还剩52页未读，
继续阅读
所属成套资源：2025高考数学一轮复习 课件
成套系列资料，整套一键下载
§2.3 函数的奇偶性、周期性 课件-2025高考数学一轮复习
展开
这是一份§2.3 函数的奇偶性、周期性 课件-2025高考数学一轮复习，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，函数的奇偶性，f－x＝fx，探究核心题型，－ex＋2x＋1，课时精练，不唯一，综上所述fx＝等内容，欢迎下载使用。
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
f(－x)＝－f(x)
2.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈A都有x＋T∈A，且 ，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.函数奇偶性常用结论奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.( )(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( )
2.(2023·济南统考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等于A.－7 B.－5 C.5 D.7
因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝5.
3.(2023·盐城检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于
由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示.则不等式xf(x)>0的解集为_____________.
根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示.xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).
(－2,0)∪(0,2)
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (1)(多选)下列函数是奇函数的是
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；
对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数.
(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2].故f(x)＋2为奇函数.
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
跟踪训练1 (2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是
A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数；
D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数.
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)例2 (1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025,2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于A.0 B.2 C.1 D.3
由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，∴g(x)在区间[－2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.
(2)(2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝____________.
因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1.
命题点2 利用奇偶性解不等式例3 (2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为A.(－∞，－1)∪(2,5) B.(－∞，－1)∪(0,5)C.(－1,0)∪(2,5) D.(－1,0)∪(5，＋∞)
因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0，当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0，
解得－1
(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；
⑤正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin 2α－sin 2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
典例 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是A.f(x)为奇函数B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞)D.f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023
对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，
所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，
所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误；对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝0，故D错误.
(2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是A.f(0)＝1B.函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称C.g(1)＋g(－1)＝0D.若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝1
对于A，令x＝y＝0，代入已知等式得f(0)＝f(0)g(0)－g(0)f(0)＝0，得f(0)＝0，故A错误；
因为g(3)＝cs 2π＝1≠0，所以g(x)的图象不关于点(3,0)对称，所以函数g(2x＋1)的图象不关于点(1,0)对称，故B错误；
对于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0，结合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1，再令x＝0，代入已知等式得f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)，将f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)，所以函数f(x)为奇函数.
令x＝1，y＝－1，代入已知等式，得f(2)＝f(1)g(－1)－g(1)f(－1)，因为f(－1)＝－f(1)，所以f(2)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，又因为f(2)＝－f(－2)＝－f(1)，所以－f(1)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，因为f(1)≠0，所以g(1)＋g(－1)＝－1，故C错误；对于D，分别令y＝－1和y＝1，代入已知等式，得以下两个等式：f(x＋1)＝f(x)g(－1)－g(x)f(－1)，f(x－1)＝f(x)g(1)－g(x)f(1)，
两式相加易得f(x＋1)＋f(x－1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＋f(x)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(x＋1)－f(x＋2)，有－f(x)＋f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)－f(x＋1)－f(x＋2)＝0，即f(x－1)＝f(x＋2)，所以f(x)为周期函数，且一个周期为3，因为f(1)＝1，所以f(－2)＝1，
所以f(2)＝－f(－2)＝－1，f(3)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于A.e B.－e C.e＋1 D.－e－1
因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
(2)若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是
f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，f′(x)＝cs x＋3x2＋1>0，所以f(x)在R上是增函数，由f(x＋1)＋f(2x)>0，得f(x＋1)>－f(2x)＝f(－2x)，
方法一 因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，
由(2x－1)(2x＋1)>0，
此时f(x)为偶函数，符合题意.故a＝0.
所以g(x)为奇函数.
则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.
因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2，
(2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是A.2 024 B.2 023 C.1 D.0
因为f(x)的周期为3，f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0.
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
跟踪训练3 (多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则A.f(2)＝0B.f(x＋4)为偶函数C.f(x)为周期函数D.f(x)的图象关于点(－4,0)对称
因为f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确；
又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确；因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确.
一、单项选择题1.(2023·宁波统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2 024)等于A.－1 B.0 C.1 D.2
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2 024)＝f(0)＝0.
2.(2023·全国乙卷)已知f(x)＝ 是偶函数，则a等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.
3.(2023·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(－1)
f(x)＝ ＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
5.(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于
f(x)＋g(x)＝2x，①则f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)＋g(x)＝2－x，②
所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，
因为f(2m)0，
二、多项选择题7.(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是A.f(x)＝x－sin xB.f(x)＝x2cs xC.f(x)＝x＋x3D.f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)
对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cs x≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；对于B，f(－x)＝(－x)2cs(－x)＝x2cs x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误；对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增，所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确；对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，
所以f(x)为(－2,2)上的奇函数，
8.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足A.f(0)＝0B.y＝f(x)为奇函数C.f(x)在R上单调递增D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－20，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；
对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2，解得－20的解集为{x|－2
由最小正周期为3的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)＝Acs ωx＋b(A≠0)，满足f(－x)＝Acs ωx＋b＝f(x)，即是偶函数.
＝(x－1)2＋ax＋cs x＝x2＋(a－2)x＋1＋cs x，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意.
11.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)＝_______.
因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋4)，对比以上两式得f(x)＝－f(x＋4)，从而f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，即函数f(x)是一个周期为8的周期函数，所以f(2 023)＋f(2 024)＝f(253×8－1)＋f(253×8)＝f(－1)＋f(0)，又因为f(1)＝2，所以f(2 023)＋f(2 024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
12.(2023·南昌联考)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，且当00，b>0)，若f(2 023)＝3，则 的最小值为________.
因为函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，所以函数f(x)的周期为6，又因为f(2 023)＝3，所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3，因为当00，b>0)，则有2a＋b＝3，
四、解答题13.(2023·银川模拟)已知函数f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)＝lgax的图象过点(3，－1).(1)求实数a的值；
∵当x>0时，f(x)＝lgax的图象过点(3，－1)，
(2)求函数f(x)的解析式；
设x<0，则－x>0，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝.
(3)求不等式f(x)<1的解集.
∵f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
14.(2023·潍坊模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；
由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式；
若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－x＝－f(x)，即f(x)＝x，－1≤x≤0，即当－1≤x≤1时，f(x)＝x；若1
作出函数f(x)在[－4,4]上的图象，如图，则函数的最小值为－1，若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4,4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2；若－1
当x<0时，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)⇒21－x－21＋x＝m·2x＋n·2－x⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2，
综上所述，m－n＝－4.
16.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则 等于A.－3 B.－2 C.0 D.1
因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
f(－x)＝－f(x)
2.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈A都有x＋T∈A，且 ，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.函数奇偶性常用结论奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.( )(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.( )
2.(2023·济南统考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等于A.－7 B.－5 C.5 D.7
因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝5.
3.(2023·盐城检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2 024.5)等于
由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，
4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示.则不等式xf(x)>0的解集为_____________.
根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示.xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).
(－2,0)∪(0,2)
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (1)(多选)下列函数是奇函数的是
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；
对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数.
(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则函数f(x)＋2为________函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2，故f(0)＝－2.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2].故f(x)＋2为奇函数.
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
跟踪训练1 (2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是
A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数；
D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数.
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)例2 (1)设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025,2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于A.0 B.2 C.1 D.3
由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x，则函数g(x)为奇函数，∴g(x)在区间[－2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.
(2)(2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝____________.
因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1.
命题点2 利用奇偶性解不等式例3 (2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为A.(－∞，－1)∪(2,5) B.(－∞，－1)∪(0,5)C.(－1,0)∪(2,5) D.(－1,0)∪(5，＋∞)
因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0，当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0，
解得－1
(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；
⑤正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin 2α－sin 2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
典例 (1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是A.f(x)为奇函数B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞)D.f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝2 023
对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，
所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，
所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误；对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2 024)＋f(2 024)＝f(－2 023)＋f(2 023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2 024)＋f(－2 023)＋…＋f(0)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝0，故D错误.
(2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是A.f(0)＝1B.函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称C.g(1)＋g(－1)＝0D.若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝1
对于A，令x＝y＝0，代入已知等式得f(0)＝f(0)g(0)－g(0)f(0)＝0，得f(0)＝0，故A错误；
因为g(3)＝cs 2π＝1≠0，所以g(x)的图象不关于点(3,0)对称，所以函数g(2x＋1)的图象不关于点(1,0)对称，故B错误；
对于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0，结合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1，再令x＝0，代入已知等式得f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)，将f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)，所以函数f(x)为奇函数.
令x＝1，y＝－1，代入已知等式，得f(2)＝f(1)g(－1)－g(1)f(－1)，因为f(－1)＝－f(1)，所以f(2)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，又因为f(2)＝－f(－2)＝－f(1)，所以－f(1)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，因为f(1)≠0，所以g(1)＋g(－1)＝－1，故C错误；对于D，分别令y＝－1和y＝1，代入已知等式，得以下两个等式：f(x＋1)＝f(x)g(－1)－g(x)f(－1)，f(x－1)＝f(x)g(1)－g(x)f(1)，
两式相加易得f(x＋1)＋f(x－1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＋f(x)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(x＋1)－f(x＋2)，有－f(x)＋f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)－f(x＋1)－f(x＋2)＝0，即f(x－1)＝f(x＋2)，所以f(x)为周期函数，且一个周期为3，因为f(1)＝1，所以f(－2)＝1，
所以f(2)＝－f(－2)＝－1，f(3)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于A.e B.－e C.e＋1 D.－e－1
因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.
(2)若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是
f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，f′(x)＝cs x＋3x2＋1>0，所以f(x)在R上是增函数，由f(x＋1)＋f(2x)>0，得f(x＋1)>－f(2x)＝f(－2x)，
方法一 因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，
由(2x－1)(2x＋1)>0，
此时f(x)为偶函数，符合题意.故a＝0.
所以g(x)为奇函数.
则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.
因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2，
(2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是A.2 024 B.2 023 C.1 D.0
因为f(x)的周期为3，f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0.
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
跟踪训练3 (多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则A.f(2)＝0B.f(x＋4)为偶函数C.f(x)为周期函数D.f(x)的图象关于点(－4,0)对称
因为f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确；
又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确；因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确.
一、单项选择题1.(2023·宁波统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2 024)等于A.－1 B.0 C.1 D.2
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2 024)＝f(0)＝0.
2.(2023·全国乙卷)已知f(x)＝ 是偶函数，则a等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.
3.(2023·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(－1)
f(x)＝ ＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
5.(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于
f(x)＋g(x)＝2x，①则f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)＋g(x)＝2－x，②
所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，
因为f(2m)
二、多项选择题7.(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是A.f(x)＝x－sin xB.f(x)＝x2cs xC.f(x)＝x＋x3D.f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)
对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cs x≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；对于B，f(－x)＝(－x)2cs(－x)＝x2cs x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误；对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增，所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确；对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，
所以f(x)为(－2,2)上的奇函数，
8.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足A.f(0)＝0B.y＝f(x)为奇函数C.f(x)在R上单调递增D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2
对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2，解得－2
由最小正周期为3的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)＝Acs ωx＋b(A≠0)，满足f(－x)＝Acs ωx＋b＝f(x)，即是偶函数.
＝(x－1)2＋ax＋cs x＝x2＋(a－2)x＋1＋cs x，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意.
11.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)＝_______.
因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，又因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(－x)＝f(x＋4)，对比以上两式得f(x)＝－f(x＋4)，从而f(x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，即函数f(x)是一个周期为8的周期函数，所以f(2 023)＋f(2 024)＝f(253×8－1)＋f(253×8)＝f(－1)＋f(0)，又因为f(1)＝2，所以f(2 023)＋f(2 024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
12.(2023·南昌联考)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，且当0
因为函数f(x)满足f(6－x)＝f(－x)，所以函数f(x)的周期为6，又因为f(2 023)＝3，所以f(6×337＋1)＝f(1)＝3，因为当0
四、解答题13.(2023·银川模拟)已知函数f(x)是偶函数.当x>0时，f(x)＝lgax的图象过点(3，－1).(1)求实数a的值；
∵当x>0时，f(x)＝lgax的图象过点(3，－1)，
(2)求函数f(x)的解析式；
设x<0，则－x>0，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝.
(3)求不等式f(x)<1的解集.
∵f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
14.(2023·潍坊模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；
由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式；
若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－x＝－f(x)，即f(x)＝x，－1≤x≤0，即当－1≤x≤1时，f(x)＝x；若1
作出函数f(x)在[－4,4]上的图象，如图，则函数的最小值为－1，若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4,4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2；若－1
当x<0时，因为f(x)是偶函数，所以有f(x)＝f(－x)⇒21－x－21＋x＝m·2x＋n·2－x⇒(2－x)2(2－n)＝m＋2，
综上所述，m－n＝－4.
16.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则 等于A.－3 B.－2 C.0 D.1
因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
相关课件
2.3函数的奇偶性与周期性课件2022届高考数学(文科)一轮复习基础过关： 这是一份2.3函数的奇偶性与周期性课件2022届高考数学(文科)一轮复习基础过关，共51页。
高考数学(理数)一轮复习2.3《函数的奇偶性与周期性》课件(含详解)： 这是一份高考数学(理数)一轮复习2.3《函数的奇偶性与周期性》课件(含详解)，共47页。
高考数学一轮复习第2章2.3函数的奇偶性与周期性课件： 这是一份高考数学一轮复习第2章2.3函数的奇偶性与周期性课件，共49页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，函数的奇偶性，常用结论，考点自诊，关键能力学案突破，答案B等内容，欢迎下载使用。
