第二章2.3　函数的奇偶性与周期性-2027年高考数学一轮复习培优课件（含解析版试题）

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f(-x)=-f(x)
2.函数的周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且______________,那么函数y=f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数,那么这个________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x+T)=f(x)
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数.(　 　)(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(　 　)(3)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.(　 　)(4)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(　 　)
判断函数奇偶性的方法(1)定义法
(2)图象法(3)性质法在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
(2)(多选)(人教B版必修第一册P115练习BT4改编)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R,则 (　 　)A.f(x)+g(x)是奇函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.f(x)g(x)是奇函数D.f(g(x))是偶函数
解析:对于A,因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],所以f(x)+g(x)不是奇函数,故A错误;对于B,因为f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故B正确;对于C,因为f(-x)g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故C正确;对于D,因为f(g(-x))=f(g(x)),所以f(g(x))是偶函数,故D正确.故选BCD.
1.求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值,或得到关于参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.3.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再利用单调性把符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).
【对点训练2】　(1)(2025·天津河西区二模)已知函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,则f(-2)= (　 　)A.-3　　 B.4C.5　　　D.6解析:因为函数y=f(2x)+2x是偶函数,且f(2)=2,所以f(-2)-2=f(2)+2,故 f(-2)=f(2)+4=2+4=6.故选D.
(2)(2026·河北唐山一模)已知函数f(x)=e|x|,则(　 　)A.f(5)>f(-3)>f(2)B.f(-3)>f(2)>f(5)C.f(5)>f(2)>f(-3)D.f(2)>f(5)>f(-3)解析:已知f(x)=e|x|,其定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=e|-x|=e|x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3).当x≥0时,f(x)=ex.因为e>1,所以f(x)=ex在[0,+∞)上单调递增.又5>3>2,所以f(5)>f(3)>f(2),所以f(5)> f(-3)>f(2).故选A.
考点3 函数的周期性及应用【例4】(1)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,则下列说法正确的是 (　 　)A.函数f(x)的周期为2B.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=0C.f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=0,n∈N*D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)(n∈N*)的值可能为2
【解析】　对于A,由题得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数的周期为4,故A错误;对于B,f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0,f(2)= -f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 027)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=0,故B正确;对于C,f(4n)+f(4n+1)+f(4n+2)+f(4n+3)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0+2+0-2=0(n∈N*),故C正确;对于D,f(1)+f(2)+f(3)+f(4) +f(5) =0 +f(5) = f(1)=2,故D正确.故选BCD.
(2)设f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=lg2(x+1),则函数f(x)在(5,6]上的解析式为f(x)= ___________.【解析】　因为函数f(x)的周期为2,设A(x,y)是x∈(5,6]时函数图象上的任意一点,则点B(x-6,y)在x∈(-1,0]时函数的图象上,而函数f(x)是R上的奇函数,则点B'(6-x,-y)在x∈[0,1)时的图象上,所以-y=lg2(7-x)⇒y= -lg2(7-x),即f(x)在(5,6]上的解析式为f(x)=-lg2(7-x).
1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期.2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
【对点训练3】　(1)已知函数y=f(2x)的周期是2,则函数y=f(x+2)的周期是(　 　)A.2　　　B.4C.6　　　D.9解析:由周期函数的定义得f(2(x+2))=f(2x),即f(2x+4)=f(2x),令2x=z,则f(z+4)=f(z),所以y=f(x)的周期T=4,又y=f(x+2)的图象是由y=f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,不改变其周期,所以函数y=f(x+2)的周期是4.故选B.
(2)(2025·江西新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*,且f(3)= -5,f(17)=3,f(x+1)=f(x)+f(x+2),则f(2 026)=(　 　)A.5B.-5C.2D.-2解析:由题意得f(x+2)=f(x+1)-f(x),用x+1代替x,得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).两式相加,得f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.因为f(17)=3,所以f(5)=f(17)=3,又因为f(5)=-f(2),所以f(2)=-3.又因为f(2)=f(1)+f(3),即-3=f(1)-5,所以f(1)=2,所以 f(2 026)=f(337×6+4)=f(4)=-f(1)=-2.故选D.
2.(5分)(2025·吉林长春二模)已知函数f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数,则a的值是(　 　)A.3B.1或3C.2D.1或2解析:因为f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数,所以f(0)=(a-2)(a-1)=0,解得a=1或a=2.当a=1时,f(x)=x2(x-1),f(-x)=x2(-x-1)≠-f(x),故a=1不合题意,舍去;当a=2时,f(x)=x(x2+1),f(-x)=-x(x2+1)=-f(x),故a=2符合题意.故选C.
3.(5分)(2025·江西赣州二模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,则f(-5)=(　 　)A.-5B.0C.2D.5解析:因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,所以f(-5)= f(-5+4)=f(-1).又f(-5)=f(-5+6)=f(1),所以f(1)=f(-1)=-f(1),故f(1)=0,即f(-5)=f(1)=0.故选B.
4.(5分)已知f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x+m,则当x