新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练7-1 导数的概念及其意义、导数的运算 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc3095" 7-1 导数的概念及其意义、导数的运算 PAGEREF _Tc3095 \h 1
\l "_Tc392" 一、主干知识 PAGEREF _Tc392 \h 1
\l "_Tc12667" 考点1：导数的概念 PAGEREF _Tc12667 \h 2
\l "_Tc31035" 考点2：导数的几何意义 PAGEREF _Tc31035 \h 2
\l "_Tc16862" 考点3：基本初等函数的导数公式 PAGEREF _Tc16862 \h 2
\l "_Tc21566" 【常用结论总结】 PAGEREF _Tc21566 \h 3
\l "_Tc13426" 二、分类题型 PAGEREF _Tc13426 \h 3
\l "_Tc31051" 题型一 导数的运算 PAGEREF _Tc31051 \h 4
\l "_Tc14357" 题型二 导数的几何意义 PAGEREF _Tc14357 \h 4
\l "_Tc23208" 命题点1 求切线方程 PAGEREF _Tc23208 \h 4
\l "_Tc332" 命题点2 求参数的值(范围) PAGEREF _Tc332 \h 5
\l "_Tc8377" 题型三 两曲线的公切线 PAGEREF _Tc8377 \h 5
\l "_Tc3351" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc3351 \h 6
一、主干知识
考点1：导数的概念
1、导数的定义：如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）； 如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数：f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
考点2：导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．
考点3：基本初等函数的导数公式
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数） ②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R） ③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx ⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[lgax）]′＝*（lgae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x） ②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．
4、复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论总结】
1．区分在点处的切线与过点处的切线
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
二、分类题型
题型一 导数的运算
（2023·上海·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．
（全国·高考真题）设，求．
（2023·全国·高三专题练习）求函数的导数
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)．
（2023·全国·高三专题练习）求函数的导函数.
（2023·全国·高三专题练习）求函数的导函数
（2022·全国·高二专题练习）函数的导函数是，则______________.
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）函数在处的切线方程为________．
（2023春·陕西西安·高二校考期末）若函数为定义在上的奇函数，则曲线在点处的切线方程为________．
（2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．
（2023春·天津滨海新·高二校考期中）过点与曲线相切的切线方程为___________．
（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线在点处的切线方程为___________
（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知函数为定义在R上的偶函数，且当时，，则函数在处的切线斜率为___________.
（2023·广东东莞·校联考模拟预测）函数在点处的切线方程为________.
（2023·全国·高三专题练习）过点与曲线相切的直线方程为______．
（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）写出曲线过点的一条切线方程__________．
（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则的方程为___________.
命题点2 求参数的值(范围)
（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则（ ）
A．B．1C．D．2
（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 的图象在点处的切线斜率为2，则（ ）
A．B．1C．D．2
(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”．
（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若曲线的一条切线为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
（2023·全国·高二专题练习）已知函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则实数________．
（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为 ______ ．
题型三 两曲线的公切线
（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数，，若直线为和的公切线，则b等于（ ）
A．B．C．D．
（2023·山东烟台·统考三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为________．
（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．
（2023·福建南平·统考模拟预测）已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2017•上海）在数列中，，，则
A．等于B．等于0C．等于D．不存在
2．（2022•甲卷）当时，函数取得最大值，则（2）
A．B．C．D．1
3．（2020•全国）设函数，若，则
A．3B．C．D．1
4．（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则
A．B．C．（4）D．（2）
5．（2022•上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则 ．
6．（2019•上海）计算 ．
7．（2020•新课标Ⅲ）设函数，若（1），则 ．
8．（2019•全国）若函数，，则 ．
9．（2018•天津）已知函数，为的导函数，则（1）的值为 ．
10．（2016•天津）已知函数，为的导函数，则的值为 ．
11．（2018•江苏）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
（1）证明：函数与不存在“点”；
（2）若函数与存在“点”，求实数的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．
1．（2015•莆田一模）常用以下方法求函数的导数：先两边同取以为底的对数，为自然对数的底数）得，再两边同时求导，得，即．运用此方法可以求函数的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是
A．B．C．D．
2．（2014•鼓楼区校级模拟）下列求导运算正确的是
A．B．
C．D．
3．（2015•莆田校级模拟）定义：如果函数在，上存在，满足，，则称函数是，上的“双中值函数”．已知函数是，上的“双中值函数”，则实数的取值范围是
A．B．C．，D．，
4．（2023•漳州模拟）函数的导函数为，则
A．0B．1C．D．
5．（多选）（2023•鼓楼区校级模拟）定义在上的函数、，其导函数分别为、，若，，，，则
A．是奇函数B．关于对称
C．周期为4D．（1）（3）（5）
6．（福建模拟）设是函数的导函数，且．现给出以下四个命题：
①若是奇函数，则必是偶函数；②若是偶函数，则必是奇函数；
③若是周期函数，则必是周期函数；④若是单调函数，则必是单调函数．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
7．（2023•思明区校级模拟）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ．
①；②．
8．（2023•鲤城区校级模拟）已知函数是偶函数，是的导函数，且，当时，，写出满足条件的一个函数 ．
9．（2022•鼓楼区校级模拟）已知函数，则函数 ．
1．（2019•濮阳一模）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是
A．，B．C．D．，
2．（2020•南充模拟）设，函数的导函数是，且是奇函数．若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为
A．B．C．D．
3．已知，且满足的整数共有个，的最大值为，且，则实数的取值范围为 ．