初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）第23章 解直角三角形23.2 直角三角形的性质教学设计

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）第23章 解直角三角形23.2 直角三角形的性质教学设计，共13页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.理解并掌握直角三角形的性质；(重点)
2.能利用直角三角形的性质解决问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下.
二、合作探究
探究点一：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm，那么腰上的高是________cm，这个三角形的面积是________cm2.
解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm，S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×4×2＝4(cm2).故答案为2，4.
方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键.
如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里.请你确定轮船到达C处和D处的时间.
解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度.根据速度、时间、路程关系式求出时间.
解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形.在△ABD中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴∠ABC＝30°.∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海里.又∵BD＝eq \f(1,2)AD，∴AD＝40海里.∴AC＝AD－CD＝20(海里).∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间为eq \f(20,10)＝2(h)，从A处到D处的时间为eq \f(40,10)＝4(h).∴轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分.
方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题.
探究点二：直角三角形性质的综合应用
如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=12cm，BC=15cm，求：
（1）线段BF的长；
（2）线段EC的长.
解析：（1）根据矩形的性质以及折叠的性质求得AF=15cm，AB=12cm，在Rt△ABF中，勾股定理即可求解；（2）设EC=x cm，则FC=6cm，DE=12-x（cm），在Rt△EFC中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB∠B=∠C=90°.∵折叠矩形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，AB=12cm，BC=15cm，∴AF=AD=BC=15cm.
在Rt△ABF中，∴BF===9cm.
（2）设EC=x cm，DC=AB=12cm，由折叠的性质可得DE=EF=DC-EC=12-x（cm），FC=BC-BF=15-9=6cm，在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，∴（12-x）2=x2+62，解得x=4.5.
即EC的长为4.5cm.
方法总结：翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
【板书设计】
1.直角三角形的性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
含30°锐角的直角三角形的性质
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半