新高考数学二轮专题小题题型满分冲刺练习专题04 排列组合与二项式定理小题综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题小题题型满分冲刺练习专题04 排列组合与二项式定理小题综合（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·浙江·校联考模拟预测）盒子里有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个黑色，6个白色.现每次不放回地抽取2个小球，直到2个黑球全部取出为止，则共有（ ）种不同的取法.
A．10B．4C．16D．20
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理即可求出结果.
【详解】1次取完：2黑，共1种取法；
2次取完：①第1次1黑1白，第2次1黑1白；②第1次2白，第2次2黑；共2种取法；
3次取完：①前2次中取出一个黑球，第3次取出一个黑球；②前2次都是白球，最后一次2个黑球，共.
4次取完：①前3次中取出一个黑球，第4次取出一个黑球；②前3次都是白球，最后一次2个黑球，共；根据分类计数原理知，共10种，
故选：A.
2．（2023·校考模拟预测）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40B．24C．20D．12
【答案】B
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：．
3．（2023·浙江·校联考模拟预测）设，则（ ）
A．84B．56C．36D．28
【答案】A
【分析】根据给定的展开式特征，列出的表达式，再利用组合数性质计算作答.
【详解】依题意，.
故选：A
4．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）若，则（ ）
A．B．1C．15D．16
【答案】D
【分析】令计算可得.
【详解】因为，
令可得.
故选：D
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（ ）
A．54B．81C．135D．162
【答案】C
【分析】先选出选择菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可.
【详解】菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了菜，
①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从中任意选用1种，有种，丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有
②丙选用了B菜，丙再从中任意选用1种，有种，甲、乙再从中各任
意选用1种，有种，故共有
由①②可知所有情形是.
故选：C
6．（2023·浙江·高三专题练习）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）
A．120B．210C．211D．216
【答案】D
【分析】共有三种情况，3人各站一个台阶，或2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，或3人站一个台阶，然后根据分类计数原理即可求解．
【详解】由题意分三种情况：
第一种情况是3人各站一个台阶，有种；
第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有种，
第三种情况是3人站一个台阶，有种，
所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种．
故选：D．
7．（2023·浙江金华·统考模拟预测）学校举行德育知识竞赛，甲､乙､丙､丁､戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名.甲､乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙､丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（ ）种不同的可能情况.
A．14B．16C．18D．20
【答案】B
【分析】分冠军为甲乙两人中的一人；冠军为戊，丁为第二名；冠军为戊，丁为第三名；冠军为戊，丁为第四名，四种情况，结合相邻问题及特殊元素法分别求解即可.
【详解】解：由题意可知，冠军不会是丙、丁且丁不是第5名，
当冠军为甲乙两人中的一人时，由于甲乙两人名次相邻，所以第二名一定两人中的另一人，丁就只能是第三(四)名，丙和戊两个人就只能是第四(三)和第五名了，此时共有种情况；
当冠军为戊，丁为第二名时，将甲乙捆绑在一起，内部排列共种，此时甲，乙，丙三个人的只能是第三、四、五名了，共有种，所以此时共有种情况；
当冠军为戊，丁为第三名时，由于甲乙两人名次相邻，所以第二名只能是丙，第四名和第五名只能是甲乙，所以此时共有种情况；
当冠军为戊，丁为第四名时，由于甲乙两人名次相邻，所以第五名只能是丙，第二名和第三名只能是甲乙，所以此时共有种情况；
所以共有种.
故选：B.
8．（2023·浙江·二模）已知（）的展开式中含项系数为，则含项系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二项式定理通项公式分别写出和的展开式中含的项和含的项，再由含项系数为列式得的关系式，表示出含项系数并将其转化为关于的一元二次方程式，根据二次函数的性质求解最小值即可.
【详解】二项式展开式中含的项为，
含的项为，
二项式展开式中含的项为，
含的项为，
由题意得，，即，
所以展开式中含项系数为
，
因为，当或时，取最小值，
最小值为，所以含项系数的最小值为.
故选：D
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）二项式展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二项式定理可得展开式通项，分别令即可确定的系数.
【详解】展开式通项为：，
令，则展开式中的系数为；
令，则展开式中的系数为；
令，则展开式中的系数为；
展开式中的系数为.
故选：D.
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先构造二项式，再根据两边求导，再变形后求导，赋值后即可求解.
【详解】，两边求导得，
，两边乘以后得，
，两边求导得，
，
取得.
故选：A
二、填空题
11．（2023·浙江·校联考三模）已知的展开式中各项系数的和为4，则实数的值为___________.
【答案】1
【分析】令即可求解.
【详解】令，可得，解得.
故答案为:1.
12．（2023·浙江杭州·统考一模）在的展开式中，常数项为 ______ ．
【答案】41
【分析】将问题转化成的常数项及含的项，利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为，求出常数项及含的项，进而相加可得答案．
【详解】先求的展开式中常数项以及含的项；

由得，由得；
即的展开式中常数项为，
含的项为
的展开式中常数项为
故答案为：
13．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）多项式中，项的系数为______（用数字作答）．
【答案】
【分析】根据组合数的方法求解即可.
【详解】依题意，中，含项的为.
故答案为：
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）的展开式中的系数为___________（用数字作答）.
【答案】14
【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为14.
故答案为：14
15．（2023·浙江·校联考二模）展开式中的系数为__________.
【答案】9
【分析】利用二项展开式的通项，分别求出，的展开式中的系数，即可得出答案.
【详解】∵的展开式的通项为，
∴令，可得展开式中的系数为，
∵的展开式的通项为，
∴令，可得展开式中的系数为，
故展开式中的系数为．
故答案为：9．
16．（2023·浙江·高三专题练习）的展开式中的系数是______.
【答案】20
【分析】直接用二项式定理讨论即可.
【详解】二项式中，，
当中取x时，这一项为，所以，，
当中取y时，这一项为，所以，，
所以展开式中的系数为
故答案为：
17．（2023·浙江温州·统考三模）展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.
【详解】展开式通项公式，
令，解得，则，
所以展开式的常数项是.
故答案为：
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为__________.
【答案】8
【分析】利用圆的对称性，分两种情况：相邻两个点和圆心、相间隔的三点，即可求出结果.
【详解】如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；
如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个；
所以，7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为个.

故答案为：8.
19．（2023·浙江金华·统考模拟预测）的展开式中的系数是___________.（用数字作答）.
【答案】
【分析】求出展开式的通项，再分别令的指数等于和，即可得解.
【详解】展开式的通项为，
令，则，令，则，
所以的展开式中的系数是.
故答案为：.
20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在的展开式中，x的系数为___________．
【答案】
【分析】分别列出的展开式的通项，由此确定结论.
【详解】二项式的展开式的通项为，
二项式的展开式的通项为，，
所以，
令，可得，
故或，
所以的展开式中，含x的项为，
所以在的展开式中，x的系数为.
故答案为：.
21．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知的展开式中常数项为120，则__________.
【答案】
【分析】根据二项展开式的通项即可得到关于的方程，解出即可.
【详解】的展开式通项为，
的展开式中的常数项为,解得.
故答案为：.
22．（2023·浙江金华·模拟预测）除以100的余数是__________．
【答案】1
【分析】将化为，利用二项定理将其展开，即可求得答案.
【详解】
，
,
由于是100的倍数，
故除以100的余数等于，
故答案为：1
23．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）展开式中的系数为________．
【答案】
【分析】由题意可知，进而利用展开式的通项公式化简整理，即可得出结果.
【详解】由题意可知，展开式的通项中时，
展开式的通项公式为
由于要求展开式中的系数，所以，，当时，展开式的项为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
24．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知，则的展开式中，含项的系数的最大值为__________.
【答案】54
【分析】分别求出和的通项，可求出含项的系数为对求导，即可求出的最大值.
【详解】的通项为，
的通项为，
，则含项的系数为：；
，则含项的系数为：；
所以令，
，解得：；，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故答案为：54.
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，设，则__________．
【答案】
【分析】先令，可求出，然后对等式两边同时求导，并赋值即可.
【详解】由，取，得到；
等式两边同时求导，得到，取，得到.
于是.
故答案为：