新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题13 平面向量的数量积与向量中的最值问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习热点难点题型强化训练专题13 平面向量的数量积与向量中的最值问题（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024届四川省南充市高三适应性考试）已知平面向量满足，则与夹角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，
又所以，
因此，由所以，
则，故，故选B
2．（2023届福建省名校联盟高三4月高考模拟）设向量与单位向量满足，对任意都有，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由，可得，
即对任意恒成立，
则满足，即，所以，
设向量与的夹角为，可得，所以，
则，
当时，可得.故选B.
3．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）已知在直角三角形中，，以斜边的中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，为半圆弧上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因为直角三角形为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系，
其中，，，而以为直径的圆的方程为：，
设，则,，
故，因为M在半圆上运动变化，
故，故的取值范围为：.故选A.
4．（2023届安徽师范大学附属中学高三上学期1月月考）设均为单位向量，且，则（ ）
A．B．的最大值为2
C．的最小值为1D．
【答案】D
【解析】由均为单位向量，，得，
即，则，
又，所以，故A错误；
，所以，故B错误；
，故C错误；
，则，
所以，故D正确.故选D.
5．（2023届山东省昌乐二中高三下学期二轮模拟）已知平面向量、、满足，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不失一般性，在平面直角坐标系中，设，，，
因为，，，
所以，，
当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选C.
6．（2023届重庆市第一中学校高三下学期2月月考）已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设A点为坐标原点，分别以AB，AD为x，y轴建立坐标系，如图，
不妨设，则，
因为，所以，
又，
所以，则，
所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
则的最小值为.故选D.
7．（2024届上海市实验学校高三上学期阶段反馈）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ）

A．为定值B．的取值范围是
C．当时，为定值D．的最大值为12
【答案】B
【解析】如图，过作直径，
由题意，
所以
为定值，A对；
若为中点，连接，则
，
由题意，则，B错；
若，故，
则，
又，则，同理可得，故，C对；
若为中点，连接，则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，即，则，
综上，当且仅当时的最大值为12，D对.

故选B
8．已知平面向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】设平面向量，的夹角为，
，，
，则
由于，所以．
不妨设，．
，，
化为．故在以为圆心，以为半径的圆上运动，
如图所示，表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，
故．故选C．

9．（2023届安徽省临泉第一中学高三下学期三模）在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】A
【解析】如图：

取BC，BD中点E，G，可知，且，
取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为，
故的最大值为12.故选A.
10．已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．
C．D．4
【答案】B
【解析】由题意可知，如图所示
因为菱形ABCD的边长为2，，
所以,，
设，则
，
因为，所以,
,
,
当时，的最大值为.故选B.
11．（2023届新疆部分学校高三二模）已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】设，，，，，则如图所示，
因为，所以，
即，所以，
因为，，所以，，
由，可得点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），
过圆周上一点作的垂线，垂足为，且与相切，
延长交于，则，
此时∽，根据相似知识可得，
所以，
所以的最大值为，故选D.
12．（2023届上海市闵行中学高三下学期学情调研）已知平面向量、、 满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，两边平方得
又，且对任意实数恒成立，
即恒成立，所以，
即，所以，即.
由，知，
所以,
当且仅当与同向时取等号.故选B
二、多选题
13．(2024届河北省邯郸市高三上学期第一次调研)设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．，的夹角为钝角D．若实数使得成立，则为负数
【答案】AD
【解析】对A，当不共线时，根据向量减法的三角形法则知，
当反向共线时，，
故，A正确；
对B，若，则以为邻边的平行四边形为矩形，
且和是这个矩形的两条对角线长，则，故B错误；
对C，若的夹角范围为，根据向量加法的平行四边形法则知：，故C错误；
对D，若存在实数，使得成立，则共线，由于，
则反向共线，所以为负数，故D正确.故选AD.
14．（2023届河北省唐山市邯郸市等2地高三上学期期末）已知抛物线：的焦点为，直线（且）交与、两点，直线、分别与的准线交于、两点，（为坐标原点），下列选项错误的有（ ）
A．且，
B．且，
C．且，
D．且，
【答案】ACD
【解析】
由，可得，
设,，,，
则，，
，
，
直线的方程为，由，可得，
同理可得，
所以,，,，
，，
对于A，,,，
,,，
只有当时，，此时，直线与轴垂直，不存在斜率，不满足题意，
所以，，故A错误；
对于B，因为,,，
,,，故B正确；
对于C，由B得，而，所以，故C错误；
对于D，由C可知不存在且，使成立，故D错误．故选ACD．
15.（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知，，，A，B两点不重合，则（ ）
A．的最大值为2
B．的最大值为2
C．若，最大值为
D．若，最大值为4
【答案】AD
【解析】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点，，，A正确；

B选项，设D为的中点，则，
由于A，B两点不重合，所以，则，故B错误；
C选项，当P，A，B共线时，，故C错误；
D选项，当P，A，B共线时，若坐标分别为与或与时，
两点重合，此时，
若坐标不同时为与时，此时⊥，则，

故，故D正确.故选AD
16．（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期期初调研）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则向量在上的投影为
B．若，则，
C．若，，则
D．若，则向量与的夹角为锐角
【答案】AD
【解析】对于A，因为，所以，又，
所以向量在上的投影为，正确；
对于B，因为，且，，，
所以，即，该方程有无数组解，错误；
对于C，因为，，且，，，
则，，即，，所以，
当时，，当时，，错误；
对于D，，，若时，，所以，
此时与为相反向量，当时，，
则向量与的夹角为锐角，正确；故选AD
17．（2024届江苏省淮阴中学等四校高三上学期期初联考）已知O为坐标原点，点，其中为锐角，则（ ）
A．为定值B．的最大值为3
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】由为锐角，故，
A：为定值，对；
B：，
所以，当且仅当时等号成立，故最小值为3，错；
C：，而，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，对；
D：，且，
，
所以，当且仅当，即时等号成立；（法一）
令，则，
令，即，且，则，
当，，即递减；当，，即递增；
所以，此时，（法二），对.故选ACD
三、填空题
18．（2024届江苏省基地大联考高三上学期第一次质量监测）已知同一平面内的单位向量，满足，则．
【答案】
【解析】因为，所以，
两边平方得，
因为均是单位向量，所以，所以，
所以，
所以.
19．（2024届湖南省邵阳市邵东市第三中学高三上学期月考）如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为 ．

【答案】
【解析】因为是的中点，可得，
设，所以，
因为三点共线，所以，解得，所以
所以，所以，所以，所以，
延长于，使得，延长于点，使得，如图所示，
则，且相似比为，所以,
所以，所以，所以，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，且，所以，
因为，所以，
所以.
所以的面积的最大值为.

20．（2023届上海市七宝中学高三5月模拟）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图，建立平面直角坐标系，令,

设则由可得，
即点A轨迹为以为圆心，半径为2的圆，
点B轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
则设，
则
，（为辅助角）
，
令，则，
则，
又，
而，
故，故的取值范围是
21．已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 .
【答案】
【解析】令，所以
如图，

所以点A的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取OB中点E，
则，
又因为，所以点C在直线上，故时，的值最小，
当情况下，直线与相切时最大，取最大，
此时，
22．（2023届上海市格致中学高三三模）已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，，，，
由已知可得：，
当且仅当时，取等号，
当时，有，得，
当时，有，得，
所以当时，.
所以的最大值为.