2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第七章7.7向量法求空间角(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第七章7.7向量法求空间角(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了7　向量法求空间角，两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角，平面与平面的夹角等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则
cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2.直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则
cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
【名师点拨】
1.确定平面的法向量的方法
(1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定.
(2)待定系数法：取平面的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0))求得.
2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
3.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
2.若直线l的一个方向向量u=(1，0，1)，平面α的一个法向量n=(0，-1，1)，则l与α所成角的大小为( )
A.π6B.π3
C.π3或2π3D.π6或5π6
3.若平面α的一个法向量为n=(1，1，0)，平面β的一个法向量为m=(-1，0，1)，则平面α与β夹角的大小为( )
A.π6B.π3C.π4D.2π3
4.已知点O(0，0，0)，A(1，0，1)，B(-1，1，2)，C(-1，0，-1)，则异面直线OC与AB所成角的余弦值为 .
【名师点拨】
(1)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.
(2)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ=|cs〈a，n〉|.
(3)平面与平面的夹角和二面角的概念不同.
【必练核心题型】
题型一 异面直线所成的角
【典例】1.如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为( )
A.π4B.π3C.π2D.2π3
【典例】2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2，D为B1B上的点，若直线A1C与直线DC1所成角的余弦值为26，则BD的长为( )
A.1B.12C.22D.32
【变式训练】若在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=∠BAC=60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1=AC=AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为 .
题型二 直线与平面所成的角
【典例】1.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，BB1⊥平面ABC，AB=6，BC=4，BB1=2，A1C1=13，AE=2EB，且DE∥平面BCC1B1.
(1)求S△A1B1C1S△ABC的值；
(2)求直线CC1与平面A1B1C所成角的正弦值.
【变式训练】(2025·济南模拟)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ABC⊥平面BCFE，AF⊥DE，∠ABC=∠CBF=45°，AC>AB=1.
(1)求三棱台ABC-DEF的高；
(2)若直线AC与平面ABF所成角的正弦值为155，求BC.
题型三 平面与平面的夹角
【典例】1.(2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=3.
(1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为427，求AD.
【拓展训练】
利用法向量的方向判断二面角
二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m，n“一进一出”时，m，n的夹角就是二面角的大小；当法向量m，n“同进同出”时，m，n的夹角就是二面角的补角.
【典例】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为棱AB的中点，则二面角D1－EC－D的余弦值为 .
【变式训练】(2024·新课标全国Ⅱ)如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F分别满足AE=25AD，AF=12AB，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC=43.
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α的所成的角等于( )
A.40°B.50°
C.130°D.以上均错
2.在空间直角坐标系中，已知向量m=(1，1，-1)是平面ABC的一个法向量，且CD=(0，3，4)，则直线CD与平面ABC所成角的正弦值是( )
A.515B.315C.520D.320
3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=CC1=4，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.若A1B⊥C1M，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为( )
A.22B.33C.23D.711
4.如图，底面ABCD是边长为2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD，点P为圆弧AD上的动点.当三棱锥P-BCD的体积最大时，二面角P-BC-D的余弦值为( )
A.25B.55C.53D.255
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段A1C1上任意一点，则AE与平面ABCD所成角的正弦值不可能是( )
A.22B.53C.55D.1
6.钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上)，在整点时刻(在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点)，已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为( )
A.26B.14C.36D.24
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1=(1，0，0)，n2=(-3，0，1)，则二面角A-BD-C的大小可能为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
8.在△ABC中，B=π2，AB=2，BC=3，E为AC的中点，点F在线段BC上，且CF=2BF，将△ABC以直线BC为轴顺时针转一周围成一个圆锥，D为底面圆上一点，满足AD=π，则( )
A.BA⊥BD
B.FE在AB上的投影向量是12BA
C.直线EF与直线CD所成角的余弦值为66565
D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为411055
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·沧州模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长与侧棱长之比为1∶3，则平面DA1B与平面A1BC1夹角的余弦值为 .
10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AP=AB=2，AD=4，E是BC上的点，直线PB与平面PDE所成角的正弦值为36，则BE的长为 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)如图，已知在斜三棱柱ABC-A'B'C'中，A'B⊥B'C，侧面ABB'A'是边长为2的菱形，且∠ABB'=π3，B'C=BC.
(1)求证：平面ABB'A'⊥平面ABC；(6分)
(2)若AC=AB，E是AC的中点，2EA'=5EP，求AP与平面A'BE所成角的正弦值.(7分)
12.(15分)(2024·厦门模拟)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，B1C1=1.
(1)证明：AA1∥平面BDC1；(6分)
(2)若AA1⊥BD，BC1=CC1=2，求平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值.(9分)
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.(2024·临沂模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，C1D的中点，则( )
A.直线MN与A1C所成角的余弦值为63
B.平面BMN与平面BC1D1夹角的余弦值为1010
C.在BC1上存在点Q，使得B1Q⊥BD1
D.在B1D上存在点P，使得PA∥平面BMN
14.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M，N分别在棱BC，AB上，且满足AN=BM，当三棱锥D-MNB1的体积最小时，B1M与平面A1MN所成角的正弦值是 .
考点
3年考情（2021-2024）
命题趋势
考点1 异面直线所成角及其应用
2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷
要熟练掌握几何法和向量法求解空间角与空间距离，本节内容是新高考卷的常考内容，要熟练掌握方程思想求值，需强化巩固复习。
考点2 线面角及其应用
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷
2023·北京、2022·浙江卷
2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷
考点3 二面角及其应用
2024·北京、2024·全国甲卷
2024·天津、2024·新课标Ⅱ卷
2023·北京卷、2023·全国乙卷
2023·全国新Ⅱ卷、2022·浙江卷