新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第01章重难点突破01 集合中的新定义问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第01章重难点突破01 集合中的新定义问题（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了定义集合且，定义集合，的一种运算，设集合，定义等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共13小题）
1．定义集合且．已知集合，4，，，，则中元素的个数为
A．6B．5C．4D．7
【解答】解：根据题意，因为，4，，，，
所以，3，5，．
故选：．
2．对于数集，，定义，，，，，若集合，，则集合中所有元素之和为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
或2，
，，，3，，
，3，4，1，，
元素之和为，
故选：．
3．定义集合，，，设集合，0，，，1，，则中元素的个数为
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：因为，0，，，1，，
所以，，0，1，，
故中元素的个数为5．
故选：．
4．如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，，，则
A．B．C．或D．或
【解答】解：如图所示的图中，，是非空集合，
定义集合为阴影部分表示的集合，
，，，
，，
或．
故选：．
5．如图所示的韦恩图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，，则
A．B．C．或D．或
【解答】解：依据定义，就是指将除去后剩余的元素所构成的集合；
对于集合，求的是函数的定义域，
解得：；
对于集合，求的是函数的值域，解得；
依据定义，借助数轴得：或，
故选：．
6．设数集，，，且，都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：集，，
，且，都是集合的子集，
根据题意，的长度为，的长度为，
当集合的长度的最小值时，
与应分别在区间，的左右两端，
故的长度的最小值是．
故选：．
7．定义集合，的一种运算：，，，若，，，，则中的元素个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：，，，，，，，
，，，
中的元素个数为3．
故选：．
8．如图所示的图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，3，4，5，6，，则
A．，4，6，B．，4，6，C．，3，4，5，6，D．，2，4，6，
【解答】解：由图可知，，，
因为，，，3，5，7，，，3，4，5，6，，
则，2，3，4，5，6，7，，，5，，
因此，，2，4，6，．
故选：．
9．如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，，，3，4，5，6，，则
A．，2，4，B．，4，6，C．，3，4，5，6，D．，2，4，6，
【解答】解：由图可知，，，
因为，，，3，5，7，，，3，4，5，6，，
则，2，3，4，5，6，7，，，5，，
因此，，2，4，6，．
故选：．
10．设集合，定义：集合，集合，，，集合，分别用，表示集合，中元素的个数，则下列结论可能成立的是
A．B．C．D．
【解答】解：设，则的值为，，，，，，
由题意，
根据集合中的定义可得中至少有以上5个元素，
设，，，，，
由题意，则集合中至少有7个元素，
不可能，故错误；
若，则集合中至多有6个元素，所以，故错误；
对，，则与一定成对出现，
，一定是偶数，故错误；
对于集合，取，3，5，，则，6，8，10，，
此时，2，，，故正确．
故选：．
11．对于，表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为
A．12B．3C．14D．15
【解答】解：当时，，
当时，，
时，，
当时，，
时，，
故，1，3，4，，元素和为．
故选：．
12．已知有限集，，定义集合，且，表示集合中的元素个数．若，2，3，，，4，，则
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：，2，3，，，4，，
，，，
故，2，，
故，
故选：．
13．对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是
A．10B．9C．8D．7
【解答】解：由定义知，
当，都为正偶数或都为正奇数时，※，
故是，，，，，，；
当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，
故是，；
故共9个元素，
故选：．
二．填空题（共6小题）
14．定义两个集合与的差：且，对称差△，若，，则△ ．
【解答】解：，，，，
由且，得，．
所以△，，．
15．定义：实数，，，若满足，则称，，是等差的，若满足，则称，，是调和的．已知集合，，集合是集合的三元子集，即，，，若集合中的元素，，既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是 1010 ．
【解答】解：由好集的定义得且，则，化简得，
故或，
由，，得，故，，
，，，且，
，
且，解得，
故集合为“好集”的个数为．
故答案为：1010．
16．对于集合，，，的子集，，，，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为0，例如子集，的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0．
（1）子集，，，的“特征数列”的前四项和等于 3 ；
（2）若的子集的“特征数列” ，，，满足，，，的子集的“特征数列”为，，，，满足，，，则的元素个数为 ．
【解答】解：（1）根据“特征数列”的定义可知子集，，，的“特征数列”为：
1，0，1，1，1，0，0，，0，
子集，，，的“特征数列”的前四项和为：．
（2）的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，，1，0，
的“特征数列”满足，且，，或，，
的“特征数列”为1，1，0，1，1，0，1，1，0，，0，1或1，0，1，1，0，1，，0，1，1，
，，，，，，，
，，，，，，，或，，，，，，，
，的“特征数列”周期的最小公倍数为6，
一个周期内的元素个数为2，共有，
的元素个数为或个．
故答案为：3；33或34．
17．对于非空集合，定义若，是两个非空集合，且，则 0 ；若，，且存在，，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：，
当时，，，，
当时，，，
综上所述，，
，，
存在，，存在，且，
即存在，使得且，
即，显然，
①当时，则，，
②当时，显然满足，
③当时，则，，
④当时，，满足题意，
综上所述，实数的取值范围是，，．
18．定义全集的子集的特征函数，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是 （1）（2）（4） ．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【解答】解：（1），分类讨论：
①当，则，此时；
②当，且，即，此时；
③当，且，即时，，，此时；
综合有，故（1）正确；
（2），故（2）正确；
（3）假设，任取，则，则，但，则，故（3）不正确；
（4）．
故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
19．已知，均为实数，设数集，且数集、都是数集的子集．如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是 ．
【解答】解：由已知得且，解得，
且，解得，
从而当，或，时的长度最小，
当，时，，，长度为；
当，时，，，长度为．
所以的长度的最小值是．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
20．若集合，满足，则称，为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，，与，为集合的同一种分拆，写出集合，的不同分拆．
【解答】解：当集合时，，，，此时只有一种分拆；
当为单元素时，
若，则，或，；
若，则，或，．
此时有4种分拆；
当中含有两个元素时，，，
可取的任何子集，此时有4种分拆．
综上，共有9种不同分拆．
21．对于集合，定义函数
对于两个集合，，定义运算．
（1）若，2，，，3，4，，写出（1）与（1）的值，并求出；
（2）证明：；
（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．
【解答】解：（1），2，，，3，4，，
（1），（1），
，4，；
（2）①当且时，，
所以．所以，
所以，
②当且时，，，
所以．所以，
所以，
③当且时，，．
所以．所以．
所以．
④当且时，．
所以．所以．
所以．
综上，；
（3）因为，，
所以．
因为，，
所以．
22．对非空数集，，定义与的和集，．对任意有限集，记为集合中元素的个数．
（Ⅰ）若集合，1，，，3，5，7，，写出集合与；
（Ⅱ）若集合，，，满足，且，求．
【解答】解：（Ⅰ）集合，1，，，3，5，7，，
根据题意可得：，1，2，3，，
，2，3，4，5，6，7，8，9，10，；
（Ⅱ）集合，，，满足，
，
中至少有个元素，
即，又，
．
23．已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．
（Ⅰ）判断（A）（B）是否正确？并说明理由；
（Ⅱ）证明：（A）（B）．
【解答】解：（1）不正确，理由如下：
，2，，，3，，，2，3，，
当时，因为，所以（A），
因为，所以（B），
因为，所以，
此时（A）（B），
所以对任意，（A）（B）不正确．
（2）证明：①若，此时有，
当且时，（A），（B），此时（A）（B）；
当且时，（A），（B），此时（A）（B）；
当且时，（A），（B），此时（A）（B），
因此（A）（B）成立．
②若，则，
此时且，则（A），（B），
此时（A）（B），
因此（A）（B）成立，
综合①②可知，（A）（B）成立．
24．已知实数集，，，，定义（A），，．
（Ⅰ）若，0，1，，求（A）；
（Ⅱ）若（A），，，，12，18，，求集合；
（Ⅲ）若中的元素个数为9，求（A）的元素个数的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）（A），，0，；
（Ⅱ）首先，；
其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，
记，，，，，不妨设或者，
①当时，，，，，，，，，18，，
相乘可知，，从而，
从而，，，4，，所以，，3，4，；
②当时，与上面类似的方法可以得到，
进而，，，，，从而，2，，，，
所以，，3，4，或者，2，，，；
（Ⅲ）估值构造，需要分类讨论中非负元素个数，
先证明（A），考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合（A）不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数，接下来分类讨论：
情况一：中没有负数，
不妨设，则，
上式从小到大共有个数，它们都是（A）的元素，这表明（A）；
情况二：中至少有一个负数，设，，，是中的全部负元素，
，，，是中的全部非负元素．
不妨设，
其中，为正整数，，，，
则，
以上是（A）中的个非正数元素，另外，注意到，
它们是（A）中的5个正数，这表明（A）；
综上可知，总有（A），
另一方面，当，，，， 时，（A），，，，，，，中恰有13个元素，
综上所述，（A）中元素个数的最小值为13．