内蒙古鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析）

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1．（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则复数虚部为（ ）
A．1B．C．D．
3．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．数据5.2，7.1，8.1，8.3，8.5，8.6，8.8，9.1的第75百分位数为（ ）
A．8.5B．8.6C．8.7D．8.8
5．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（ ）
A．B．C．11D．
7．已知的面积为，则（ ）
A．3B．5C．6D．7
8．在中，角对应的边分别为，，则此三角形有（ ）
A．无解B．1个解C．2个解D．1或2个解
二、多选题
9．已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ）
A．B．C．D．
10．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（ ）
A．在四面体中，点的曲率为
B．在四面体中，点的曲率大于
C．四面体外接球的表面积为
D．四面体内切球半径的倒数为
11．已知一组样本数据、、、，下列说法正确的是（ ）
A．该样本数据的第百分位数为
B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数
C．剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D．若、、、的平均数为，方差为，、、、的平均数为，方差为，则、、、的方差为
三、填空题
12．已知复数为纯虚数， 则________________；
13．在中，已知，则的形状是______．
14．正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为_________(用表示)
四、解答题
15．在中，内角所对的边长分别是，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积的最大值．
16．已知复数，求满足下列条件的实数m的值或取值范围.
(1)复数z与复数相等；
(2)复数z与复数互为共轭复数；
(3)复数z在复平面内对应的点在实轴上方.
17．如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
18．我国大部分省市已经实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数(Raw Scre)计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从化学、生物、政治、地理四门学科中“再选”两门学科，以等级分(Grade Scring)计入高考成绩.按照这个方案，“再选”学科的等级分赋分规则如下：将考生的原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为 其中R₁，R₂分别表示原始分区间的最低分和最高分，( 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，R表示考生的原始分，G 表示考生的等级分，规定原始分为R时，等级分为G.某次化学考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55)，第二组[55,65), 第 三 组 [65,75), 第 四 组 [75,85), 第 五 组[85，95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)根据频率分布直方图求a，b的值，并估计此次化学考试原始分的平均值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考生化学成绩A等级的原始分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某同学化学成绩的原始分为83，试计算其等级分.
19．掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数
(1)求两枚骰子点数相同的概率；
(2)记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7
（ⅰ）判断事件与是否相互独立；
（ⅱ）判断事件与是否相互独立．
参考答案
1．A
【详解】.
2．C
【详解】由题意可得，
所以复数虚部为.
3．B
【详解】设正三棱柱中，，则，
取中点，中点，中点，连接、、，
如图，
，且，
，且，
(或其补角)就是异面直线与所成的角.
在中，，，
，
故.
同理，在 中，，，
，
故.
过作于，连接，
，故是中点，
所以，又，
所以
在中：
，，，
所以是等腰三角形，且.
所以与所成的角为其补角.
故选：B.
4．C
【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数为从小到大排列的第6、7两数的平均数，即.
故选：C．
5．B
【详解】记事件为“至少有1人去厦门旅游”，其对立事件为“三人都不去厦门旅游”，
由独立事件的概率公式可得，
由对立事件的概率公式可得.
故选：B
6．C
【详解】因为，，所以，
又A、C、D三点共线，所以，所以，解得.
7．D
【详解】因为的面积为，
所以，
所以由余弦定理可知：.
8．C
【详解】由正弦定理得，，即，
因为，所以，
所以，即，
所以角有2解（锐角或钝角），
又，所以钝角解也符合构成三角形的条件，
所以此三角形有2解．
9．BCD
【详解】因为，
则，．
为纯虚数的是，，.
故选：BCD．
10．ABD
【详解】在正方体中，易证为正三角形，，，
在四面体中，点的曲率为，A选项正确；
在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B选项正确；
四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为，
四面体外接球的表面积为，C选项错误；
四面体的体积，
四面体的表面积，
四面体内切球的半径，
即，D选项正确；
故选：ABD.
11．BC
【详解】对于A选项，由，所以样本数据的第百分位数为，A错；
对于B选项，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，则其平均数大于中位数，B对；
对于C选项，若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为，
因为，则，由不等式的基本性质可得，
即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差；
若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为，
因为，则，即新样本数据的极差不大于原样本数据的极差；
若剔除的数据为，则新样本数据的极差为，原样本数据的极差为，即新样本数据的极差等于原样本数据的极差；
综上可知剔除某个数据后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，C对；
对于D选项，由，则，
所以、、、的方差为，D错.
故选：BC.
12．
【详解】因为，
又复数为纯虚数，所以，解得.
故答案为：
13．等腰三角形
【详解】根据正弦定理和余弦定理，可化为，
∴，即，则，
∴为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形
14．
【详解】设在正四面体内与球和均相切的球为，半径为，
设球的半径为，取的中点为，连接，设为正四面体的高，
球，球与侧面分别相切于点，显然点在上，是底面的中心，
又正四面体边长为，所以，
所以，如图，在中，，
连接，由，解得，
连接，又由，
所以球的表面积为，
故答案为：.

15．(1)
(2)
【详解】（1）由
，
由于，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即,
故；
（2）因为，，所以由余弦定理可得：
，
由基本不等式可得：，所以，
当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据复数相等的充要条件，得，解得.
（2）根据共轭复数的定义，得，解得.
（3）由题意，知，解得或，
故实数m的取值范围为.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
如图，连接，设，连接.
因，，可得，则，
又，则得，
因平面，平面，
故平面.
（2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则，
因平面平面则，
又平面，故平面.
18．(1)a=0.005,b=0.025，69.5
(2)[80,94]
(3)89
【详解】（1）由题意可知:，且，
解得：，
可知每组的频率依次为：，
则该同学化学原始分的平均值为：
．
（2）由频率分布直方图知：原始分成绩位于区间的占比为，
位于区间的占比为，
因为成绩A等级占比为，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间，估计等级A的原始分区间的最低分为 ，
已知最高分为，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．
（3）由公式，得
，得，
所以该学生的等级分为分.
19．(1)
(2)（ⅰ）事件与不相互独立
（ⅱ）事件与相互独立
【详解】（1）用表示红色和蓝色两枚均匀的骰子朝上的面的点数，
则样本空间，
记事件为两枚骰子点数相同，
则.
（2）（ⅰ）,，
,
所以, ,
,
故事件与不相互独立，
（ⅱ）因为,
,所以,
,等 级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86,100]
[71,85]
[56,70]
[41,55]
[30,40]