2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.3圆的方程(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.3圆的方程(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了3　圆的方程，圆的定义和圆的方程，点与圆的位置关系，圆的三个性质，已知m∈R，直线l1，设圆C，已知P是圆C等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)，点(x0，y0)在圆外.
2.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，则实数t等于( )
A.－3B.1
C.－1D.3
【答案】D
【解析】由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
则圆心坐标为(－1，2)，
又因为圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，
故由圆的对称性可知，圆心(－1，2)在直线x－y＋t＝0上，
则t＝y－x＝2－(－1)＝3.
3.(多选)已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A(0，－5)，则( )
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A在圆C内
D.点A与圆C上任一点距离的最小值为2
【答案】BD
【解析】因为x2＋y2－4x＋6y＋11＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝2，所以圆心为C(2，－3)，半径r＝2，故A错误；
又|AC|＝(2−0)2＋(−3＋5)2＝22>r，所以点A在圆C外，故B正确，C错误；
因为|AC|＝22，所以点A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|－r＝2，故D正确.
4.以点A(0，－1)，B(2，1)为直径端点的圆的方程为 .
【答案】(x－1)2＋y2＝2
【解析】由题意可知，圆心为线段AB的中点(1，0)，且|AB|＝(0−2)2＋(−1−1)2＝22，
所以圆的半径r＝|AB|2＝2，
因此，所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
【名师点拨】
1.掌握圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
2.牢记两个相关结论
(1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
(2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x＝a＋rcsθ,y＝b＋rsinθ,其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标.
【必练核心题型】
题型一 圆的方程
【典例】设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为 .
【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝5
【解析】方法一 设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则2a＋b−1＝0,(3−a)2＋b2＝r2,a2＋(1−b)2＝r2,解得a＝1,b＝−1,r2＝5,
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则M−D2，−E2，
∴2·−D2＋−E2−1＝0,9＋3D＋F＝0,1＋E＋F＝0,解得D＝−2,E＝2,F＝−3,
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，
则kAB＝1−00−3＝－13，线段AB的中点坐标为32，12，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－12＝3x−32，
即3x－y－4＝0.
联立3x−y−4＝0,2x＋y−1＝0,解得x＝1,y＝−1,∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
【解题技巧】求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【变式训练】
变式1.设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y＝2x－1相切，则圆C的标准方程为 .
【答案】(x－3)2＋y2＝5
【解析】方法一 设圆C的圆心为(m，0)，
则由于该点到直线y＝2x－1的距离d＝|2m−1|22＋(−1)2＝|2m−1|5，
结合圆C与直线相切，知圆C的半径为|2m−1|5.
所以圆C的标准方程是(x－m)2＋y2＝(2m−1)25.
而圆C过点(1，1)，所以(1－m)2＋12＝(2m−1)25，解得m＝3.
所以圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5.
方法二 因为点(1，1)在直线y＝2x－1上，
所以圆C与直线y＝2x－1的切点为(1，1)，
则过圆心C和切点(1，1)的直线方程为y－1＝－12(x－1)，即y＝－12x＋32，
又因为圆心C在x轴上，则0＝－12x＋32，得x＝3，
即C(3，0)，圆C的半径为(3−1)2＋(0−1)2＝5，故圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5.
题型二 与圆有关的轨迹问题
命题点1 直接法
【典例】1.已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍，则△MAB面积的最大值为( )
A.82B.8
C.42D.163
【答案】A
【解析】以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设M(x，y)，且A(－2，0)，B(2，0)，
由|MA|＝2|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2，
化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32(y≠0)，半径r＝42，
如图，有S△MAB≤12·|AB|·r＝82.
所以△MAB面积的最大值为82.
命题点2 定义法
【典例】2.已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是( )
A.y2＝4x
B.x2＋y2－2x－2y－3＝0
C.x2＋y2－2y－3＝0
D.y2＝－4x
【答案】B
【解析】因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，
又AM与圆相切，且|AM|＝2，
则|AC|＝|MC|2＋|AM|2＝5，
设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－2x－2y－3＝0，
所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命题点3 相关点代入法
【典例】3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为( )
A.x216＋y24＝1(y>0)B.x216＋y28＝1(y>0)
C.y216＋x24＝1(y>0)D.y216＋x28＝1(y>0)
【答案】A
【解析】设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P'(x，0)，
因为M为PP'的中点，
所以y0＝2y，即P(x，2y)，
又P在曲线x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，
即x216＋y24＝1(y>0)，
即点M的轨迹方程为x216＋y24＝1(y>0).
【解题技巧】求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
【变式训练】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝yx＋1，kBC＝yx−3，
所以yx＋1·yx−3＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
方法二 设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
因此直角边BC的中点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
【拓展训练】
阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Cλ2＋1λ2−1a，0为圆心，2aλλ2−1为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.
【典例】1.设A，B是平面上两点，则满足|PA||PB|＝k(其中k为常数，k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(6，0)，B62，0，且k＝2，则点P所在圆M的方程为 .
【答案】x2＋y2＝3
【解析】设P(x，y)，由题意可得，|PA||PB|＝2，
即|PA|＝2|PB|，
则(x−6)2＋y2＝2x−622＋y2，
整理得x2＋y2＝3.
【典例】2.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝2sin B，acs B＋bcs A＝2，则△ABC面积的最大值为 .
【答案】43
【解析】依题意，由sin A＝2sin B，
得|BC|＝2|AC|，acs B＋bcs A
＝a2＋c2−b22c＋b2＋c2−a22c＝c＝2，
即|AB|＝2，以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设A(1，0)，B(－1，0)，C(x，y)，x≠0，
由|BC|＝2|AC|，则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为x−532＋y2＝169，x≠0，
边AB上的高的最大值为43，
所以(S△ABC)max＝43.
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
【典例】5 (多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则( )
A.当x≠0时，yx的最小值是－3
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x的最小值是2－2
D.|x＋y＋3|的最小值为2
【答案】BC
【解析】由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆.
设yx＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率，
由y＝kx(x≠0)，则|−2|k2＋(−1)2≤1，
解得k≥3或k≤－3，故A错误；
因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，
所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确；
设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，
则b−2|12＋(−1)2≤1，
解得2－2≤b≤2＋2，
即y－x的最小值是2－2，故C正确；
|x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的2倍，
圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝52，
则|x＋y＋3|的最小值为2×52−1＝5－2，故D错误.
命题点2 利用对称性求最值
【典例】6 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 .
【答案】25
【解析】因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5，
所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r＝5的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'(m，n)，
所以m＋02＋n＋22＋2＝0,n−2m−0＝1,
解得m＝−4,n＝−2,故A'(－4，－2).
连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x＋y＋2＝0于P，此时，|PA'|＋|PQ|取得最小值，
由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|PA'|＋|PQ|＝|A'Q|＝|A'C|－r＝25.
命题点3 利用函数求最值
【典例】7 设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则PA·PB的最大值为 .
【答案】12
【解析】方法一 由题意，得PA＝(2－x，－y)，
PB＝(－2－x，－y)，
所以PA·PB＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
方法二 (极化恒等式)
由题意知线段AB的中点为O(0，0)，BA＝(4，0)，
PA·PB＝14[(PA＋PB)2－(PA－PB)2]
＝PO2－14BA2＝|PO|2－4，
易知|PO|2的最大值为[(0−0)2＋(3−0)2＋1]2＝16，
所以PA·PB的最大值为12.
【解题技巧】与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y−bx−a，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【变式训练】
变式1.已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，则y0＋1x0−3的最大值为( )
A.－2B.－12
C.−4−73D.−4＋73
【答案】D
【解析】设k＝y0＋1x0−3，
变形可得k(x0－3)－y0－1＝0，则y0＋1x0−3的几何意义为直线k(x－3)－y－1＝0的斜率，
圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆C的圆心为C(1，1)，半径为1.
因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，
所以圆C与直线k(x－3)－y－1＝0有公共点，
即圆C的圆心C(1，1)到直线k(x－3)－y－1＝0的距离不大于圆C的半径，
所以k(1−3)−1−1|k2＋1≤1，
解得−4−73≤k≤−4＋73，
即y0＋1x0−3的最大值为−4＋73.
变式2.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为 .
【答案】74
【解析】设P(x0，y0)，则d＝|PB|2＋|PA|2＝x02＋(y0＋1)2＋x02＋(y0－1)2＝2(x02＋y02)＋2，x02＋y02表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(x02＋y02)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·北京)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为( )
A.2B.2
C.3D.32
【答案】D
【解析】将圆的方程化为标准方程，
得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为|1−(−3)＋2|12＋(−1)2＝62＝32.
2.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为( )
A.x2＋(y－1)2＝1
B.(x－2)2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－4)2＝4
D.x2＋(y－4)2＝4
【答案】D
【解析】依题意设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝4，又22＋(4－b)2＝4，解得b＝4，所以圆的方程为x2＋(y－4)2＝4.
3.若过点P(0，1)可作圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0的两条切线，则a的取值范围是( )
A.(3，＋∞)B.(－1，3)
C.(3，5)D.(5，＋∞)
【答案】C
【解析】圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0，即圆(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，则5－a>0，解得a5−a，即2>5－a，解得a>3，故3