【期末冲刺练】系列：原创2025~2026学年期末计算题组10天训练（计算题专项训练）数学北师大版新教材八年级下册（含答案解析）

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第1天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．若关于x的方程ax−2=4x−2+1有增根，则a的值是 ．
2．将下列各式分解因式：
①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
3．按要求完成计算：
（1）解不等式：x+12−2x−33≥1；
（2）解不等式组2x+4＞03x−4≤2+x，并通过数轴确定解集．
4．按要求完成下列各题
（1）解方程：1x−2=x−1x−2−3；
（2）化简：a−32a−4÷(a+2−5a−2)．
5．先化简：x2−4x+4x+1÷(x−1−3x+1)，然后x在﹣2，﹣1，0，1，2五个数中选一个你认为合适的数代入求值．
6．【阅读材料】
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解．
例如：x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1（此处可看作在原式上添加“+4﹣4”，也可看作将3拆分为“+4﹣1”）＝（x+2）2﹣12＝（x+2+1）（x+2﹣1）＝（x+3）（x+1）．
【解决问题】
（1）用配方法将x2﹣6x﹣16分解因式；
（2）用配方法将x2+2xy+y2+10x+10y+16分解因式；
（3）已知a、b分别为等腰三角形的腰和底，且满足a2+b2﹣4a﹣2b+5＝0，求该等腰三角形的周长．
第2天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．已知不等式组3x−a＜7x−2b＞−3的解集为﹣1＜x＜2，则（5a+1）（b﹣2）的值为 ．
2．分解因式：
（1）4x2﹣36；
（2）x4﹣8x2y2+16y4．
3．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来．
（1）x−22≥7−x3；
（2）3x−2＜2xx−12≤2x+1．
4．（1）化简：x−2x÷x2−4x+4x2−4−x+4x；
（2）解分式方程：xx+1=2x3x+3+1．
5．先化简，再求值：(a+1−3a−1)÷a+2a−1，其中﹣3＜a＜2且a为整数，请你选一个合适的整数a并求值．
6．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如1x+1与1x+2；因为1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2)，1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，所以1x+2是1x+1的“可存异分式”．
（1）填空：分式1x+2 （填“是”或“不是”）分式1x+3的“可存异分式”．
（2）已知分式2x+33x+3是分式A的“可存异分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值．
（3）若关于x的分式n+2mx+m2+n是关于x的分式m−1mx+n2的“可存异分式”，求m+n的值．
第3天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．若关于x的分式方程3x−2x+1=mx+1+1的解为负数，则m的取值范围是 ．
2．因式分解：
（1）x3﹣6x2+9x；
（2）a4﹣16．
3．计算：
（1）解不等式：6x−12+1≤2x−3，并在数轴上表示出它的解集．
（2）解不等式组4(x−1)≤7x+2x+2＜x+83，并求出它的整数解．
4．（1）解方程：xx−3−1=1x2−9；
（2）计算：x+5x2+12x+36÷(1−1x+6)．
5．先化简，再求值：(1a−b−1a+b)÷b2+aba2−b2，其中a=2−1，b＝1．
6．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组3x+y=1+a①x+3y=3②的解满足0＜x+y＜2，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：（3x+y）+（x+3y）＝（1+a）+3得4x+4y＝4+a，进而x+y=4+a4=1+a4，又∵0＜x+y＜2．代入得：0＜1+a4＜2，−1＜a4＜1，﹣4＜a＜4，即a的取值范围为﹣4＜a＜4．
你能用小明的方法解决下问题吗？
已知方程组2x−y=1+2ax+4y=2+a的解满足﹣1＜x+y≤2．
（1）求a的取值范围；
（2）求a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？请直接写出a的整数值 ．
第4天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．若关于x的不等式组3x−4＞22x+1＞2a+3的解集为x＞2，则a的取值范围是 ．
2．分解因式：
（1）16﹣b2；
（2）3ax2﹣6axy+3ay2．
3．（1）解不等式，并把解集表示在数轴上：1−7x−18≥3x−24；
（2）解不等式组，并写出所有的整数解：3(x−2)≥x−42x+13＞x−1．
4．（1）化简：a−2a−1⋅a2−1a2−4a+4−1a−2；
（2）解方程：xx+1−2x3(x+1)=1．
5．已知分式A=(a+1−3a−1)+a2−4a+4a−1．
（1）化简这个分式；
（2）若a为整数，且A的值也是整数，请你求符合条件的所有a值的和．
6．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法：
x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22．
（1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解：
（2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7；
（3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值．
第5天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．已知分式a4+2a2−1a2+1的值为整数，若a是非负整数，则a的值是 ．
2．因式分解
（1）x3﹣4x2+4x
（2）a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）
3．解不等式（组），并将解集表示在数轴上：
（1）解不等式：3x−26−x+33≤1；
（2）解不等式组：3x+5≥82x−1＜3x+12．
4．（1）化简：(2a−1−aa2−1)÷a+2a+1；
（2）解方程：xx−2−1=8x2−4．
5．已知分式：A=xx−2，B=1x−2，C=x2+2xx2−4．
（1）要使分式A=xx−2有意义，则x的取值范围为 ；
（2）化简（C+B）÷A，并从1，3，0，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
6．定义：对于两个多项式A、B，若进行因式分解后，有且只有一个公共的一次因式C，则称A、B为“唯一公因式对”．已知：A＝2x2﹣2，B＝x2+2x﹣3．
（1）判断A与B是否为“唯一公因式对”，并说明理由．
（2）化简代数式：2B−AA−C．
（3）若x为整数，且（2）中化简后的代数式的值为正整数，求所有满足条件的整数x．
第6天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．关于x的不等式组x−12＞x−22x−5≤3x−m恰好有2个整数解，则m的取值范围是 ．
2．因式分解：
（1）a2﹣25；
（2）4x3﹣4x2y+xy2．
3．解下列不等式或不等式组：
（1）解不等式：5x﹣6≥2x+6，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组：3(x+2)＞x+42x+13＞x−1，并写出它的所有整数解．
4．计算：
（1）计算：2a−1÷2a−4a2−1+12−a；
（2）解方程：3xx+2−2x−2=3
5．先化简，再求值：(a−1−3a+1)÷a2−4a+4a+1，请在﹣1，0，2中选择一个合适的数代入求值．
6．若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称a+b2为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：2x−3＞56−x＞0，以及不等式组B：﹣1＜x≤5，
①A的解集中点值为 ．
②不等式组B对于不等式组A （填“是’或“不是”）中点包含．
（2）已知关于x的不等式组C：2x+7＞2m+13x−2m＜m+15和不等式组D：x−1＞−53x−13＜5，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组E：x＞2nx＜2m（n＜m）和不等式组F：x−n＜62x−m＞3n，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围．
第7天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．若关于x的分式方程mx−1x−3+53−x=1无解，则m的值为 ．
2．因式分解：
（1）4x2﹣64；
（2）2x3y+4x2y2+2xy3．
3．回答下列小题：
（1）解不等式：2x−12−x+16≤1．
（2）解不等式组：x+13−1≤x2(1−x)＞−4．
4．计算：
（1）(1+4a−2)÷a2+4a+44a+8；
（2）2x2−x+1=xx−1．
5．先化简，再求值：(1x−1−x+1)÷x−2x2−1，其中2x2+2x﹣3＝0．
6．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式1x+1，2xx2+1是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：2x2x+1=2x2+2x−2xx+1=2x(x+1)x+1−2xx+1=2x−2x+2−2x+1=2x−2+2x+1．
（1）将假分式4x+12x−1化为一个整数与一个真分式的和；
（2）若x是整数，且假分式x2x−2的值为正整数，求x的值；
（3）若假分式4x2+7x−3x+2化为一个整式与一个真分式的和的形式为A+1B，A，B均为关于x的多项式，若A＝4a﹣9，B＝b﹣10，求a2+b2+ab的最小值．
第8天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．已知关于x的不等式组5x+m＜0x＞−4.5的所有整数解的和为﹣7，则m的取值范围为 ．
2．分解因式：
（1）2a3+8a2+8a；
（2）x2（x﹣y）﹣（x﹣y）．
3．解下列不等式（组）：
（1）解不等式x−36+1≤2x+54；
（2）解不等式组2(x−4)＞−35x+13−3≤x．
4．分式的计算及解方程：
计算：（1）x2−4y2x2+4x+4⋅x+23x2+6xy；
解方程：（2）xx−1+21−x=2．
5．先化简，再求值：a2−9a(a−2)(a+3)÷(a−2−2a−5a−2)，其中a满足等式2a2﹣6a﹣3＝0．
6．观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
第9天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．若a≥﹣4，且关于x的分式方程ax−2+3=x−82−x有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
2．因式分解：
（1）ax2﹣2axy+ay2；
（2）m2（m﹣n）+（n﹣m）．
3．解不等式（组）：
（1）1−2x−43≥1−5x2，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组4x−3≥3(x−2)①x−52+4＞x②，并写出它的整数解．
4．计算：
（1）解方程：35x+1=12x；
（2）化简：a−4a÷(a+2a2−2a−a−1a2−4a+4)．
5．先化简：(3a−1−a−1)÷a2−4a+4a−1，再从﹣1，0，1，2选一个合适的a的值代入求值．
6．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式M=xx+1，N=1x+1，M+N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1．
（1）已知分式A=x−3x+2，B=2x+9x+2，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k．
（2）已知分式C=4x−2x−3，D=Gx2−9，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4．
①求G；
②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为 ．
第10天
建议用时：15分钟
实际用时： 分钟
1．关于x的不等式组a−2(x−1)＞5−xx+102−3＞a．
（1）若a＝﹣1，则不等式组的整数解是 ．
（2）若不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤2的范围中，则a的取值范围是 ．
2．因式分解：
（1）﹣a2c2﹣c4+2ac3；
（2）4（a﹣2b）2﹣16b2．
3．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）x−22−(x−1)＜1；
（2）6x+15＞2(4x+3)2x−13≥12x−23．
4．计算：
（1）化简：2x−6x2−4x+4÷3−xx2+x−6⋅1x+3；
（2）解分式方程：2x−2+44−x2=1x+2．
5．先化简，再求值：1−(x−2−5x+2)÷x2−6x+9x+2，其中x=2+3．
6．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式(x−a)(x−b)x的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为(x−a)(x−b)x=x2−(a+b)x+abx=x+abx−（a+b），所以关于x的方程x+abx=a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程x2+2x=5+25的解为：x1＝ 5 ，x2＝ 25 ；
（2）知识迁移：若关于x的方程x+3x=7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程6x−1=k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+4t3的值．