2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第七章7.10立体几何中的动态、轨迹问题（Word版附答案）

这是一份2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第七章7.10立体几何中的动态、轨迹问题（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹是( )
A.点B1B.线段B1C
C.线段B1C1D.平面B1BCC1
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则( )
A.AC1=4B.BC1=4
C.AB1=6D.B1C=6
3.(2024·南充模拟)在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P为△BCD内部及边界上的动点，AP=22，则点P的轨迹长度为( )
A.πB.2πC.3πD.4π
4.(2025·长沙模拟)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的正三角形，PA=52，PC⊥BC，则三棱锥P-ABC的体积最大为( )
A.1538B.23C.332D.3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D'C'上，则在三棱锥A'-EFQ中，下列说法正确的是( )
A.△EFQ的面积与点E，F的位置无关
B.三棱锥A'-EFQ的体积与点Q的位置有关
C.三棱锥A'-EFQ的体积与点E，F，Q的位置都有关
D.三棱锥A'-EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值
6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为正方体表面上的动点，N为线段AC1上的动点，若直线AM与AB的夹角为π4，则下列说法正确的是( )
A.点M的轨迹确定的图形是平面图形
B.点M的轨迹长度为π2+22
C.C1M的最小值为2-1
D.当点M在侧面BB1C1C上时，33AN+MN的最小值为1
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M在正方体内部运动(包括表面)，且BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积为 .
8.如图，点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为60°，则点P的轨迹长度为 .
答案精析
1.B
2.B [如图，取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，
由MD∥A1B1∥AB，DE∥BC1，
又MD⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，
所以MD∥平面ABC1，
同理可得DE∥平面ABC1，
又MD∩DE=D，MD，
DE⊂平面MDE，
所以平面MDE∥平面ABC1，
又MN∥平面ABC1，
故点N的轨迹为线段DE，
又由DE=12BC1=2，可得BC1=4.]
3.B [如图所示，
由AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，
可知三棱锥A-BCD为正三棱锥，
设点A在底面BCD上的射影为O，
连接BO并延长，交CD于点E，可知E为CD的中点，
则BE=33，OB=23，OE=3，
则AO⊥平面BCD，
OA=AB2-OB2=2，
又P为△BCD内部及边界上的动点，AP=22，
所以OP=2，
所以点P的轨迹为以点O为圆心，2为半径的圆在△BCD内部及边界上的部分，
如图所示，
OE⊥P1P2，
所以cs∠EOP1=OEOP1=32，
即∠EOP1=π6，∠P1OP2=π3，
所以点P的轨迹长度为2π×2-3×π3×2=2π.]
4.C [如图，因为PC⊥BC，所以P点在过C点且与BC垂直的平面α上，设平面α∩平面ABC=l，过点A作l的垂线段交l于点A1，
则AA1⊥α，且AA1=32，
因为PA=52，所以P点在以A1为圆心的圆周上，
由图可知P到底面ABC的最大高度为PA2-AA12=2，
所以三棱锥体积的最大值为
V三棱锥P-ABC=13×S△ABC×2=13×34×32×2=332.]
5.AD [连接AD'，BC'，如图.
对于选项A，因为AB∥C'D'，且AB=C'D'，可知四边形ABC'D'为平行四边形，且AB⊥平面ADD'A'，AD'⊂平面ADD'A'，则AB⊥AD'，可知四边形ABC'D'为矩形，
所以△EFQ的面积S△EFQ=12EF·AD'=12×2×42=42，
即△EFQ的面积为定值，与点E，F的位置无关，故A正确；
对于选项BCD，
因为A'D'⊥平面ABB'A'，
且平面ABB'A'∥平面DCC'D'，
可知三棱锥Q-A'EF的高为A'D'=4，
所以三棱锥A'-EFQ的体积V三棱锥A'-EFQ=V三棱锥Q-A'EF=13A'D'·S△A'EF=13×4×12×2×4=163，
即三棱锥A'-EFQ的体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关，故D正确，BC错误.]
6.BCD [如图，建立空间直角坐标系，则D(0，1，0)，C1(1，1，1)，
∵直线AM与AB的夹角为π4，当点M在侧面AA1D1D上时，AB⊥AM，不合题意；
当点M在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时，点M到直线AB的距离大于AB的长度，此时，AM与AB的夹角大于π4；
当点M在侧面AA1B1B和底面ABCD上时，可知线段AB1，AC满足题意；
当点M在侧面BCC1B1上时，
由AB⊥BM，可知BM=AB，此时弧B1C为所求.∴M点的轨迹为线段AC，AB1，弧B1C，
显然线段AC，AB1，弧B1C不共面，∴A错误；
对于B，点M的轨迹长度为π2+22，
∴B正确；
对于C，若M在线段AC上，则C1M的最小值为1，同理，若M在线段AB1上，则C1M的最小值也为1，若M在弧B1C上，则C1M的最小值为C1B-1=2-1，∴C正确；
对于D，M(1，y，z)(0≤y≤1，0≤z≤1)，且y2+z2=1，由题意设N(λ，λ，λ)，λ∈[0，1]，则33AN+MN=λ+(1-λ)2+(y-λ)2+(z-λ)2
≥λ+(1-λ)2=λ+(1-λ)=1，
当且仅当y=z=λ，且y2+z2=1，
即y=z=λ=22时，等号成立，
∴D正确.]
7.932
解析 因为平面A1BC1∥平面ACD1，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C，
所以点M的轨迹是△A1BC1及其内部，所以动点M的轨迹所形成区域的面积为
S△A1BC1=12×(32)2·sin π3=932.
8.433+3π6
解析 因为直线AP与平面ABCD所成的角为60°，所以点P的轨迹在以A为顶点，底面圆的半径为33，高为1的圆锥的侧面上，
又因为点P是正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点，
所以点P的轨迹如图所示，则点P的轨迹长为
21+332+14×2π×33=433+3π6.