中考数学一轮复习考点讲与练第11讲 圆中的计算（压轴题）（2份，原卷版+解析版）

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（思维导图+1考点+1命题点9种题型（含18种考向）+命题预测）
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc192573899" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc192573900" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc192573901" 03核心精讲·题型突破
\l "_Tc192573902" 考点 圆中的计算
\l "_Tc192573903" ►题型01 与圆有关的覆盖问题
\l "_Tc192573904" ►题型02 与圆有关的截取问题
\l "_Tc192573905" ►题型03 与圆有关的折叠问题
\l "_Tc192573906" ►题型04 与圆有关的旋转问题
\l "_Tc192573907" ►题型05 面积法
\l "_Tc192573908" 考向一 三角形与圆
\l "_Tc192573909" 考向二 四边形与圆
\l "_Tc192573910" ►题型06 与圆有关的阅读理解问题
\l "_Tc192573911" 考向一 理解公式
\l "_Tc192573912" 考向二 理解方法
\l "_Tc192573913" 考向三 理解定理
\l "_Tc192573914" ►题型07 圆与全等
\l "_Tc192573915" 考向一 全等转边
\l "_Tc192573916" 考向二 全等转角
\l "_Tc192573917" 考向三 全等证线段的关系
\l "_Tc192573918" ►题型08 圆与相似
\l "_Tc192573919" 考向一 作垂线构相似
\l "_Tc192573920" 考向二 由隐含直角构相似
\l "_Tc192573921" 考向三 作平行线构“A，X”型相似
\l "_Tc192573922" 考向四 构母子型相似
\l "_Tc192573923" ►题型09 圆与三角函数
\l "_Tc192573924" 考向一 用已知直角
\l "_Tc192573925" 考向二 作垂线构直角
\l "_Tc192573926" 考向三 作垂径构直角
\l "_Tc192573927" 考向四 用直径构直角
\l "_Tc192573928" 考向五 用切线构直角
\l "_Tc192573929" 考向六 等角转换
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
"file/C:\\Users\\10522\\AppData\\Lcal\\Temp\\360zip$Temp\\360$0\\第24讲%20矩形的性质与判定（讲义，1考点+1命题点21种题型)（原卷版）.dcx" \l "_Tc188278346" 03核心精讲·题型突破
考点一 圆中的计算
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型01 与圆有关的覆盖问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若a−b2=4，大正方形的面积为20，现用一个半径为r的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则r的最小值是（ ）
A．325B．52C．522D．525
2．（2023·安徽淮北·模拟预测）综合与实践
定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现：
（1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆，
（2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
如图1，以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆．
(1)实践与操作：如图2．在△ABC中，∠A=105°，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)应用与计算：如图3，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，AB=23，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型02 与圆有关的截取问题
3．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料ABCD中， AD∥BC ，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A．11013cmB．8cmC．62cmD．10cm
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形材料ABCD中，AD⊥CD，AB=26cm，BC=30cm，tanB=tanC=125，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为（ ）

A．10cmB．12cmC．102cmD．13cm
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型03 与圆有关的折叠问题
5．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，点C为OB上一点，将扇形AOB沿AC折叠，使点B的对应点B'落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为 ．
6．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，将劣弧CD沿弦CD折叠，折叠后的弧恰好与AB相切于OB的中点M，若CD=11，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C．52D．4
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型04 与圆有关的旋转问题
7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边BC上运动，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，DF，当DF的长最小时CE的长是 ．
8．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；……；按此规律，则S2024的值为 ．
9．（2023·辽宁本溪·模拟预测）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连接AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，CP'的最小值是 ．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型05 面积法
考向一 三角形与圆
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，若AB=5，AC=12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，则r1r2的值为（ ）
A．3723B．125C．2518D．3733
考向二 四边形与圆
11．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则ADAB= ．
12．（2024·上海·模拟预测）如图，正方形ABFE内切圆半径为2，点G为EF边上一点，作正方形GDCF，则S四边形AEDG+S△GDF=
13．（2024·浙江·一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE=2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆半径为y，则x:y的值为（ ）
A．2B．83C．3D．103
14．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长AB=3 m， 宽 BC=2 m的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案：
方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆；
方案二：如图2，沿对角线AC将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案三：如图3，锯一块矩形BFEC拼到矩形ADEF下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆．
（1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 m；
（2）方案三中所锯最大圆的半径是 m．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型06 与圆有关的阅读理解问题
考向一 理解公式
15．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：(1)请完成材料中利用秦九韶公式求△ABC面积的剩余步骤，并求出△ABC的内切圆的半径．
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,⊙I为它的内切圆，则CE的长为______．
考向二 理解方法
16．（2025·湖北恩施·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP=32，则CG的长为 ．
17．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为332．若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为 ．
考向三 理解定理
18．（2023·河南周口·三模）“莱洛三角形”是机械学家、数学家莱洛首先发现的，在现代机械上得到了广泛的应用．分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是“莱洛三角形”，如图②，若等边三角形的边长为3cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．

19．（2022·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=10，D为⊙O上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．

20．（2024·山东日照·二模）三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则AD2=AB⋅AC−BD⋅DC．如图（2），四边形EFGH是⊙O的内接四边形，对角线EG，FH相交于点M．若EH=HG，EF=4，FG=5，EM=2，GM=2.5，则FH的长为 ．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型07 圆与全等
考向一 全等转边
21．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
(1)求证：∠ABC=2∠ACD；
(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．
考向二 全等转角
22．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC,AD,BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O,B重合），连接OF．
(1)若BE=1，求GE的长．
(2)求证：BC2=BG⋅BO．
(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
考向三 全等证线段的关系
23．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CAD，CA平分∠BCD．
(1)求证：∠CDE=2∠ECD．
(2)若cs∠CBA=12，求证：∠BDC=4∠CBD．
(3)求证：BC2−AB2=CA⋅AD．
24．（2024·四川广元·二模）如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AD平分 ∠BAC，交 BC于点D，点O是边 AB上的点，以点O为圆心，OD长为半径的圆恰好经过点A，交AC于点E，弦 EF⊥AB于点G．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若 AG=1，EG=2，求⊙O的半径．
(3)设⊙O与AB 的另一个交点为 H，猜想AH，AE，CE之间的数量关系，并说明理由．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型08 圆与相似
考向一 作垂线构相似
25．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CAD，CA平分∠BCD．
(1)求证：∠CDE=2∠ECD．
(2)若cs∠CBA=12，求证：∠BDC=4∠CBD．
(3)求证：BC2−AB2=CA⋅AD．
23．（2024·四川广元·二模）如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90°， AD平分 ∠BAC，交 BC于点D，点O是边 AB上的点，以点O为圆心，OD长为半径的圆恰好经过点A，交AC于点E，弦 EF⊥AB于点G．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若 AG=1，EG=2，求⊙O的半径．
(3)设⊙O与AB 的另一个交点为 H，猜想AH，AE，CE之间的数量关系，并说明理由．
26．（2023·湖北·中考真题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE,FC．

(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，BC=6，求FC的长．
考向二 由隐含直角构相似
27．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A,C,且与CD相切，直径CF交AB于点E．
(1)求证：AD与⊙O相切；
(2)若DCCF=34,求AECE的值．
28．（2024·山东济南·一模）如图，AB为⊙O的直径，BE与⊙O相交于点C，过点C的切线CD⊥AE，垂足为点D．
(1)求证：AE=AB；
(2)若AB=6，CB=4，求CD的长．
29．（2025·陕西西安·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC、BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA延长线交于点D，点F为CB上一点，且CF=CA，连接BF并延长交射线DC于点E．
(1)求证：DE⊥BE；
(2)若DC=53EC，DA=4，求BE的长．
考向三 作平行线构“A，X”型相似
29．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H=45°．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BE=2，CE=4，求AF的长．
30.（2022·四川泸州·中考真题）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．
(1)求证：FD∥AB；
(2)若AC=25，BC=5，求FD的长．
31．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD=AC，点E是OB上一点，且OEBE=23，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)当AB=8时，求BH的长．
考向四 构母子型相似
32．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)求证：DF=DB；
(3)若AE=3，DE=6，求AF的长．
33．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．

(1)求证：AB=AC；
(2)若AE=3,DE=6，求AF的长．
34．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
(1)求证：∠CAB=∠APB；
(2)若⊙O的半径r=5，AC=8，求线段CD的长．
35．（2023·四川达州·中考真题）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．

(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)若BE=2，DE=4，∠P=30°，求AP的长．
QUOTE QUOTE QUOTE ►题型09 圆与三角函数
考向一 用已知直角
36．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，且CE=BC．

(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，tan∠DBC=12，求AB的长．
37．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠A．

(1)求证：△ACD∽△DCB；
(2)求证：CD是⊙O的切线；
(3)若tanE=35,AC=10，求⊙O的半径．
考向二 作垂线构直角
38．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，连接BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG=∠AFC．
(1)求∠BGC的度数．
(2)若AG=DF，求tan∠GBC的值．
(3)如图2，当点O恰好在BG上且OG=1时，求AC的长．
39．（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD=AE，CA=CE．

(1)求证：直线AE是⊙O是的切线；
(2)若sinE=23，⊙O的半径为3，求AD的长．
考向三 作垂径构直角
40．（2023·湖北武汉·二模）如图，在⊙O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且F为BE的中点．

(1)求证：△FBP∽△FAB；
(2)若tan∠BEF=34，求sin∠ABE的值．
41．（2024·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若cs∠ABC=223，AE=4，求CD的长．
考向四 用直径构直角
42．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB,AC于点E，F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BE=8，sinB=513，求AD的长．
43．（2021·湖北武汉·一模）如图，⊙O过▱ABCD的顶点A，D，C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H．
(1)求证：AB=AH；
(2)若AD =17，sin∠BAH = 817．求⊙O的半径．
考向五 用切线构直角
44．（2024·福建漳州·二模）如图， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OP∥AC交BC于点D，CP为⊙O的切线．

(1)求证：∠P=∠B；
(2)若DP=4，OD=2，求csA的值．
45．（2024·陕西西安·一模）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．

(1)求证：∠OCA＝∠ADC；
(2)若⊙O的半径为6，tanB=13，求AD的长．
46．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是以AB为直径的⊙O上一点，连接BD，CD，BD交AC于点P，且CD=BC．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）求cs∠BPC的值．
考向六 等角转换
47．（2024·广东广州·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D．
(1)求证：AO平分∠BAC；
(2)若BC=12，sin∠BAC=35，求AC和CD的长．
48．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，以BC为直径的⊙O交边AC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E．
(1)若∠A=54°，求∠ADE的度数；
(2)若CD=2，AD=3，求tan∠ADE的值．
49．（2024·四川巴中·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．
(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若AB=10，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．
圆中的计算问题常常作为考试中的压轴题出现，其综合性强、涉及知识点多，对学生的逻辑思维和解题技巧提出了较高要求。以下是针对圆中计算的压轴题的一些解题思路，希望能为考生提供有效的解题策略。
一、明确已知条件，画出准确图形
首先，仔细阅读题目，明确给出的所有已知条件，包括圆的半径、弦长、圆心角、切线等。根据这些条件，画出准确的图形，有助于直观理解问题。在画图过程中，注意标注已知的长度、角度等关键信息。
二、运用圆的基本性质
1. 切线的性质：切线垂直于过切点的半径。
2. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
4. 相似三角形的判定与性质：利用相似三角形求解线段长度或角度。
三、选择合适的解题方法
根据题目类型和已知条件，选择合适的解题方法至关重要。以下是几种常用的解题方法：
1. 勾股定理：在直角三角形中，利用勾股定理求解边长。
2. 三角函数：已知角的三角函数值，利用三角函数关系求解相关边长。
3. 相似三角形：通过证明三角形相似，利用比例关系求解未知线段长度。
4. 构造辅助线：通过作辅助线（如半径、切线、中位线等），将复杂图形分解为简单图形，便于利用已知定理进行求解。
四、分类讨论与综合应用
对于复杂的圆中计算问题，常常需要进行分类讨论。例如，当题目中存在动点或不确定的位置关系时，需要根据不同情况分别进行分析。此外，综合运用代数和几何方法，将几何问题转化为代数问题（如建立坐标系、使用参数方程等），有助于解决一些复杂的计算问题。
五、实战演练与总结反思
通过大量的实战演练，熟悉各种题型和解题技巧。在解题过程中，注意总结常见错误和解题思路，形成自己的解题策略。同时，定期回顾错题，加深对知识点的理解和记忆。
总之，圆中的计算（压轴题）虽然难度较大，但只要掌握了基本性质和解题方法，通过大量的练习和总结反思，就能够有效提高解题能力，取得理想的成绩。
1．（2025·浙江宁波·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点M为BC的中点，连接AM交⊙O于点E，且C为弧AE的中点，连接 CE，在BC上存在点 H，使得 ∠HEM=12∠BCA, 若 BH=2， 则AC的长（ ）
A．4B．42C．2+22D．4+2
2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连结BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，阴影部分的面积为16π3，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．4B．42C．43D．923
3．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆，记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1−S2的是（ ）
A．已知△ABC的三条中位线的长度
B．已知△ABC的面积
C．已知AB，AC的长度及∠ACB=30°
D．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和
4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=23，∠A=60°，点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF，连接DE、BF交于点G，则∠BGD的度数为 ，四边形BCDG面积的最大值为 ．
5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E,F分别在边AB和AD上，且EF=4．当△AEF的面积最大时，△CEF的面积为 ．
6．（2025·上海徐汇·一模）如图，四边形ABCD中，AC⊥AB,BD⊥CD,BD=CD，如果AB=m,AC=n，且m