2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义培优点专项突破练习(新高考版)培优点04切(割)线放缩(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义培优点专项突破练习(新高考版)培优点04切(割)线放缩(学生版+解析)，共5页。
知识清单
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
题型方法
【题型一】单切线放缩
【例1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：恒成立；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【举一反三】【变式1】（2025·四川资阳·模拟预测）已知正项数列满足，，记…，
(1)证明是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明
【变式2】（2025·河北邯郸·二模）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：.
【变式3】（2025·河北·模拟预测）设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．
(1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若数列满足，且．
（i）证明：数列具有性质“”；
（ii）记数列的前n项和为，证明：．
【题型二】双切线放缩
【例2】已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式有且只有两个整数解，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个实数根，且，求证：．
【举一反三】【变式1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)若，证明:在上恒成立；
(3)若方程有两个实数根，且，
求证:.
【变式2】（2021·广东茂名·二模）已知函数，.
（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若存在两个不相等的正数，，使得，证明：.
【变式3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，，
(1)当，时，求函数在处的切线方程；
(2)若且恒成立，求的取值范围：
(3)当时，记，（其中）为在上的两个零点，证明：.
好题必刷
一、解答题
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数，其中．
(1)当时，求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)记函数在上的最大值为．
（i）求关于的表达式；
（ⅱ）证明：当时，在上恒成立．
2．（2024·贵州六盘水·三模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”
(1)若，判断是否为上的“4类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”且，证明：，，.
3．（2024·四川·模拟预测）已知函数，且恒成立．
(1)求实数的取值集合；
(2)证明：．
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）定义函数.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值.若有最小值，证明：；若没有最小值，请说明理由.
5．（2025·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在，使得.证明：.
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)有两个零点，，证明：．
7．（2023·山东·二模）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求，；
(2)若函数有两个零点，，且，证明：．
题型方法
题型一 单切线放缩
题型二 双切线放缩
解题技巧
该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板．
解题技巧
含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b有两个实根，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明