专题04 二元一次方程组 4大高频考点试题-2026年七年级下册数学（人教版）期末试题分类汇编（含答案）

这是一份专题04 二元一次方程组 4大高频考点试题-2026年七年级下册数学（人教版）期末试题分类汇编（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点01二元一次方程组的基本概念
考点02二元一次方程组的解法
考点03实际问题与二元一次方程组
考点04三元一次方程组的解法
地 城
考点01
二元一次方程组的基本概念
一、单选题
1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列等式中，是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【详解】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（24-25七年级下·云南德宏·期末）关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，
∴，
解得：，
故选C．
3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（ ）
A．2个B．3个C．1个D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成．
【详解】解：，是二元一次方程组，
方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程，
中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件，
，方程中，项次数为2，不是一次方程，
符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个，
故选：A．
4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】本题考查了已知二元一次方程的解，求参数．将代入方程，直接计算a的值，即可作答．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并把选项的值代入原方程验证二元一次方程的解．
题目要求从选项中找出满足二元一次方程的解，只需要将每个选项中的数对代入方程左边，看结果是否等于5即可．
【详解】解：A．，
∴是方程的解，故此选项符合题意；
B．，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
C．，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
D．，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意．
故选：A ．
二、填空题
6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）是关于x，y的方程的一组解，则a的值为______．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将已知解代入方程中解得的值即可．
【详解】解：是关于，的方程的一组解，
，
解得：，
故答案为：1．
7．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如果方程组的解为，那么“”所得的数______．
【答案】12
【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识和方程解的概念；先将代入方程组，求得和⊕的值，再代入、求解．
【详解】解：，
，
解得，
即，
⊕，
⊕，
故答案为：12．
三、解答题
8．（24-25七年级下·青海海北·期末）已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组解的定义，把代入方程得关于的方程，解方程求出，再把，代入得到关于的方程，解方程求出即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得，
把，代入得：，
解得．
9．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的二元一次方程（为常数），且，．
(1)当时，求的值；
(2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
（1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可；
（2）由题意得，得到，求出．
【详解】（1）解：将代入得，
，，
，
，
，
；
（2）解：关于x，y的二元一次方程，，，
，
，
均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
将代入得，
，
，
方程的正整数解是，
当时，方程有正整数解．
10．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为．
(1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______．
(2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法．
（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可；
【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为，
∴二元一次方程的“关联系数”为；
故答案为：；
（2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，
∴二元一次方程为．
∵为该方程的一组解，
∴，即．
∵m，n均为正整数，
∴或
11．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．
(1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________．
(2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程；
(3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键．
（1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可；
（2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程；
（3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴二元一次方程的“相伴系数对”为，
故答案为：；
（2）解：∵方程的“相伴系数对”为，
∴该方程为，
∵是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
解得，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2，
∴，
整理得，
即．
12．（24-25七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可．
例：求二元一次方程的正整数解．
解：，．
、为正整数，
或．
【解决问题】
(1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______；
(2)求方程的正整数解；
(3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．
【答案】(1)11
(2)
(3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案；
（2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可；
（3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵为非负整数，
∴是3的倍数，且为非负数，
∴是3的倍数，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵x为正整数，
∴为正整数，
∴是2的倍数，且y为正整数，
∴当时，，
∴原方程的正整数解为；
（3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，
由题意得，，
∴，
∵b为正整数，
∴为正整数，
∴a是4的倍数，且a为正整数，
当时，，
当时，，
∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子．
地 城
考点02
二元一次方程组的解法
一、单选题
1．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．由消去y，求出x，再把x的值代入①求出y，然后求出即可．
【详解】解：，
得：③，
得：④，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴，
故选：D．
2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）解关于x，y的方程组下列消元方法正确的是（ ）
A．，消去xB．由②得代入①，消去y
C．，消去xD．由②得代入①，消去y
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，需通过代入或加减消元判断各选项的正确性．
【详解】选项A：将得：，与①相加后为：，即，消去的是y而非x，故A错误．
选项B：由②得代入①，得，方程仍含y，消去的是x，故B错误．
选项C：将得：，得：，两式相减得：，即，消去x，故C正确．
选项D：由②得，故D错误．
故选C．
3．（24-25七年级下·云南昆明·期末）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去，可以将
B．要消去，可以将
C．要消去，可以将
D．要消去，可以将
【答案】A
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【详解】解：，
要消去x，可以将或，故选项A正确，选项B错误；
要消去y，可以将，故选项C，D错误．
故选：A
4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知的解满足，则a的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，通过消元法解方程组，求出x和y的值，再计算的值即可．
【详解】解：
得：，
解得：，
将代入②得，
解得：，
∴，即，
故选：C．
5．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：将，与，代入方程得：
，
由方程②得，
将③代入方程①得，
解得；
将代入③得；
因此，，，
故选：A．
6．（22-23七年级下·吉林长春·期中）在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了加减消元法，通过将方程①减去方程②，消去未知数y，需使y的系数相减后结果为0，从而确定m和n的关系．
【详解】解：得，
∵可直接消去未知数y，
∴，
故选：C．
7．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）把方程组中的方程①或方程②改写成用含x的式子表示y的形式，下列改写正确的是（ ）
A．由①，得B．由①，得
C．由②，得D．由②，得
【答案】B
【分析】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：方程①：，
∴，故A错误，B正确；
方程②：，
，故C，D错误．
故选：B．
8．（24-25七年级下·黑龙江鸡西·期末）如果是方程组的解，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，先把代入得到关于、的方程组，解方程得到a、b的值，代入代数式即可得到答案．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴，
①②得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴，
故选：C．
9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．不论k取什么实数，的值始终不变
D．当时，方程组的解也是方程的解
【答案】C
【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，解出关于和的方程组，将解用表示，再逐一代入选项验证即可．
【详解】解∶解方程组，得方程组的解为，
当时，，，，故选项A不符合题意；
若，代入得：，
解得，故选项B不符合题意；
，与无关，始终为1，故选项C符合题意，
当时，，，则，故选项D不符合题意；
故选：C．
10．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则的值为（ ）
A．B．C．2025D．1
【答案】D
【分析】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值．本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同，
∴可得新方程组：，
①+②得：，
得：，
将代入①得：，
将，，代入可得：
，
解得：，
∴
，
故选：
二、填空题
11．（24-25七年级下·云南德宏·期末）由二元一次方程可以得到用表示的式子为______．
【答案】
【分析】本题考查代入消元法中的用一个未知数表示另一个未知数，移项后再变号即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（24-25七年级下·西藏日喀则·期末）将方程改写成用含的式子表示的形式是_________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的变形，准确分析计算是解题的关键．
把x看做已知数求出y即可．
【详解】解： ，
，
故答案为：．
13．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知方程组，那么与的关系是_____
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用加减消元法和整体的思想进行计算，即可解答．
【详解】解：，
②得：③，
①③得：，
即，
故答案为：．
14．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________．
【答案】
【分析】本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式．
通过设，，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n的方程组得到答案．
【详解】解：令，，
则关于m、n 的方程组可转化为，
已知原方程组的解是，
∴可得，解得．
故答案为：．
15．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知关于x，y的方程组的解满足等式，则m的值是_____．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程的解、二元一次方程组的解是解题的关键．根据加减消元法，用含m的式子表示出x和与y的值，将其代入即可求得m的值．
【详解】解：，
，得，
解得：，
把代入②得：，
将和代入得：，
解得：，
故答案为：1．
三、解答题
16．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
整理得，
，得，
，得，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
∴原方程组的解为．
17．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）解二元一次方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
得，解得，
把代入②得，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
整理得，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为．
18．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组．
(1)求方程组的解（用含m的代数式表示）；
(2)若方程组的解满足，，求m的整数解．
【答案】(1)
(2)2，
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）利用加减法解方程组即可；
（2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解．
【详解】（1），
②-①得：
解得：，
把代入①得：，
解方程组为；
（2），，
，
解得：，
的整数解是：2，
19．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是．
(1)二元一次方程的伴随数是___________；
(2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法．
（1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可；
（2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出、的值．
【详解】（1）解：二元一次方程变形为，
∴二元一次方程的伴随数是，
故答案为：；
（2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是，
∴原方程为，
∵，是方程的两组解，
∴，
解得．
20．24-25七年级下·福建泉州·期末）已知方程组，求的值．
小军在解决这个问题时，他采用了如下方法：
，消去z，得
他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，
可以在上式中“分离”出，
即
可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法．
(1)直接写出小军得到的的值．
(2)请利用小军的方法解决下面的问题：
甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？
【答案】(1)；
(2)丙需要花费元．
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握解三元一次方程组是解题的关键．
（）利用，可求出的值；
（）设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，根据题意，得，按照题例解题即可．
【详解】（1）解：，
，得：；
（2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，
根据题意，得，
，得，
原方程组可化为，
把代入，得，
∴．
答：丙需要花费元．
地 城
考点03
实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）泉州作为海上丝绸之路起点，历史上商贸繁荣，古代商人常用独特方法记录货物瓦器．每个大筐装8件丝绸，每个小筐装5件丝绸，大小筐共计24个，所装瓷器与丝绸总数为件．入筐有个，小筐有个．根据题意列出的方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设入筐有个，小筐有个，根据“大小筐共计24个”，因此方程为，大筐每筐装8件丝绸，小筐每筐装5件丝绸，总件数为156，因此方程为，可得答案.
【详解】解：设入筐有个，小筐有个，则
由“大小筐共计24个”，因此方程为，
大筐每筐装8件丝绸，小筐每筐装5件丝绸，总件数为156，因此方程为，
选项A的方程组完全符合上述条件，
故选A
2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数，两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键．
根据题意，2个人共用1个盘子，则少2个盘子，得方程；3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，得方程，联立这两个方程即可求解．
【详解】解：依题意，得
故选B．
3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，若每间圈舍都住满，求需要多少间圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程，明确题意，找出等量关系、列出相应的方程是解答本题的关键．根据题目中的等量关系，小圈舍和大圈舍容纳的鹿数总和为50，建立方程即可.
【详解】解：设小圈舍有x间，每间容纳4只鹿，总容纳只；大圈舍有y间，每间容纳6只鹿，总容纳只，根据总鹿数50只，
可得方程：，
即，
故选：C
二、填空题
4．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得分，负一场得分，小明所在的球队在场比赛中得分，若设小明所在的球队胜场，负场，则可列出方程组为______．
【答案】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，设小明所在的球队胜场，负场，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设小明所在的球队胜场，负场，
由题意得，，
故答案为：．
5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件3个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在28天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件天，乙种零件天，则根据题意列二元一次方程组是______．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用-配套问题，根据等量关系为：生产甲种零件的天数生产乙种零件的天数；生产甲种零件的天数生产甲种零件的效率生产乙种零件的天数生产乙种零件的效率，列方程组即可．
【详解】解：根据题意，两种零件总共需要28天，甲乙两种零件的配比为，
可列方程组为：，
故答案为：．
三、解答题
6．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答）
【答案】一张长方形纸片的长为，宽为
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解．
【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为，
由题意得
解得
答：一张长方形纸片的长为，宽为．
7．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图一张规格为的大纸板有两种剪裁方式分别可得到型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成横式和竖式两种无盖长方体纸盒（盖在上方）．已知一张大纸板可以恰好裁成8张型长方形纸板或者恰好裁成12张型正方形纸板．
(1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张．
(2)若用7张大纸板裁成型长方形纸板，用2张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？
(3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值．
【答案】(1)3，4
(2)可制作横式纸盒8个，竖式纸盒8个
(3)m的最大值为16
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，
对于（1），观察几何体可得答案；
对于（2），设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据题意列出方程组，求出解；
对于（3）, 设制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，表示出A形纸板需要张，B形纸板需要张，再根据题意列出不等式，求出解集．
【详解】（1）解：制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板3张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板4张.
故答案为：3，4；
（2）解：设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据题意，得
，
解得，
∴可制作横式纸盒8个，竖式纸盒8个；
（3）解：∵制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，
∴A形纸板需要张，B形纸板需要张，
∴，
解得，
∴m的最大值为16．
8．（24-25七年级下·青海玉树·期末）骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：（注：进价、售价均保持不变，利润售价进价）
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2)若商店准备用不多于3650元的资金购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？
(3)在的条件下，商店销售完这100个头盔能否实现获利1300元的目标？若能，请给出相应的进货方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)甲种头盔的销售单价是55元，乙种头盔的销售单价是40元
(2)65个
(3)能，购进60个甲种头盔，40个乙种头盔
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设甲种头盔的销售单价是x元，乙种头盔的销售单价是y元，利用销售额=销售单价销售数量，结合近两天的销售情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔个，利用进货总价进货单价购进数量，结合进货总价不多于3650元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（3）利用总利润每个甲种头盔的销售利润购进甲种头盔的数量每个乙种头盔的销售利润购进乙种头盔的数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种头盔的销售单价是x元，乙种头盔的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：
答：甲种头盔的销售单价是55元，乙种头盔的销售单价是40元；
（2）解：设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔个，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为
答：最多能购进甲种头盔65个；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
个
答：当购进60个甲种头盔，40个乙种头盔时，商店销售完这100个头盔获利1300元．
9．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
(2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．
（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可．
【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步
由题意可得
因为m、n为正整数，n为15的整数倍，
，，
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）清溪中学为艺术节获奖选手购买小笔记本、大笔记本、钢笔三种奖品，其中钢笔每支元，每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元．
(1)求小笔记本、大笔记本的单价分别是多少元？
(2)若学校准备购进小笔记本和大笔记本共本，费用不超过元，则最多可购进大笔记本多少本？
(3)若学校准备同时购进三种奖品（每种奖品都必须购买），且大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费元，若要使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
【答案】(1)5元，7元
(2)本
(3)小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式．
（1）设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，根据“每本大笔记本比小笔记本多2元，且购买3本小笔记本和5本大笔记本共需元”可列出关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进大笔记本m本，根据题意，则，解关于的一元一次不等式即可；
（3）设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，根据题意得：，由，b均为正整数，得，因此只能取5，，，分别求出这三种情况下购买奖品的总数，比较大小后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设小笔记本的单价为元，大笔记本的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，符合题意，
答：小笔记本的单价为5元，大笔记本的单价为7元．
（2）解：设购进大笔记本m本，则购进小笔记本本，
则，
解得：，
的最大值为，
答：最多可购进大笔记本本．
（3）解：设购买小笔记本a本，钢笔支，则大笔记本本，
根据题意得：，
，
，b均为正整数，
，
只能取5，，．
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则．
，
应购买小笔记本本，钢笔5支，大笔记本本．
11．（24-25七年级下·四川乐山·期末）“非遗酸菜”诞生在四川夹江县新场镇土门铺社区，是全国唯一一个泡菜类（酸菜）“非物质文化遗产”．假设一家经销公司一次性收购了23t酸菜，经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若经过精加工并包装，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4t或精加工并包装．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案：
①全部进行粗加工并包装；
②尽可能多地精加工并包装，余下的直接销售；
③部分精加工并包装，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成．
请根据以上信息，回答下列各小问：
(1)若选择方案①，求该公司所得的利润．
(2)请你探究一下，为公司做决策，选择第几种方案能使公司最大利润化，并说明理由．
【答案】(1)57500元
(2)第③种，见解析
【分析】本题考查列代数式，二元一次方程组的应用，方案选择，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）先求出方案②的利润，当选择方案③时，设进行粗加工并包装天，进行精加工并包装天，列出二元一次方程组，继而求出方案③的利润，再比较即可．
【详解】（1）解：（元）．
若选择方案①，求该公司所得的利润为元．
（2）当选择方案②时，由题意得，进行天精加工并包装，余下的直接销售．
则精加工并包装的数量为，直接销售的数量为．
此时的利润为：（元）．
当选择方案③时，设进行精加工并包装天，进行粗加工并包装天．
则
解得
此时的利润为：（元）．
由（1）知，当选择方案①时，利润为元．
，
选择第③种方案能使公司最大利润化．
12．（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况．
(1)求大小两款无人机的单次运输价格；
(2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
(3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元．
①求和的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
【答案】(1)大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元；
(2)小无人机实行九折优惠；
(3)①；②这两天总营收的最小值为18840元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解．
（1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价；
（2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣；
（3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值．
【详解】（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元．
根据题意，得：
得：，解得．
把代入①，得，解得．
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元．
（2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）．
大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）．
因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）．
小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元．
；
答：小无人机的优惠折扣为九折．
（3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元．
在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为．
∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元，
∴，则，
化简得：，即 ，
∴．
② 由①知，这两天总营收为．
打折前小无人机单次运输价格为120元，
∵总营收是120的整数倍，即为整数，，，
∴ 为整数，
又∵ 157 是质数，
∴a是40的倍数，a的最小值为40．
则总营收的最小值为元．
答：这两天总营收的最小值为18840元．地 城
考点04
三元一次方程组的解法
一、单选题
1．（24-25七年级下·河南周口·期末）方程组 的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解．
【详解】解：
由得：，
把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
故选：C
2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】C
【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法．
将三个方程相加，求出的值，再代入方程中解出k的值．
【详解】解：将方程组中的三个方程相加：
∴
∴
将代入方程中：
解得：
故选：C．
3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．
根据矩阵定义，将矩阵转化为三元一次方程组，通过消元法解出x和y关于z的表达式，代入并令其系数为0，得到t与m的关系．
【详解】解：由题意得：，
得，，
∴，
将③代入①得，，
∴
，
∵为定值，
∴，
∴．
故选：B．
4．（24-25七年级下·福建泉州·期末）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（ ）
A．24元B．31元C．38元D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了三元一次方程组问题，代入消元法等知识点，熟练掌握代入消元是解题的关键．设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元，根据题意，列出方程组，解得，，代入，计算即可．
【详解】解：设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元，
根据题意，列出方程组，
得，
得，
∴代入①式，
∴，
解得，
∴，
∴，
所以购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要24元．
故选A．
二、填空题
5．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知，则的值为________．
【答案】1
【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解．
【详解】解：
得
∴
故答案为：．
6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，则_____．
【答案】3
【分析】本题考查解三元一次方程组，代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加可得，再将第一个方程变形得，从而求得的值，然后代入原式计算即可．
【详解】解：，
得：，
则，
由得：，
则，
原式，
故答案为：．
7．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，（），则_________．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可．
【详解】解∶联立，，
得，
解得，
∴，
故答案为∶．
8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，这就是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将、、、、2、4、6、8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则___________．
【答案】
【分析】本题考查有理数加减运算，方程的应用，合理设出未知数，找到列方程的等量关系是解决问题的关键．将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，列出方程进行求解即可．
【详解】解：如图所示，将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据题意得：
外圆四数之和： ，
内圆四数之和：，
横向四数之和： ，
纵向四数之和：，
整理得：
①，
②，
③，
④，
由①④可得，
由②④可得，比小，
而没有填入的数只有，
∴ ，
∴．
故答案为：16．
三、解答题
9．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解方程组．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解．
通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值．
【详解】解：
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
∴方程组的解为．
10．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）解下列方程组．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组．
（1）用加减消元法求解即可；
（2）消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可．
【详解】（1）
，得
∴
把代入①，得
∴
∴
（2）
，得
联立②和④，得
，
解得
把代入①，得
∴
时间
甲头盔销量
乙头盔销量
销售额
周一
8
10
840
周二
8
12
920
大无人机运输次数（单）
小无人机运输次数（单）
营收（元）
第一天
4
20
3600
第二天
8
28
5760