2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第五章5.1平面向量的概念及线性运算(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第五章5.1平面向量的概念及线性运算(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了1　平面向量的概念及线性运算，向量的有关概念，向量的线性运算，共线向量定理，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
【名师点拨】
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(3)向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)√
【解析】(2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
2.下列命题正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.向量AB与BA是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
【答案】C
【解析】A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
C项，向量AB与BA方向相反，是平行向量，故C正确；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( )
A.OMB.2OMC.3OMD.4OM
【答案】D
【解析】如图，连接OM，
在△OAC中，M为AC的中点，所以OA＋OC＝2OM，
在△OBD中，M为BD的中点，所以OB＋OD＝2OM，所以OA＋OB＋OC＋OD＝4OM.
4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta与12a－32b共线，则实数t＝ .
【答案】13
【解析】由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ12a−32b，则t＝−12λ,32λ＝−1,解得t＝13.
【名师点拨】熟记平面向量线性运算的常用结论
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12(OA＋OB).
(2)在△ABC中，点P满足PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心⇔AP＝13(AB＋AC).
(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
(4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【必练核心题型】
题型一 平面向量的基本概念
【典例】1.下列四个命题中正确的有( )
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”
C.在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC
D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0
【答案】C
【解析】A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；C正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，且AB和DC方向相同，故AB＝DC；D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同.
【典例】2.如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A.AD＝BCB.AC＝BD
C.PE＝PFD.EP＝PF
【答案】D
【解析】方法一(排除法)
AD，BC不共线，AC，BD不共线，故A，B错误；PE，PF方向相反，C错误；故选D.
方法二 在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，∴PBPD＝PAPC，则PB＋PDPD＝PA＋PCPC，
即BDPD＝ACPC，即PDBD＝PCAC，
∵EF∥AB，∴PEAB＝PDBD＝PCAC＝PFAB，
∴PE＝PF，即P为EF的中点，
∴EP＝PF，故C错误，D正确.
【解题技巧】
平面向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)a|a|是与非零向量a同方向的单位向量.
【变式训练】
变式1.(多选)下列关于向量的说法正确的是( )
A.若|a|＝0，则a＝0
B.若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
【答案】AC
【解析】对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故B错误；
对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|