中考数学一轮复习考点讲与练第13讲 二次函数专项突破二（2份，原卷版+解析版）

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（思维导图+11种题型（含31种考向）+命题预测）
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc192775000" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc192775001" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc192775002" 03核心精讲·题型突破
\l "_Tc192775003" ►题型01 二次函数与图形变换
\l "_Tc192775004" 考向一 平移
\l "_Tc192775005" 考向二 翻折
\l "_Tc192775006" ►题型02 二次函数与相似三角形
\l "_Tc192775007" 考向一 已知相似三角形求值
\l "_Tc192775008" 考向二 已知相似三角形求坐标
\l "_Tc192775009" 考向三 相似三角形存在性问题
\l "_Tc192775010" ►题型03 二次函数等腰三角形
\l "_Tc192775011" 考向一 已知等腰三角形求值
\l "_Tc192775012" 考向二 已知等腰三角形求坐标
\l "_Tc192775013" 考向三 等腰三角形存在性问题
\l "_Tc192775014" ►题型04 二次函数与直角三角形
\l "_Tc192775015" 考向一 已知直角三角形求值
\l "_Tc192775016" 考向二 已知直角三角形求坐标
\l "_Tc192775017" 考向三 直角三角形存在性问题
\l "_Tc192775018" ►题型05 二次函数与等腰直角三角形
\l "_Tc192775019" 考向一 已知等腰直角三角形求值
\l "_Tc192775020" 考向二 已知等腰直角三角形求坐标
\l "_Tc192775021" 考向三 等腰直角三角形存在性问题
\l "_Tc192775022" ►题型06 二次函数与平行四边形
\l "_Tc192775023" 考向一 已知平行四边形求值/坐标
\l "_Tc192775024" 考向二 平行四边形存在性问题（两定两动，一边明确）
\l "_Tc192775025" 考向三 平行四边形存在性问题（两定两动，边未明确）
\l "_Tc192775026" ►题型07 二次函数与矩形，菱形，正方形存在性问题
\l "_Tc192775027" ►题型08 二次函数与最值问题
\l "_Tc192775028" 考向一 线段最值
\l "_Tc192775029" 考向二 周长最值
\l "_Tc192775030" 考向三 线段比/面积比最值
\l "_Tc192775031" 考向四 将军饮马/将军遛马问题
\l "_Tc192775032" 考向五 胡不归/阿氏圆最值问题
\l "_Tc192775033" ►题型09 二次函数与定值问题
\l "_Tc192775034" 考向一 两定一动
\l "_Tc192775035" 考向二 一定两动
\l "_Tc192775036" 考向三 化斜为直
\l "_Tc192775037" ►题型10 二次函数与定点问题
\l "_Tc192775038" 考向一 单切线类
\l "_Tc192775039" 考向二 双切线
\l "_Tc192775040" 考向三 抛物线内接三角形类
\l "_Tc192775041" ►题型11 二次函数与参数
\l "_Tc192775042" 考向一 参数表示量
\l "_Tc192775043" 考向二 定值求参
\l "_Tc192775044" 考向三 参数间存在的数量关系
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
"file/C:\\Users\\10522\\AppData\\Lcal\\Temp\\360zip$Temp\\360$0\\第24讲%20矩形的性质与判定（讲义，1考点+1命题点21种题型)（原卷版）.dcx" \l "_Tc188278346" 03核心精讲·题型突破
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型01 二次函数与图形变换
考向一 平移
1．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【答案】(1)A−8,0，B0,6
(2)b=32，c=6
(3)y=316x−422或y=316x+422
【分析】（1）根据题意，分别将x=0，y=0代入直线y=34x+6即可求得；
（2）设Cm,34m+6，得到抛物线的顶点式为y=ax−m2+34m+6，将B0,6代入可求得m=−34a，进而可得到抛物线解析式为y=ax2+32x+6，即可求得b，c；
（3）根据题意，设Pp,0，Cm,34m+6，根据平移的性质可得点B，点C向下平移的距离相同，即列式求得m=−4，a=316，然后得到抛物线N解析式为：y=316x−p2，将B0,6代入可得p=±42，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，
当x=0时，代入得：y=6，故B0,6，
当y=0时，代入得：x=−8，故A−8,0，
（2）设Cm,34m+6，
则可设抛物线的解析式为：y=ax−m2+34m+6，
∵抛物线M经过点B，
将B0,6代入得：am2+34m+6=6，
∵m≠0，
∴am=−34，
即m=−34a，
∴将m=−34a代入y=ax−m2+34m+6，
整理得：y=ax2+32x+6，
故b=32，c=6；
（3）如图：
∵CD∥x轴，点P在x轴上，
∴设Pp,0，Cm,34m+6，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点B，点C向下平移的距离相同，
∴34m+6=6−34m+6，
解得：m=−4，
由（2）知m=−34a，
∴a=316，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316x−p2，
将B0,6代入可得：p=±42，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316x−422或y=316x+422．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
2．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=−2x上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．

(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是_________三角形；
(2)求证：△AOE≌△BOD；
(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx−4向左平移2个单位，得到抛物线y2．
①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；
②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；
③将抛物线y2再向下平移，2(t−1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)详见解析
(3)①t=3；②t=6；③D125,65
【分析】（1）由A(0,2),B(2,0)得到OA=OB=2，又由∠AOB=90°，即可得到结论；
（2）由∠EOD=90°，∠AOB=90°得到∠AOE=∠BOD，又有AO=OB，OD=OE，利用SAS即可证明△AOE≌△BOD；
（3）①求出直线AC的解析式和抛物线y1的解析式，联立得x2−t+3x+3t=0，由Δ=(t+3)2−4×3t=(t−3)2=0即可得到t的值；
②抛物线y1=−2tx2+2t(t+2)x−4向左平移2个单位得到抛物线y2=−2tx−t−222+(t−2)22t，则抛物线y2的顶点Pt−22,(t−2)22t，将顶点Pt−22,(t−2)22t代入yAC=−2tx+2得到t2−6t=0，解得t1=0,t2=6,根据t>2即可得到t的值；
③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，先证明△ODN≌△EOM(AAS)，则ON=EM,DN=OM，设EM=2OM=2m,由OA∥EM得到OC:CM=OA:EM,则tt+m=22m,求得m=tt−1,得到D2tt−1,tt−1，由抛物线y2再向下平移2(t−1)2个单位，得到抛物线y3=−2tx2+2t(t−2)x−2(t−1)2,把D2tt−1,tt−1代入抛物线y3=−2tx2+2t(t−2)x−2(t−1)2,得到3t2−19t+6=0,解得t1=13,t2=6,由t>2，得t=6,即可得到点D的坐标．
【详解】（1）证明：∵A(0,2),B(2,0)，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形
（2）如图，

∵∠EOD=90°，∠AOB=90°，
∴∠AOB−∠AOD=∠DOE−∠AOD，
∴∠AOE=∠BOD，
∵AO=OB,OD=OE，
∴△AOE≌△BOD(SAS)；
（3）①设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A(0,2),C(t,0)，
∴b=2kt+b=0，
∴yAC=−2tx+2，
将C(t,0),B(2,0)代入抛物线y1=ax2+bx−4得，
0=at2+bt−40=4a+2b−4，
解得a=−2t,b=2t(t+2)，
∴y1=−2tx2+2t(t+2)x−4，
∵直线yAC=−2tx+2与抛物线y1=−2tx2+2t(t+2)x−4有唯一交点
∴联立解析式组成方程组解得x2−t+3x+3t=0
∴Δ=(t+3)2−4×3t=(t−3)2=0
∴t=3
②∵抛物线y1=−2tx2+2t(t+2)x−4向左平移2个单位得到y2，
∴抛物线y2=−2tx−t−222+(t−2)22t，
∴抛物线y2的顶点Pt−22,(t−2)22t，
将顶点Pt−22,(t−2)22t代入yAC=−2tx+2，
∴t2−6t=0，解得t1=0,t2=6,
∵t>2，
∴t=6；
③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N,

∴∠EMO=∠OND=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠EOM+∠MEO=∠EOM+∠NOD=90°，
∴∠MEO=∠NOD，
∵OD=OE，
∴△ODN≌△EOM(AAS)，
∴ON=EM,DN=OM，
∵OE的解析式为y=−2x，
∴设EM=2OM=2m,
∴DN=OM=m，
∵EM⊥x轴,
∴OA∥EM,
∴△CAO~△CEM，
∴OC:CM=OA:EM,
∴tt+m=22m,
∴m=tt−1,
∴EM=ON=2OM=2m=2tt−1，DN=OM=m=tt−1，
∴D2tt−1,tt−1,
∵抛物线y2再向下平移2(t−1)2个单位，得到抛物线y3，
∴抛物线y3=−2tx2+2t(t−2)x−2(t−1)2,
∴D2tt−1,tt−1代入抛物线y3=−2tx2+2t(t−2)x−2(t−1)2,
∴3t2−19t+6=0,
解得t1=13,t2=6,
由t>2，得t=6,
∴2tt−1=126−1=125,tt−1=66−1=65，
∴D125,65．
【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键．
考向二 翻折
3．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=25．求点F的坐标．
【答案】(1)y=12x2+x−4
(2)1或32
(3)4,8
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵C(0,−4)，
∴c=−4，
y=ax2+bx−4，
把A(−4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c，得：16a−4b−4=04a+2b−4=0，
解得：a=12b=1，
∴抛物线的解析式为y=12x2+x−4
（2）∵直线表达式y=kx+6，
∴直线经过定点0,6，
∴将过点0,6的直线旋转观察和新图象的公共点情况
∵把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的解析式为y=12x2+x−4，
∴新图象表达式为：−4