2027届高中数学高考一轮复习：课后作业68　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

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一、单项选择题
1．假设P(A)＝0.6，P(AB)＝0.42，且A与B相互独立，则P(A∪B)＝( )
A．0.9B．0.75
C．0.88D．0.84
2．(2026·福建福州模拟)已知事件A，B，且P(A)＝56，P(B)＝23，P(A|B)＝12，则P(B|A)＝( )
A．45B．15
C．13D．25
3．(2025·山东济宁一模)甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为( )
A．316B．313
C．38D．34
4．(2026·辽宁大连模拟)志愿者甲参加第21届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为14，14，12，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为45，34，23．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为( )
A．173240B．93173
C．80173D．13
5．如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为15，14，13，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A．1825B．725
C．6475D．1175
6．甲、乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第n次由甲掷的概率为Pn，则Pn与Pn-1之间的关系是( )
A．Pn＝13Pn-1n≥2
B．Pn＝231−Pn−1n≥2
C．Pn＝－13Pn-1＋23n≥2
D．Pn＝－23Pn-1＋13n≥2
二、多项选择题
7．(2026·江苏南通开学考试)设样本空间Ω＝{1，2，3，4}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则( )
A．A与B互斥
B．B与C相互独立
C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D．P(A|C)＝P(C|A)
2025课标新变化：选择合适的方法计算概率．
8．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“任取一零件为次品”，则( )
A．P(A1)＝0.25B．P(B|A2)＝0.015
C．P(B)＝0.052 5D．P(A1|B)＝27
三、填空题
9．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，若目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为________ ．
10．甲箱中有2个白球和3个红球，乙箱中有1个白球和3个红球，这些球除颜色外其余都相同，先从甲箱中取1个球放入乙箱，再从乙箱中任取1个球，则从乙箱中取出的球是白球的概率为________．
四、解答题
11．(13分)在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13， 收到1的概率为23．
(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
(2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．
12．(13分)(2025·广西柳州三模)某学校有A、B两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐．已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去A餐厅的条件下，后一天继续选择A餐厅的概率为13；而在前一天选择去B餐厅的条件下，后一天继续选择去B餐厅的概率为35，如此往复．
(1)求该同学第一天和第二天都选择去A餐厅用晚餐的概率；
(2)求该同学第二天选择去A餐厅用晚餐的概率；
(3)记该同学第n天选择去A餐厅用晚餐的概率为Pn，求Pn的通项公式．
课后作业(六十八)
1．C [由题意得，P(B)＝P(AB)P(A)＝0.7，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.6＋0.7－0.42＝0.88．]
2．D
3．C [设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，
则P(A)＝0.7×0.7＋2×0.7×0.3×0.7＝0.784，P(AB)＝2×0.7×0.3×0.7＝0.294，
所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝＝38．故选C．]
4．C [设事件A表示“甲乘地铁”，事件B表示“甲乘公交车”，事件C表示“甲骑共享单车”，事件D表示“甲按时到达文博会”，
则P(A)＝14，P(B)＝14，P(C)＝12，P(D|A)＝45，P(D|B)＝34，P(D|C)＝23，
则P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)
＝14×45+14×34+12×23＝173240，
P(CD)＝P(C)P(D|C)＝13，
所以若某一天甲按时到达文博会，
则他骑共享单车的概率为P(C|D)＝P(CD)P(D)＝80173．故选C．]
5．C [设“上半部分正常工作”为事件M，“下半部分正常工作”为事件N，“该电子元件能正常工作”为事件A，
则P(M)＝1−15×1−14＝35，P(M)＝1－P(M)＝1－35＝25，
P(N)＝1−15×14×1−13＝1930，所以P(N)＝1－P(N)＝1－1930＝1130，
所以P(A)＝1－P(M)P(N)＝1－25×1130＝6475，即该电子元件能正常工作的概率是6475．]
6．C [第n次由甲掷应该有两种情况：
①第n－1次由甲掷，第n次继续由甲掷，此时概率为1236Pn-1＝13Pn-1；
②第n－1次由乙掷，第n次由甲掷，此时概率为1−12361−Pn−1＝231−Pn−1．
由于这两种情况是互斥的，
因此Pn＝13Pn-1＋231−Pn−1，Pn与Pn-1之间的关系式是Pn＝－13Pn-1＋23，其中n≥2．故选C．]
7．BD [对于A，因为A＝{1，2}，B＝{1，3}，则A∩B＝1≠⌀，所以A错误；
对于B，因为B∩C＝1，所以P(BC)＝14，
又P(B)＝P(C)＝12，
则P(BC)＝P(B)P(C)，所以B与C相互独立，故B正确；
对于C，因为A∩B∩C＝1，
则P(ABC)＝14，
又P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，
所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，故C错误；
对于D，因为P(A)＝P(C)＝12，
又A∩C＝1，则P(AC)＝14，
所以P(A|C)＝P(AC)P(C)＝1412＝12，
P(C|A)＝P(AC)P(A)＝1412＝12，故D正确．故选BD．]
8．ACD [根据题意知P(B)＝6%×25%＋5%×30%＋5%×45%＝0.052 5，故C正确；P(A1)＝0.25， 故A正确；P(BA2)＝5%×0.3＝0.015，P(A2)＝0.3，
则P(B|A2)＝P(BA2)P(A2)＝0.0150.3＝0.05，故B错误；P(A1B)＝6%×0.25＝0.015，则P(A1|B)＝P(A1B)P(B)＝ 5＝27，故D正确．]
9．0．625 10．725
11．解：(1)重复发送信号1三次，至少收到两次1的可能情况为：
(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，
因为信号的传输相互独立，
故至少收到两次1的概率为23×23×23+23×13×23+23×23×13+13×23×23＝2027．
(2)事件A与事件B不互相独立，证明如下：
若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为13×13×12＝118，
故至少收到一个正确信号的概率为P(A)＝1－118＝1718；
若依次发送1，1，0，至少收到两个0的可能情况为：
(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
得P(B)＝13×13×12+13×13×12+13×23×12+23×13×12＝618＝13，
若依次发送1，1，0，至少收到两个0且至少收到一个正确信号的可能情况为：
(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，
得P(AB)＝13×13×12+13×23×12+23×13×12＝518，
因为P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A与事件B不互相独立．
12．解：(1)记事件Ak：该同学第k(k＝1，2)天去A餐厅，则P(A1)＝P(A1)＝12，
P(A2|A1)＝13，P(A2|A1)＝35，
由概率乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝12×13＝16．
(2)由对立事件的概率公式可得
P(A2|A1)＝1－P(A2|A1)＝1－35＝25，
由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＋P(A1)·P(A2|A1)＝12×13+12×25＝1130．
(3)记事件An：该同学第n(n∈N*)天去A餐厅，则Pn＝P(An)，
由题意可知，P(An|An-1)＝13，
P(An|An−1)＝25(n≥2，n∈N*)，
由全概率公式可得P(An)＝P(An-1)·P(An|An-1)＋P(An−1)·P(An|An−1)(n≥2，n∈N*)，
即Pn＝13Pn-1＋25(1－Pn-1)＝－115Pn-1＋25，
则Pn－38＝－115Pn−1−38，
所以，数列Pn−38是以P1－38＝18为首项，－115为公比的等比数列，
所以，Pn－38＝18·−115n−1，故Pn＝38+18·−115n−1．