内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ）
A．2B．3C．1D．4
2．已知，，（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．1D．3
3．若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ）
A．B．C．2D．3
4．样本数据19，20，21，23，13，16，24，28的第40百分位数为（ ）
A．16B．23C．17.5D．20
5．已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ）
A．2B．6C．4D．8
7．已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，，若点满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数的实部与虚部相同且不为0，若，则（ ）
A．的虚部为1
B．在复平面内，所对应的点位于第一象限
C．
D．
10．下列有6个面的多面体是（ ）
A．五棱锥B．四棱柱C．四棱锥D．圆柱
11．某人利用运动手表记录了某月每天的运动时长（单位：h），统计结果如下表所示：
则下列结论正确的是（ ）
A．该人该月运动时长的极差为8hB．该人该月运动时长的中位数为1.75h
C．该人该月运动时长的平均数为1.8hD．该人该月运动时长的方差小于1
三、填空题
12．若复数的实部为，则的最大值为______.
13．已知向量的夹角为，则__________.
14．如图所示，在直三棱柱中，，，P是线段上一动点，则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知向量，.
(1)求；
(2)设，的夹角为，求的值；
16．已知复数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
17．如图，在边长为4的正方体中， 点在上.
(1)当是中点时，证明平面；
(2)当和重合时，求三棱锥的表面积和体积；
18．课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了400名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及一个学期课外阅读时间在内的学生人数；
(2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
19．有一种游戏，方法是将红、白颜色的两枚质地均匀的骰子抛掷一次．
(1)出现点的概率？
(2)出现点数和为六的概率？
(3)如果两枚骰子点数之和是2，3，4，10，11，12，那么红方胜利，如果两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9那么白方胜，这种游戏对双方公平吗？请说明哪方占便宜．
运动时长
0.5
1
1.5
2
2.5
3
天数
2
3
10
9
2
4
参考答案
1．A
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设， ，，，
则为 的中点，所以.
因此，，
所以.
2．A
【详解】.
3．A
【详解】由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为，
圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为，
所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是.
故选：A
4．D
【详解】根据题意，将数据按从小到大顺序排列为13，16，19，20，21，23，24，28，
因为，
则该组数据的第40百分位数，是从小到大排列后的第4个数据，即20．
故选：D．
5．C
【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立，
所以，
则.
故选：C.
6．B
【详解】在中，由及正弦定理，得，
而，则，又，因此，而，，
由余弦定理得，
所以.
7．A
【详解】已知 .
在 方向上的投影: .
方向的单位向量: .
则在方向上的投影向量为.
8．B
【详解】由 ，得 ， .
所以
9．ABD
【详解】设，则，解得或舍，故，故A正确；
在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选:ABD.
10．AB
【详解】对于A，五棱锥是有5个侧面，1个底面，共6个面的多面体，正确；
对于B，四棱柱是有4个侧面2个底面，共6个面的多面体，正确；
对于C，四棱锥是有4个侧面1个底面，共5个面的多面体，不符合题意；
对于D，圆柱为旋转体，不符合题意，
故选：AB
11．BCD
【详解】选项A：由题表可得该人该月运动时长的极差为，故A错误.
选项B：将该人该月的运动时长按从小到大的顺序排列后，中位数为第15个数据与第16个数据的平均数，由题表可知第15个数据是1.5，第16个数据是2，该月共有30天，因此该人该月运动时长的中位数为1.75h，,故B正确.
选项C：该人该月运动时长的平均数为，故C正确.
选项D：该人该月运动时长的方差为，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】，
因为的实部为，所以，故的最大值为.
故答案为：
13．
【详解】由题意可得，
可知.
14．7
【详解】连接，以所在直线为旋转轴，将所在平面旋转到与平面重合，
设点的新位置为，连接，则有，如图所示.
当A，P，三点共线时，的长为的最小值，
因为，，所以.
又，所以是边长为的正三角形，.
又，所以，所以，
由勾股定理可得.
故答案为：7
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，.
所以，因此
所以.
（2）因为，.
所以， ，
所以
16．(1)；
(2).
【详解】（1）由题意得，得，故.
（2）由题设，在复平面内对应的点为，
因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，
得或，则，即的取值范围为．
17．(1)证明见详解
(2)，
【详解】（1）证明：连接，交于，连接，
在正方体中，底面为正方形，
所以为中点，又是中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）当和重合时，
在正方体中，平面，
，，
所以三棱锥的表面积
，
体积，
所以三棱锥的表面积为，体积为.
18．(1)，160
(2)105小时
【详解】（1）由频率分布直方图可知：．
解得．
所以一个学期课外阅读时间在内的学生人数为．
（2）该校学生一个学期课外阅读时间的平均数
.
即估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为105小时.
19．(1)
(2)
(3)不公平，答案见解析
【详解】（1）事件表示红骰子出现1，事件表示白骰子出现5．事件独立．
出现表示事件且同时发生，
所以.
（2）出现点数和为六的事件是：事件或事件或事件或事件或事件．
所以.
（3）两枚骰子点数之和见下表：
其中点数之和是2，3，4，10，11，12的情况共12种，即红方胜的概率是，
两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9的情况共24种，即白方胜的概率是．点数
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12