新高考数学二轮专题小题题型满分冲刺练习专题07 球体小题综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题小题题型满分冲刺练习专题07 球体小题综合（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，求出，再换元利用基本不等式求出函数的最小值得解.
【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，
设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，
轴截面如下图示，内切球切母线于，底面半径，，则，
又，故，
又，故，
故该圆锥的表面积为，
令，所以，
所以.
（当且仅当时等号成立）
所以该圆锥的表面积的最小值为.
故选：B

2．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在半径为的实心球中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球，则球的表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求出球的半径，设圆柱的底面半径为，则高为，写出圆柱的体积，利用基本不等式求最值，即可得到满足条件的值,结合球的体积以及表面积公式即可求解.
【详解】由球的半径为，如图，
设圆柱的底面半径为，则高为，
．
当且仅当，即，时，上式取等号,此时圆柱的体积为，
（或者令，当，所以 在单调递增，在单调递减，故当 取最大值4，故当时，取最大值4）
要使熔成一个球的表面积最大，则半径最大，则体积最大即可,
因此熔成的球的体积也是，故球的半径为,
所以球的表面积为
故选：D．
3．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.
【详解】不妨设菱形的边长为，，，
外接球半径为，内切球半径为，
取中点为，连接，
因为，所以，
当平面平面时，平面平面，
平面，所以平面，
此时四面体的高最大为，
因为，所以
所以，
，
令解得，
令解得，
所以在单调递增，单调递减，
所以当时最大，最大体积为，
此时，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为，
则有解得，所以，
所以外接球的表面积为，
又因为，
所以，
，
所以，
所以，
所以，所以内切球的表面积为，
所以内切球和外接球表面积之比为，
故选:C.
4．（2023·浙江·统考一模）已知体积为的四面体中，平面ABC，，其外接球半径的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】将四面体ABCD补形为长方体，设，由已知可得，确定四面体ABCD的外接球的球心及半径，结合数量积的性质求外接球半径的最小值.
【详解】将四面体补成长方体，
因为，所以四边形为平行四边形，
设，则分别为的中点，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以，
取的中点为，因为
所以，同理可得，
所以点为四面体的外接球的球心，
设，则，
因为四面体的体积为，平面ABC，，
所以，故，
所以，故，
当时取到最值．
故选：B.
5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（ ）（单位：平方厘米，球冠的表面积公式为，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出球冠的高，可得圆柱的高，根据圆柱的侧面积公式以及底面圆面积以及球冠的面积公式即可求得答案.
【详解】如图，由题意知包装盒总高度为，即球冠所在球的半径为，
圆柱底面圆的半径为，设球冠的高为，
则，即或（舍去），
故圆柱高为，
故包装盒的表面积为，
故选：D
6．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知三棱锥的体积为，外接球面积为9π，且，，．则直线AB，AP所成角的最小正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，由外接球面积公式可求出外接球的半径，再由三棱锥的体积公式可求出三棱锥的高，当时，最小，求解即可.
【详解】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，
由，，，
由余弦定理可得：，
故，则，
又因为外接球面积为9π，设外接球的半径为，
所以，解得：，
设是球心，是的外心，是在平面的投影，
，解得：，

则，，由，
由，
当时，最小，此时，
则.
故选：A.
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧棱垂直底面的四棱锥.在底面，且底面为正方形的阳马中，若，则（ ）
A．直线与直线所成角为
B．异面直线与直线的距离为
C．四棱锥的体积为1
D．直线与底面所成角的余弦值为
【答案】B
【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；求出线面距离判断B；求出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.
【详解】由底面，底面为正方形，而，则阳马可补形成正方体，如图，

对于A，由底面，底面，则，因此直线与所成角为，A错误；
对于B，连接，平面，平面，则有平面，
从而异面直线与直线的距离等于直线与平面的距离，
取的中点，连接，则，而平面，
平面，于是，又平面，
因此平面，所以直线与平面的距离为，B正确；
对于C，四棱锥的体积，C错误；
对于D，连接，则是直线与底面所成的角，而，
因此，D错误.
故选：B
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍体积的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在上取两点、，使得，且，在上取两点、，使得，且，将刍甍分为两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，进而表示体积为，设，，利用导数分析单调性，进而求解最大值即可求解.
【详解】在上取两点、，使得，且，
在上取两点、，使得，且，
则四棱锥和体积相同，
取、中点、，正方形中心，中点，连接，

根据题意可得平面，，点是的中点，
设，则，，，，
在等腰中，，，
同理，
则等腰梯形的高为，
所以刍甍的体积为
，
令，，
则，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
所以.
故选：B.
9．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出表面积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，
设圆心坐标为，利用圆心到腰所在直线等于半径列出方程，解出即可.
【详解】表面积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，
显然此时圆与等腰梯形的上底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，
由题意得，，则，
则直线所在直线方程为，即
设，表面积最大时球的半径为，
则，则点到直线的距离等于半径，
则有，
解得或，，
，此时，
则
故选：.
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得到球心在的中点，然后当与球相切时直线与直线所成角的最大，过作垂足为，当平面时四面体体积取得最大值，即可求出答案.
【详解】由题意可知，均为等腰直角三角形，所以四面体的外接球的球心在的中点，
因为是球上的动点，若直线与直线所成角的最大，则与球相切，，此时，最大，
因为，，所以，
过作垂足为，则在以为圆心，为半径的圆上运动.
所以当平面时四面体的体积取得最大值.
因为，所以，
所以，
故选：D.
11．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知直角梯形，点在边上.将沿折成锐二面角，点均在球的表面上，当直线和平面所成角的正弦值为时，球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题设知共圆，并确定外接圆圆心位置，由已知求得到直线的距离且面，进而有面面，确定△的形状，找到外接圆圆心，利用几何关系求外接球半径，进而求表面积.
【详解】由题设知：，设点到面的距离为，则，故，
要使均在球的表面上，则共圆，
由直角梯形，则，所以，
所以，故在绕旋转过程中面，面，
所以面面，即到面的距离为，即到直线的距离，
沿折成锐二面角，过于，则，
又，则，故，即，
综上，△、△都是以为斜边的直角三角形，且，
所以，易知：△为等边三角形，则为中点，故，，
在△中，，而，即为的中点，
同时△△，若为的中点，即为外接圆圆心，
连接，则且，故面，且△为等边三角形，
球心是过并垂直于面的直线与过△外接圆圆心垂直于面的直线交点，
若球的半径为，则，所以球的表面积.
故选：D
【点睛】关键点点睛：确定共圆、面面为关键，利用几何关系求外接球半径.
12．（2023·浙江杭州·统考一模）空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成的角为，则三棱锥的外接球体积最大为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求的外接圆的半径，过作平面于，可得，可得当，，在一直线上时，三棱锥的外接球体积最大，求解即可．
【详解】设是三角形的外接圆的圆心，因为，所以是正三角形，
则三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，
由题意可得，过作平面于，
直线与平面所成的角为，，，
故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当球心到的距离最大时，三棱锥的外接球体积最大，
所以在延长线上时，三棱锥的外接球体积最大，
设的中点为，连接，则，，
又，，
所以，，
，
三棱锥的外接球体积最大为.
故选：C．
13．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，由题目条件分析出点P的轨迹方程，再有三棱锥的外接球的球心满足，找到球心满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决问题.
【详解】
如图，将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，
由，由面，可知P点在面上，
又，面，所以为直角三角形，
故，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在上的圆，
设点，则 —①，
因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心在直线上，
设点，由，得—②，
联立①②得：，
设过点和点的直线斜率为，则，
由直线与圆相切，可得，
则，所以，所以．
故选：C
14．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，，为正三角形，以AC为折痕将折起，使D点达到P点位置，且二面角的余弦值为，当三棱锥的体积取得最大值，且最大值为时，三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作平面，垂足为，作，垂足为，连接，则为二面角的补角，为的中点，设，根据二面角的余弦值可求得，再根据三棱锥的体积取得最大值结合基本不等式求出，再利用勾股定理求出三棱锥外接球的半径，根据球的体积公式即可得解.
【详解】过点作平面，垂足为，作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
则为二面角的补角，故，
因为，所以为的中点，
设，则，
在中，，则，，
由，
得当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值，
，
当且仅当时，取等号，
所以，解得，
则，
设三棱锥外接球的球心为，则平面，
设，
由得，解得，
则三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的体积为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
15．（2023·浙江·统考二模）已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题设共圆（不与重合），进而确定，找到△，四边形外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设且，求外接球半径最小值，即可得结果.
【详解】由点均在球的球面上，且共圆（不与重合），
所以（不与重合），
又为等腰直角三角形，为斜边，即有，
如上图，△、△、△都为直角三角形，且，
由平面图到立体图知：，，
又面面，面面，面，
所以面，同理可得面，
将翻折后，的中点分别为△，四边形外接圆圆心，
过作面，过作面，它们交于，即为外接球球心，如下图示，
再过作面，交于，连接，则为矩形，
综上，，，则为中点，
所以，而，，
令且，则，故，，
所以球半径，
当时，，故球表面积的最小值为.
故选：D
16．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定为等边三角形，利用正弦定理可确定外接圆半径，由此可知外接圆圆心即为四面体外接球球心，由球的性质可知平面，利用可求得点到平面的距离，由此可求得线面角的正弦值.
【详解】，，，，又为中点，
，则，即为等边三角形，
设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，取中点，连接，
，，，即外接圆半径为，
又四面体的外接球半径为，为四面体外接球的球心，
由球的性质可知：平面，又平面，，
，，；
设点到平面的距离为，
由得：，
又与均为边长为的等边三角形，，
直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.
17．（2023·浙江·校联考二模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑，其中平面ABC，，过A作，，记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球体积分别为，，V，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球半径分别为，，，记，，，先证明面，从而得到，，，再根据，从而得到，再构造函数，其中，再利用导函数分析函数的单调性，进而即可求得其值域．
【详解】记四面体，四棱锥，鳖臑的外接球半径分别为，，，
记，，，
在鳖臑中，有，，
又，平面，则面，
又面，则，
又，且，面，所以面，
所以，，，
又，即，
所以，
令，其中，则，
所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，
当，即时，；
当，即时，；根据对称性，当，即时，，
所以，即．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：先根据题意得到，再构造函数，其中，利用导函数分析函数的单调性，进而求得其值域是解答本题的关键．
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.
【详解】如图，取的中点，连接，，则，，
过点作⊥底面，垂足在上，且，
所以，故，
点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，
设最大球的半径为，则，
因为∽，所以，即，解得，
即，则，故
设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，
连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，
则，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九个球的表面积和为.
故选：B
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
19．（2023·浙江·校联考三模）已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设弦的中点为，连接，依题意，可得如下图形，
由圆的性质可知，则即为二面角的平面角，
故，
四面体的体积为
，
其中
，当且仅当时取等号，
由球的截面性质，，，
所以四点共圆，则有外接圆直径，
从而，
.
故选：C
二、填空题
20．（2023秋·浙江·高三校联考期末）将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
【答案】
【分析】先考虑如何将正方形折成三棱锥，求出底面三角形的外心，过外心作底面的垂线，则球心必定在该垂线上，再利用几何关系求出外接球的半径.
【详解】如图1，
分别取AD和AB的中点E，F，连接CE，CF，将正方形ABCD沿CE和CF折起，使得A，B，D重合，构成三棱锥P-CEF，如图2，
由于PE，PF，PC两两垂直，可以补成如图3所示的长方体：
由图1的折法可知： ，长方体的外接球就是三棱锥P-CEF的外接球，
长方体的对角线长= ，外接球的半径r= ，外接球的体积；
故答案为： .
21．（2023·浙江·二模）若圆台的上底面面积为下底面面积的一半，体积为，表面积为，则的最大值是______.
【答案】
【分析】设圆台的上底面半径为，母线长为，求出和，再求出关于的解析式，构造函数利用导数求出最值可得结果.
【详解】依题意设圆台的上底面半径为，母线长为，则下底面半径为，
圆台的高，，
，
所以,
由，得，，
设，，
，
令，得，解得或(舍)，
当时，，当时，，
所有在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：.
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）在长方体中，，过且与直线平行的平面将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，当两个球的半径之和达到最大时，此时较小球的表面积为________．
【答案】/
【分析】用的三角函数将两圆的半径分别表示出来，构造新函数，通过函数单调性求得问题的最值，即可求出取得最值时的值，进而求出，再由球的表面积公式求解即可.
【详解】如图所示：平面将长方体分成两部分，有可能在平面上或平面上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面上的情况，延长与交于点，作于点，

设，圆对应的半径为，根据三角形内切圆的性质，
在中，，，，
则，又当与重合时，取得最大值，
由内切圆等面积法求得，则
设圆对应的半径为，同理可得，
又，解得.
故，，
设，则，，
由对勾函数性质易知，函数单减，
所以当时，取得最大值，即两个球的半径之和达到最大，
此时，则，则，
，且，则小球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：借助三角函数表示边长，从而把问题转化为函数问题，借助单调性解决最值问题，从而求出较小球的表面积.
23．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是______.
【答案】
【分析】先根据条件可证明，，，故三棱锥放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥的外接球，从而即可求出球的半径，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，求得截面圆半径即可．
【详解】设在底面上的射影为，如图，

因为，由全等得为的中心，
由题可知，，由，解得
在正中，可得.
从而直角三角形中解得.
同理，又是边长为的正三角形，
所以，则，同理，，
因此正三棱锥可看作正方体的一角，
正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.
记外接球半径为，则，
过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，此时截面圆半径满足，
由得，所以，所以截面面积的最小值为.
故答案为：
24．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）正方体的棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为__________.
【答案】
【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面的法向量，根据平面，可得,进而求出的坐标，再跟据外接球球心O在过的外心且垂直面ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球的表面积.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
设平面的法向量为，，
则，令，解得，所以，
又平面，所以,所以，
解得：，
再根据下图：作的平行线,分别为的中点，连接,
因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直面的垂线上，
连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离都相等，
故,故,由题可设，,所以，
又,
所以,解得：，所以
所以,
所以球的表面积为,
故答案为：
【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.
25．（2023·浙江·高三专题练习）正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则_________．
【答案】
【分析】设点为的中心，连接，并延长交于点，则平面，点为的中点，，四面体ABCD的内切球的球心在上， 且四面体PBCD的外接球的球心在上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径为，即，记的中点为，根据求出，即可得出，即可得解.
【详解】如图，设点为的中心，则平面，连接，并延长交于点，则点为的中点，，
则四面体ABCD的内切球的球心在上， 且四面体PBCD的外接球的球心在上，
设四面体ABCD的内切球的半径为，
，
则，
又，
则，解得，即，
由四面体PBCD的外接球的球心在上，得，
记的中点为，则，，
，所以，
则，所以.
故答案为：.
【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．