2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第七章7.10立体几何中的动态、轨迹问题(学生版+解析)

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【考点解读】“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖。同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化。
题型一 平行、垂直中的动态轨迹问题
【典例】1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体表面上一个动点，满足BP⊥A1C，则点P的轨迹长度为( )
A.2B.22
C.4D.32
【变式训练】1.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱DD1上的点E满足DE=ED1，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则点F在侧面CDD1C1上的轨迹长度为( )
A.22B.32C.23D.4
题型二 距离、角度有关的动态轨迹问题
【典例】2.(多选)(2024·朔州模拟)在三棱锥A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AA1=AB=AC=3，P为△A1BC内的一个动点(包括边界)，AP与平面A1BC所成的角为45°，则( )
A.A1P的最小值为6-3
B.A1P的最大值为6+3
C.有且仅有一个点P，使得A1P⊥BC
D.所有满足条件的线段AP形成的曲面面积为32π4
【变式训练】2.如图，在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点P在截面AB1D1内(含边界)，且满足A1P=32.则点P的轨迹长度为 .
题型三 翻折有关的动态轨迹问题
【典例】3.(多选)(2025·泰安模拟)如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE=2，F为AB的中点，现将△ABE沿BE折起到平面A1BE位置，使得A1B⊥DE，则下列结论正确的是( )
A.平面BCDE⊥平面A1BE
B.若O为BE的中点，则DE∥平面FOC
C.折起过程中，F点的轨迹长度为π4
D.三棱锥A1-CDE的外接球的体积为6π
【变式训练】3.(多选)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=33，CD=43，AD=3，点E，F分别为边AB，CD上的点，且EF∥AD，AE=23.将四边形AEFD沿EF折起，如图2，使得平面AEFD⊥平面EBCF，点M是四边形AEFD内的动点，且直线MB与平面AEFD所成的角和直线MC与平面AEFD所成的角相等，则下列结论正确的是( )
A.AC⊥BF
B.点M的轨迹长度为2π3
C.点M到平面EBCF的最大距离为3
D.当点M到平面EBCF的距离最大时，三棱锥M-BCF外接球的表面积为28π
【限时训练】（限时：40分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹是( )
A.点B1B.线段B1C
C.线段B1C1D.平面B1BCC1
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则( )
A.AC1=4B.BC1=4
C.AB1=6D.B1C=6
3.在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P为△BCD内部及边界上的动点，AP=22，则点P的轨迹长度为( )
A.πB.2πC.3πD.4π
4.(2025·长沙模拟)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的正三角形，PA=52，PC⊥BC，则三棱锥P-ABC的体积最大为( )
A.1538B.23C.332D.3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D'C'上，则在三棱锥A'-EFQ中，下列说法正确的是( )
A.△EFQ的面积与点E，F的位置无关
B.三棱锥A'-EFQ的体积与点Q的位置有关
C.三棱锥A'-EFQ的体积与点E，F，Q的位置都有关
D.三棱锥A'-EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值
6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为正方体表面上的动点，N为线段AC1上的动点，若直线AM与AB的夹角为π4，则下列说法正确的是( )
A.点M的轨迹确定的图形是平面图形
B.点M的轨迹长度为π2+22
C.C1M的最小值为2-1
D.当点M在侧面BB1C1C上时，33AN+MN的最小值为1
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M在正方体内部运动(包括表面)，且BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积为 .
8.如图，点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为60°，则点P的轨迹长度为 .
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
立体几何中的动态、轨迹问题
2024·全国甲卷
2024·天津卷
2022·全国乙卷
2021·浙江卷
不再局限于传统的线面位置关系证明、角与距离的计算等问题，而是通过引入 “动态” 元素，如动点、动线、动面等，使问题更加生动和富有变化。