（x）＝x2+2ax﹣3a2＝（x+3a）（x﹣a），且x∈（﹣∞，+∞），
当a＝0时，f'（x）＝x2≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增．
当a＜0时，x∈（﹣∞，a）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
x∈（a，﹣3a）时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；
x∈（﹣3a，+∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．
综上，当a＝0时，函数f（x）单调递增区间为（﹣∞，+∞），
当a＜0时，函数f（x）单调递增区间为（﹣∞，a），（﹣3a，+∞）；
函数f（x）单调递减区间为（a，﹣3a）．
16．（2023春•顺义区期中）已知函数，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）已知，，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，在定义域上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（Ⅱ）由得，当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，在上单调递增，在，上单调递减，
当时，，时，，
若函数有两个零点，则，
解得，
故的取值范围为．
17．（2023春•江苏月考）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
【解答】解：（1）由题意得函数的定义域为，，
当时，由得，由得，
在内单调递减，在内单调递增，
当时，由得或，
当时，由得，由得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
当时，恒成立，
在内单调递增，
当时，由得，由得或，
在上单调递减，在和上单调递增；
综上所述，当时，在内单调递减，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在及内单调递增；
当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在及内单调递增；
18．（2023•德州三模）已知函数，其中．
（1）当时，求函数在，（1）处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
【解答】解：（1）当时，，定义域为，
所以，
所以（1），
又（1），
所以函数在，（1）处的切线方程为，即．
（2）的定义域是，
，，
令，则△．
①当或△，即时，恒成立，
所以在上单调递增．
②当，即时，
由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
19．（2023春•青岛期中）设函数．
（1）求的单调区间；
【解答】解：（1）因为定义域为，
所以，
因为，所以，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
20．（2023春•全南县校级期末）已知，．
（1）求的单调区间；
【解答】解：（1），
当时，在上恒成立，在上单调递减，
当时，令得，
所以在上，单调递减，
在，上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
21．（2023春•湛江期末）已知函数，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
【解答】解：（Ⅰ）函数，为自然对数的底数），
的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
当，时，，当，时，，
在，上单调递减，在，上单调递增．
综上，当时，，在上单调递增，
当时，在，上单调递减，在，上单调递增．
22．（2023春•博白县校级期中）已知函数，其中，为的导函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，试讨论函数在上的零点个数．
【解答】解：（1）函数，定义域为，
则，
①当时，令，可得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，在恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令得；令得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）①当时，在上单调递增，（1），故在上没有零点；
②当，即时，在上单调递减，
要使在上有零点，则，解得；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由于（1），．
令，
令，
则，所以（a）在上单调递减，
故（a）（2），即（a），
所以（a）在上单调递增，，
所以在上没有零点．
综上所述，当时，在上有唯一零点；
当时，在上没有零点．
23．（2023春•越秀区校级期末）已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
【解答】解：（1），
令得，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，或时，，
时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，或时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
24．（2023春•怀仁市校级期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
【解答】解：（1）的定义域为，，
①当时，令，，则在单调递增，在，单调递减，
②当时，△，
当△时，即时，在单调递增，
当△时，或，
此时方程有两个实根，，
，，
当时，，，
则在单调递增，在，单调递减，
当时，，，
则在单调递增，在，单调递减，在，单调递增，
综上，当时，在单调递增，在，单调递减；
当时，在单调递增，在，单调递减，
当时，在单调递增，
当时，在单调递增，在，单调递减，在，单调递增．