2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.4简单的三角恒等变换(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第四章4.4简单的三角恒等变换(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了4　简单的三角恒等变换，二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，积化和差公式等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝2tanα1−tan2α.
2.半角公式(不要求记忆)
sinα2＝±1−csα2；csα2＝±1＋csα2；tanα2＝±1−csα1＋csα.符号由α2所在象限决定.
3.积化和差公式
(1)cs αcs β＝12[cs(α＋β)＋cs(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－12[cs(α＋β)－cs(α－β)]；
(3)sin αcs β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cs αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].
4.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sinθ＋φ2csθ−φ2；
(2)sin θ－sin φ＝2csθ＋φ2sinθ−φ2；
(3)cs θ＋cs φ＝2csθ＋φ2csθ−φ2；
(4)cs θ－cs φ＝－2sinθ＋φ2sinθ−φ2.
【随堂训练】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).( )
(3)任意角α，sin 2α＝2sin α都不成立. ( )
(4)cs2α2＝12(1＋cs α)，cs 3α＝1－2sin23α2. ( )
2.cs2π12－cs25π12等于( )
A.12B.33C.22D.32
3.若α为第二象限角，sin α＝513，则sin 2α＝ .
4.已知tan 2α＝－43，α∈π，3π2，则tan α＝ .
【名师点拨】
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2 α2，1＋cs α＝2cs2 α2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝sinα2±csα22.(升幂公式)
(3)sin2α＝1−cs2α2，cs2α＝1＋cs2α2，
tan2α＝1−cs2α1＋cs2α.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tanα2＝sinα1＋csα＝1−csαsinα.
(5)万能公式
sin α＝2tan α21＋tan2α2，cs α＝1−tan2α21＋tan2α2，
tan α＝2tan α21−tan2α2.
(6)三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
cs2α－sin2β＝cs(α＋β)cs(α－β).
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；
(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；
(4)要注意“1”的各种变形.
【必练核心题型】
题型一 三角函数式的化简
【典例】1 (1)sin2α−π6＋sin2α＋π6－sin2α等于( )
A.－12B.－32C.12D.32
【典例】2.化简：(1＋cs2α)(2sin2α−1)tan α2tan2α2−1＝ .
【变式训练】
变式1.化简1＋sin4α−cs4α1＋sin4α＋cs4α的结果是( )
A.1tan2αB.tan 2αC.1tanαD.tan α
变式2.若3π2a
C.c>b>aD.b>a>c
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin−11π6的值相等的是( )
A.2sin 15°cs 15°
B.cs 18°cs 42°－sin 18°sin 42°
C.2cs215°－1
D.tan22.5°1−tan222.5°
8.已知函数f(x)＝sin2x＋π4，若a＝f(lg 5)，b＝flg 15，则( )
A.a＋b＝0B.a－b＝0
C.a＋b＝1D.a－b＝sin(2lg 5)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知sinα−π4＝23，则sin 2α＝ .
10.已知α，β均为锐角，cs α＝277，sin β＝3314，则cs 2α＝ ，2α－β＝ .
四、解答题(共28分)
11.(13分)化简：
(1)1tan α2−tan α21＋tanα·tan α2；(6分)
(2)2cs4x−2cs2x＋122tanπ4−xsin2π4＋x.(7分)
12.(15分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC＝OD.
(1)求扇形空地的面积；(4分)
(2)求矩形场地CDEF的最大面积.(11分)
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.(2025·湖北名校联盟联考)已知函数f(x)＝cs 2x＋cs 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1