2027届高中数学高考一轮复习：课后作业67　随机事件与概率

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一、单项选择题
1．从6个男生、3个女生中任意选派4人，则下列事件中是必然事件的是( )
A．3个都是男生
B．至少有1个男生
C．3个都是女生
D．至少有1个女生
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第1 001次出现正面朝上的概率是( )
A．11 000B．11 001
C．1 0001 001D．12
3．(2025·温州学业考试)某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件Ji(i＝1，2，3)表示随机事件“第i(i＝1，2，3)次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为( )
A．J1∩J2B．J2∩J3
C．J1∩J2∩J3D．J1∩J2∩J3
4．(2026· 浙江杭州模拟)根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为0.2，英语考试不及格的概率为0.3，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为0.35，则他数学和英语两门都不及格的概率为( )
A．0.1B．0.15
C．0.06D．0.3
5．(2026·山东济宁模拟)从2至12的整数中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为( )
A．511B．611
C．610D．12
6．(2025·河南安阳三模)某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为( )
A．15B．35
C．45D．56
7．(教材改编)甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始，在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率为( )
A．16B．19
C．536D．736
8．(2025·辽宁抚顺一模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，从直线AC，BD，A1C1，B1D1以及该正方体的12条棱所在直线中任取2条直线，则这2条直线平行的概率为( )
A．760B．15
C．215D．16
二、多项选择题
9．某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是( )
A．A与D是互斥事件B．B与E是对立事件
C．E＝C∪DD．A＝C∩E
10．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．线路一所需的平均时间比线路二少
C．如果要求用不超过40分钟的时间从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
三、填空题
11．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
12．(2026·福建泉州模拟)如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标有数字1到8．将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为________．
四、解答题
13．(15分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如表所示的统计表：
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
14．(15分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
课后作业(六十七)
1．B 2．D
3．C [根据题意，用事件Ji(i＝1，2，3)表示随机事件“第i(i＝1，2，3)次跳远成绩及格”，
依次分析选项：
对于A，J1∩J2表示前两次测试成绩均及格，故A错误；
对于B，J2∩J3表示后两次测试都没有及格，故B错误；
对于C，J1∩J2∩J3表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确；
对于D，J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均不及格，故D错误，
故选C．]
4．B [设“数学考试不及格”为事件A，“英语考试不及格”为事件B，
已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(A∪B)＝0.35，
根据概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，则0.35＝0.2＋0.3－P(A∩B)，
故P(A∩B)＝0.15，因此，他数学和英语两门都不及格的概率为0.15．
故选B．]
5．B [根据题意，在2至12的整数中，合数有4，6，8，9，10，12共6个整数，
故从中随机取出1个数，则这个数是合数的概率为611．故选B．]
6．C [P＝1－C43C63＝1－15＝45．故选C．]
7．C [记事件A＝“甲、乙两人离开电梯的楼层数的和是8”，两个人各有6种不同的下法，故共有36个样本点，事件A包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2＋2＋1＝5(个)样本点，所以P(A)＝536．]
8．D [根据题意有，AC∥A1C1，BD∥B1D1，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，AD∥BC∥A1D1∥B1C1，AB∥CD∥A1B1∥C1D1，
则这2条直线平行的概率为2C22+3C42C162＝16．
故选D．]
9．ABC
10．BD [“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一所需的平均时间比线路二少，所以B正确；线路一所需时间不超过40分钟的概率为0.7，线路二所需时间不超过40分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正确．]
11．635 [根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C84＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝mn＝1270＝635．]
12．116 [由题意可知所有可能情况共有83种，按顺序记录的三个数恰好构成等差数列，
可以按照公差为－3，－2，－1，0，1，2，3分类，其中公差为－3，－2，－1和3，2，1的结果数对应相等．
公差为0的有1，1，1，2，2，2，…，8，8，8共8种结果；
公差为1的有1，2，3，2，3，4，…，6，7，8共6种结果，同公差为－1的；
公差为2的有(1，3，5)，(2，4，6)，(3，5，7)，(4，6，8)共4种结果，同公差为－2的；
公差为3的有1，4，7，2，5，8共2种结果，同公差为－3的；
所以三个数恰好构成等差数列的概率P＝8+6×2+4×2+2×28×8×8＝32512＝116．]
13．解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60+50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3．
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a．
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a．
14．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为
2+16+3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100．
所以Y的所有可能值为900，300，－100．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为36+25+7+490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．
所需时间
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费/元
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
最高
气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05