2025--2026学年内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学高二下册5月期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学高二下册5月期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 张丽的书桌上有本不同的语文课外读物和本不同的英语课外读物.现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，则不同的取法种数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
2. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ）
A. 540小时B. 542小时C. 548小时D. 600小时
6. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为．
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A. 55B. 55.8
C. 59D. 51
7. 曲线在点处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（ ）
A.
B.
C. 展开式中的系数为
D. 展开式中常数项为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若样本数据的方差为4，则数据的方差为9
B. 若随机变量，，则
C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
D. 若事件A，B满足，，，则有
11. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数
B. 3是的极大值点
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 若，则在上存在最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则__________.
13. 已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下：
并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______
14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表．
（1）完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？
（2）根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望．
附：，．
16. 某校有3名男教师，2名女教师报名去边区支教，学校准备从这5人中选3人去支教.
（1）设所选3人中女教师的人数为，写出的分布列，并求的数学期望及方差；
（2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率.
17. 设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
18. 回答下列问题
（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？
（2）有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？
（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？
19. 已知函数的图像在点处的切线方程为．
（1）用实数a分别表示出实数b和c；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围.
数学
本试卷共150分 考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 张丽的书桌上有本不同的语文课外读物和本不同的英语课外读物.现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，则不同的取法种数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
答案：A
解析：
思路：利用组合数，从7本书中取一本有取法；
解答过程：由桌面上共有7本书，所以抽取一本的取法有种，
故选：A
2. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
解答过程：的展开式通项为，
令，可得，
故展开式中的常数项为.
3. 已知随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果.
解答过程：由分布列的性质可得，解得，
所以，
故.
故选：D.
4. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：B
解析：
思路：由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果.
解答过程：由题意可知：，则，，
Y的可能取值为0，1，2，
则，，，
可得，
，
所以.
故选：B.
5. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ）
A. 540小时B. 542小时C. 548小时D. 600小时
答案：B
解析：
解答过程：将样本中心点代入线性回归方程，得，解得，
所以线性回归方程为，当时，.
所以估计加工1500个零件所花费的时间为542小时.
6. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为．
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A. 55B. 55.8
C. 59D. 51
答案：D
解析：
思路：首先根据回归直线必过样本点中心，代入方程求，即可求不清楚的数据.
解答过程：回归直线必过样本点中心，其中，
所以，
所以不清楚的数值为.
故选：D
7. 曲线在点处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：由题意得为切点，再利用导数的几何意义即可求得结果.
解答过程：由，得到在处切线的斜率为，
故在点处的切线方程为：，整理得：
故选：C
8. 已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条
答案：B
解析：
思路：设切点为，利用导数，结合直线的点斜式方程求出切线的方程，联立切线方程和曲线方程，化简得方程，根据切线与曲线有且只有一个公共点，求出参数的值即可.
解答过程：函数，对其求导得.
设切点为，则切线斜率为
又，
所以切线方程为，
化简得.
将切线方程和曲线方程联立得：
整理得，
因式分解得，
解得或，
因为切线与曲线有且只有一个公共点，
所以，解得，
此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（ ）
A.
B.
C. 展开式中的系数为
D. 展开式中常数项为
答案：ACD
解析：
思路：根据二项式系数的和的性质求出，即可判断AB；求出展开式的通项，令的指数等于即可判断C；令的指数等于即可判断D.
解答过程：由题意，解得，故 A正确；B错误；
二项展开式的通项为，
令，则，
所以展开式中的系数为，故C正确；
令，则，
所以展开式中常数项为，故D错误.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若样本数据的方差为4，则数据的方差为9
B. 若随机变量，，则
C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
D. 若事件A，B满足，，，则有
答案：BD
解析：
思路：A选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；B选项，根据正太分布曲线可求得；C选项相关系数越接近1，相关性越强；D选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得.
解答过程：由于，所以数据的方差为16，因此选项A错误；
随机变量，，
则，因此选项B正确；
线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误；
由于等价于“事件A与事件B相互独立”，即，故必有.因此选项D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数
B. 3是的极大值点
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 若，则在上存在最大值
答案：AC
解析：
解答过程：A，，显然是奇函数，正确；
B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误；
C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确；
D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则__________.
答案：
解析：
思路：写出展开式的通项，即可得到，由组合数公式解得即可.
解答过程：因为展开式的通项为，
因为第2项与第3项的二项式系数之比为，
所以，即，解得.
故
13. 已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下：
并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______
答案：9.11万次
解析：
思路：根据条件，求出关于的回归直线方程，即可求解.
解答过程：因为，
则，所以关于的回归直线方程为，
当时，，故预测第6天的点击量约为9.11万次，
故9.11万次.
14. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案.
解答过程：，令可得，
因为有两个极值点，所以有两个变号零点，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于，
又，简图如下，

由图可知，，即实数的取值范围是.
故
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表．
（1）完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？
（2）根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望．
附：，．
答案：（1）列联表见解析；有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，理由见解析
（2）分布列见解析；期望为
解析：
思路：（1）完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）计算出5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒，从而得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列,计算出数学期望.
（1）完成的列联表如下：
．
∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关．
（2）根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为，
利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒．
随机变量，2，3．
；；．
X的分布列为
．
16. 某校有3名男教师，2名女教师报名去边区支教，学校准备从这5人中选3人去支教.
（1）设所选3人中女教师的人数为，写出的分布列，并求的数学期望及方差；
（2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率.
答案：（1）分布列详见解析，，；
（2）解析：
思路：（1）确定X的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X的分布列，E(X)和D(X)；
（2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率.
（1）X的所有可能取值为0，1，2，
且，，
，
所以X的分布列为：
故，
.
（2）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，
则，，
所以.
17. 设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
答案：（1）
（2）最大值为，最小值为
解析：
思路：（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程；
（2）求导，确定单调性后即可求解最值.
（1）由题意知，，即切点为，
由已知，则，
曲线在点处的切线方程为，即；
（2），得或.
当时，，所以函数在区间上单调递增，
当时，，所以函数在区间上单调递减.
所以函数的极小值点为，极小值为，
因为，，故在区间上的最大值为，最小值为.
18. 回答下列问题
（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？
（2）有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？
（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？
答案：（1）
（2） （3）
解析：
（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类，
分配方式为时，共有种分法，
分配方式为时，共有种分法，
由分类加法计数原理可得共有种分法.
（2）个相同的口罩，每位同学先拿一个，
剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成份，
每一种分法所得份给到个人即可，
所以不同的发放方法有种.
（3）若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法，
若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法，
若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法，
由分类加法计数原理可得共有种选法.
19. 已知函数的图像在点处的切线方程为．
（1）用实数a分别表示出实数b和c；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围.
答案：（1），；
（2）解析：
思路：（1）由切点坐标及导数的几何意义列方程求解；
（2）构造函数，利用导数讨论函数的单调性求解.
（1）的定义域为，，又由切线方程可得，
所以且，
则，；
（2）由（1）可知，
则可转化为在上恒成立，
设，定义域为，，，
，
当时，即时，当时，，
∴在内单调递减，
∴，这与题意不符，
当时，时，当时，，∴在内单调递增，
∴，即恒成立，仅当时等号成立，
综上所述，实数a的取值范围为.
零件数x（个）
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加工时间y（min）
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合计
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