初中数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系教学设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系教学设计，共4页。教案主要包含了课堂引入，应用举例，拓展提升，达标测评，当堂训练，知识网络，教学反思等内容，欢迎下载使用。











































课题
*2.4 一元二次方程根与系数的关系
授课人
教


学


目


标
知识技能
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
数学思考
通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
问题解决
根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题．
情感态度
通过情景教学过程，激发学生的求知欲，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感．
教学重点



根与系数的关系及其推导过程.
教学难点



根与系数的关系的推导过程及其应用．



授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
提出问题：


(多媒体展示问题)


1．一元二次方程的一般形式是什么？


2．一元二次方程有实数根的条件是什么？


3．当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程的根的情况如何？


4．一元二次方程的求根公式是什么？
通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为后面的学习做铺垫.
活动


一：


创设


情境


导入


新课
【课堂引入】


(多媒体展示)


问题：解下表中的方程，并完成填空：


方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2

x2－2x－3＝0





x2－3x＋2＝0





x2＋5x＋6＝0





师生活动：学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案.


问题：观察、思考方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？你能从中发现什么规律？



学生通过计算、观察、分析，发现方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.
活动


二：


实践


探究


交流新知
1.填写上表后思考：


(1)两根之和、两根之积与系数有何关系？


(2)你能运用发现的规律解答下列问题吗？


已知方程2x2－3x－2＝0的两根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.


(3)如何证明以上发现的规律呢？


2.教师与学生共同整理证明过程.


证明：当Δ>0时，由求根公式得


x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)，


所以x1＋x2＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)＋eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝－eq \f(2b,2a)＝－eq \f(b,a)；


x1x2＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)×eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(4ac,4a2)＝eq \f(c,a).


当Δ＝0时，x1＝x2＝－eq \f(b,2a)，


所以x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a).








归纳：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1和x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a).
1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.


2.通过设置问题(2)使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.


3.探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.
活动


三：


开放


训练


体现


应用
【应用举例】


例1 (多媒体展示)根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两个根x1和x2的和与积．


(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.


师生活动：学生自主进行解答，教师做好评价和总结．


注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，然后利用根与系数的关系代入求值．


变式一 [昆明中考] 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于( )


A．－4 B．－1 C．1 D．4


变式二 若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两根，求x1＋x2－x1x2的值.
设置问题，针对本课时的重点所学进行及时巩固，培养学生的计算能力和记忆公式的能力．



【拓展提升】


例2 解答下列问题：


(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一个根为2，求另一个根和c的值．


(2)关于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的两根互为倒数，求m的值．


例3 若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，求eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)的值．


师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定解决问题的方法，并适时点拨，提示能否用多种方法进行解答．



拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.
活动


四：


课堂


总结


反思
【达标测评】


1．两根均为负数的一元二次方程是( )


A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0


C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0


2．已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝________，b＝________．


3．已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一根及c的值．


4．已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值．


(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)xeq \\al(2,1)x2＋x1xeq \\al(2,2).


学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．






通过设置达标测评，进一步巩固所学新知识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
【当堂训练】


1．(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？


(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！


2．布置作业：


教材P48习题2.4中的T1，T2，T3.
指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.
【知识网络】



提纲挈领，重点突出.
【教学反思】


①[授课流程反思]


在新知探究环节中，关于两根之和与两根之积的计算看似复杂，教师进行板演后，能够使学生清晰认识到结论的来由，能够顺利地进行应用．课堂训练中，学生运用新知识解答问题不甚灵活，教师的必要引导起了关键作用．


②[讲授效果反思]


重点应用过程中，注意到：(1)运用根与系数的关系前首先要保证方程有实数根；(2)运用根与系数的关系解答问题能方便运算．


③[师生互动反思]


从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，应增加其兴趣和思维敏捷性的训练．


④[习题反思]


好题题号_______________________________________


错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.