新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题20 立体几何解答题分类练（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题20 立体几何解答题分类练（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了长度，平行关系的证明，垂直关系的证明，线面角的计算，二面角的计算，距离问题，立体几何探索性问题与开放问题等内容，欢迎下载使用。
1. （2023届安徽省安庆市高三第三次模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）．

(1)若点是中点，证明：面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【解析】（1）证明：取线段的中点，连接、，
因为，，为的中点，则且，
因为为的中点，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，且，所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面.
（2）解：连接，
因为，，为的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，且，
因为，则，
又因为，则，
因为，为的中点，则，
因为，，，所以，，
所以，，则，
又因为，、平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
设，则，
，，设平面的法向量为，
则，取，可得，
，若直线与平面所成角的正弦值为，
则，整理可得，
因为，解得，故.
2.（2024届江苏省南通市如东高三上学期学情检测）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义.为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.
【解析】（1）设该圆柱的底面半径为，高为.由平面几何知识知，
所以，即.
因为，所以.
因为，
当且仅当时等号成立，所以该圆柱的侧面积的最大值是.

（2）设圆柱的体积为，因为，
所以，令得，令得，
令得，所以在上单调递增，上单调递减，
所以当时，.
3.（2024届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测）如图，在三棱锥中，平面分别为棱的中点.

(1)证明：；
(2)若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
【解析】（1）因为，点是的中点，所以.
因为平面平面，所以.
又因为平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为，所以，
取中点，连接，则.
因为平面，所以平面.
故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

设，得，
所以.
设平面的法向量，则，
得，令，得.
设平面的法向量，
则由，得，令，得.
依题意，，
因为，所以解得，所以，
所以三棱锥的体积.
二、平行关系的证明
4. （2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）如图，在五面体中，四边形为正方形，为正三角形，，.

(1)若平面平面，证明：；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以.
（2）记，的中点分别为E，F，连接，，，
因为，，，平面，，
所以平面，平面，所以.
因为，所以，
又,,所以，所以，
所以，所以，，平面，，
平面，所以平面.
以P为坐标原点，以，所在的直线为x，z轴，过P与平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则令，得
设平面的法向量为，
则令，得
，
由图可知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
5.（2024届山西省忻州市名校高三上学期开学联考）如图，在多面体ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形，.

(1)证明：平面BCD.
(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.
【解析】（1）取CD的中点F，连接EF，BF.
因为是边长为2的正三角形，所以，且.
因为平面平面BCD，且平面平面，平面ECD，
所以平面BCD.
因为平面BCD，所以.
因为，所以四边形ABFE为平行四边形，
所以.
因为平面BCD，平面BCD，所以平面BCD.
（2）过点B作，以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
故，，，.
设平面ACE的法向量为，
则，
令，得.
设平面BDE的法向量为，
则，
令，得.
设平面ACE与平面BDE的夹角为，
则.
6.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．

(1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【解析】（1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF，
所以，，
又，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则、、、、，

所以，，，
设平面DCE的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，且不存在使得与垂直，
所以BG与平面DCE不平行；
（2）设（且），则，所以，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，
∴，
化简得，解得或（舍去）；故．
此时梯形ABEF的面积，故．
三、垂直关系的证明
7.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明:如图所示，连接,
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.

8.（2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．

(1)证明：平面ABCD；
(2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，点G是EF的中点，所以，
又因为，所以，
由平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF，
所以平面ABCD．
（2）由（1）得平面ABCD，平面ABCD，∴，
四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG、AD、AB两两垂直，
以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，

所以，
假设线段AC上存在一点M，使平面ABF，
设，则，
∵，∴，
设，则,
所以，
,
设平面ABF的法向量为
，取
由于平面ABF，所以，即，解得
所以，此时，
即当时，平面ABF．
9.（2024届广东仲元中学高三上学期9月月考）如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，且二面角与二面角都是.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
【解析】（1）由正方形，得，由，得，
而，平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）过作，垂足为，因为平面平面，平面平面，
平面，因此平面，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，
的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，如图：
因为平面平面，则由（1）可知为二面角的平面角，
即有，则，，，
则有，，，，
又因为，平面，平面，则平面，
又平面平面，于是，，
由可得平面，于是为二面角的平面角，
即有，从而得，
则，，，，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
因此，设二面角的大小为，
则，
所以二面角的正弦值为.
10.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）四边形为菱形，平面，，，．

(1)设中点为，证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小．
【解析】（1）四边形为菱形，且，中点为，所以．
因为，所以，
因为平面，平面，所以．
又，，平面，
所以平面；
（2）设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

因为，所以，
所以，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得；
，，平面的一个法向量为，
则，令得；
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为．
四、线面角的计算
11. （2023届河南省部分名校高三仿真模拟）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
【解析】（1）连接，.
在正六棱柱中，
因为底面为正六边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，
因为为线段上的动点，所以平面，
所以平面.
（2）取的中点为Q，连接，.
因为底面边长为1，所以，
因为，所以，所以.
易得，，，所以平面，所以，
因为，所以平面，
即为平面的一个法向量.
连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
则，，，，，
所以，所以，，.
设（），
所以，
则，
因为，所以，所以的取值范围是.
12．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，分别是的中点，平面经过点与棱交于点．

(1)试用所学知识确定在棱上的位置；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）过作直线与平行，延长与交于点，
连接与的交点即为点．
因为底面是矩形，是的中点，
所以，且．
又，所以，
因为是的中点，可得，
则，所以．
故在棱的靠近的三等分点处．

（2）因为是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
取中点，连接，易知两两相互垂直，
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
．

设平面的法向量为，
则即令，则，所以．
．
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
13．（2024届湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．

(1)证明：．
(2)若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
【解析】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，，∴，．
∵，平面PEF，∴平面PEF．
又∵平面PEF，∴．
（2）由（1）可知，二面角的平面角为，且为，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵平面PEF，平面PEF，∴，
∵平面，∴平面，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得，，，，
则，，，，，
，，，，
设平面PAB的法向量为，则
得取，则．
设，，则，
设直线DG与平面PAB所成的角为，
则，
令，则，．
当时，，；
当时，，
当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为．
五、二面角的计算
14. （2024届新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上学期开学考试）在长方体中，，，与交于点，点为中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】（1）证明：在长方体中，因为平面，平面，所以，
因为为正方形，所以，
因为，平面
所以平面
（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，；
，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即，
设平面的法向量为，则
，令，则，即，
，
所以，平面与平面的夹角的余弦值为.
15．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．

(1)证明:平面．
(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
因为四边形是菱形，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，即.
因为平面，且，所以平面.
（2）
取棱的中点，连接，易证两两垂直，
故以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，
故，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，得．
平面的一个法向量为,设面与面所成的锐二面角为，
则，整理得，解得(舍去)．
故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是．
16．（2024届江苏省南京市第九中学2高三上学期学情检测）如图，在四棱柱中，，，平面平面，.

(1)求证：平面；
(2)若为线段的中点，直线与平面所成角为，求二面角的正弦值.
【解析】（1）证明：连接，设.

因为，，所以是线段的垂直平分线，所以.
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为，平面，平面，，
所以平面.
（2）因为，所以.
因为，，，所以.

所以，
又，，所以以为正交基底，建立空间直角坐标系.
在中，为中点，所以.
因为平面，
所以即为与平面所成角.即，所以.
所以，，，，，
平面，平面，，
又，平面，，所以平面.
平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
因为，，
则
不妨取，则，，即，
设二面角大小为，
则.
所以，即二面角的正弦值为.
17．（2024届湖北省宜荆荆恩高三9月起点联考）如图，在三棱台中，，，，，且平面.设P，Q，R分别为棱，，的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面所成的角的余弦值.
【解析】（1）证明：连接DP，则四边形DPCF是矩形．
又，则，从而
由平面，且平面，得
由，且为三角形的中位线，得
又因为，AC，平面ADFC，
所以平面
由于平面，则
因为，平面，则平面
又因为平面，
所以平面平面

（2）解：以P为原点，PA、PR、PD为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
设是平面的法向量，则
取，得，
设是平面的法向量，则
取，得，
设平面与平面相交所成角的平面角为，则
又
故平面与平面所成的角的余弦值为.
六、距离问题
18. （2023届海南省高三全真模拟）如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面．
【解析】（1）如图，以为坐标原点，为轴，平面为平面，
建立空间直角坐标系，
则，
设，显然，当时，平面与平面共面，此时的锐二面角一定不是最大
的，所以，
所以，

设平面的法向量为，
则即
令，则．
又平面的一个法向量为，
则，
又，所以，
所以，
当时，等号成立，由
得，
所以，即点在面上．
所以平面平面，
所以，
所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为．
（2）由（1）知平面，
所以．
又，且，
平面，
所以平面．
又平面，
所以．
由，且平面，
所以平面．
又平面，所以平面平面．
19.（2023届陕西省宝鸡市高三下学期模考）如图，在长方体中，，和交于点为AB的中点.

(1)求证：平面；
(2)已知与平面所成角为，求
（ⅰ）平面与平面的夹角的余弦值；
（ⅱ）点到平面的距离.
【解析】（1）连接，，.
因为长方体中，且，
所以四边形为平行四边形.
所以E为的中点，
在中，因为E，F分别为和AB的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）与平面所成角为.连接.
因为长方体中，平面，平面，
所以.所以为直线与平面所成角，即.
所以为等腰直角三角形.
因为长方体中，所以.所以.
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，，

则，，，，
，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，，可得.
设平面BCE的法向量为，则，即.
令，则，，所以.
设平面与平面的夹角为，则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（ⅱ）因为，
所以点A到平面的距离为.
七、立体几何探索性问题与开放问题
20. （2024届北京市清华大学附属中学高三上学期开学考试）如图，在三棱柱中，平面，点，分别在梭和棱上，且为棱中点．

(1)求证：平面；
(2)从下面两个选项中选择一个作为条作，求二面角的余弦值．
①；②．
【解析】（1）取的中点，连接，
因为，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为为棱中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（2）选①，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
，
设平面为法向量为，
则有，令，则，
所以，
则，
由图可知，二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为．
选②，，
由题意，，
因为为棱中点，所以，
所以，
则，
所以，故，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
以下步骤同选①.

21.（2023届福建省宁德第一中学高三一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
【解析】（1）由图①知，，所以，在中，因为，，
可得，，所以．
由图②知，平面平面，平面，
平面平面，因为，所以平面，
因为为的中点，
所以．
（2）由（1）知，，三者两两垂直，以点为原点，
，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．
则，，，，，，，
设，，
，
即，
所以，
设平面的法向量为，
所以，则，
令，得，
设平面的法向量为，
所以， 解得或（舍去），
所以此时的值为.
22.（2024届北京市第一六六中学高三上学期阶段性诊断）如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断直线与平面是否相交，并说明理由，若相交，求出点与交点之间的距离．
【解析】（1）因为，所以，
又平面⊥平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）又，所以、、两两互相垂直．
如图以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

由，，
可知，，，，，
则，，，
设为平面的一个法向量，
则，解得，
令，则，所以，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，，所以，
则，
由图形可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
（3）由，得，
因为，
所以与平面不平行，所以直线与平面相交，
在四边形中延长交，延长线于点．
点就是直线与平面的交点，
因为为棱的中点，可知，则，
易知，所以．