2026年高考物理一轮复习第12讲抛体运动的十大问题(复习讲义)(安徽专用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考物理一轮复习第12讲抛体运动的十大问题(复习讲义)(安徽专用)(学生版+解析)，共9页。学案主要包含了斜面上的平抛问题，有约束条件的平抛运动模型，平抛的多解问题，平抛与圆周的综合问题，类平抛运动，抛体运动中的功能与动量，平抛运动中的追及相遇问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc21756" 01 \l "_Tc13936" 考情解码· 命题预警2
02体系构建 ·思维可视 \l "_Tc27843" PAGEREF _Tc27843 \h 3
\l "_Tc24621" 03 核心突破 靶向攻坚 PAGEREF _Tc24621 \h 4
\l "_Tc21919" 考点一平抛运动的基本规律 PAGEREF _Tc21919 \h 4
\l "_Tc18019" 知识点一 基本规律 PAGEREF _Tc18019 \h 4
\l "_Tc61" 知识点二 三个重要推论 PAGEREF _Tc61 \h 5
\l "_Tc28657" 考向1 平抛运动的基本规律及应用 PAGEREF _Tc28657 \h 5
\l "_Tc17407" 考点二 平抛运动的临界、极值问题 PAGEREF _Tc17407 \h 7
\l "_Tc11653" 知识点 平抛运动的临界问题有两种常见情形 PAGEREF _Tc11653 \h 8
\l "_Tc1060" 考向1 平抛运动的临界、极值问题 PAGEREF _Tc1060 \h 8
\l "_Tc29826" 考点三 斜面上的平抛问题 PAGEREF _Tc29826 \h 10
\l "_Tc30981" 知识点一 “顶抛底落”型 PAGEREF _Tc30981 \h 10
\l "_Tc11160" 知识点二 “空抛垂落”型 PAGEREF _Tc11160 \h 11
\l "_Tc20662" 知识点三 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上 PAGEREF _Tc20662 \h 11
\l "_Tc15495" 考向1 “顶抛底落”型 PAGEREF _Tc15495 \h 12
\l "_Tc23008" 考向2 “空抛垂落”型 PAGEREF _Tc23008 \h 16
\l "_Tc12984" 考向3 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上 PAGEREF _Tc12984 \h 19
\l "_Tc244" 考点四 有约束条件的平抛运动模型 PAGEREF _Tc244 \h 22
\l "_Tc2471" 知识点一 对着竖直墙壁的平抛运动 PAGEREF _Tc2471 \h 22
\l "_Tc23630" 知识点二 半圆内的平抛问题 PAGEREF _Tc23630 \h 22
\l "_Tc4617" 考向1 对着竖直墙壁的平抛运动 PAGEREF _Tc4617 \h 23
\l "_Tc3441" 考向2 半圆内的平抛问题 PAGEREF _Tc3441 \h 25
\l "_Tc19471" 考点五 平抛的多解问题 PAGEREF _Tc19471 \h 29
\l "_Tc26599" 考向1 平抛的多解问题 PAGEREF _Tc26599 \h 29
\l "_Tc3768" 考点六 平抛与圆周的综合问题 PAGEREF _Tc3768 \h 31
\l "_Tc26339" 知识点 问题概述 PAGEREF _Tc26339 \h 31
\l "_Tc19885" 考向1 水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 PAGEREF _Tc19885 \h 32
\l "_Tc32165" 考向2 竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 PAGEREF _Tc32165 \h 34
\l "_Tc13986" 考点七 斜抛运动的理解和分析 PAGEREF _Tc13986 \h 36
\l "_Tc18668" 知识点 斜抛运动的分析与规律 PAGEREF _Tc18668 \h 36
\l "_Tc19435" 考向1 斜抛运动的理解及其运动规律的应用 PAGEREF _Tc19435 \h 37
\l "_Tc22252" 考向2 逆向思维分析斜上抛运动 PAGEREF _Tc22252 \h 39
\l "_Tc25344" 考向3 斜抛运动与平抛运动综合分析 PAGEREF _Tc25344 \h 42
\l "_Tc16044" 考向4 多物体斜抛运动分析 PAGEREF _Tc16044 \h 44
\l "_Tc22111" 考点八 类平抛运动 PAGEREF _Tc22111 \h 46
\l "_Tc20430" 知识点一 类平抛运动的特点 PAGEREF _Tc20430 \h 46
\l "_Tc8157" 知识点二 类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别 PAGEREF _Tc8157 \h 47
\l "_Tc6168" 考向 类平抛运动的分析与处理 PAGEREF _Tc6168 \h 47
\l "_Tc23447" 考点九 抛体运动中的功能与动量 PAGEREF _Tc23447 \h 51
\l "_Tc3558" 考向 抛体运动中的功能与动量 PAGEREF _Tc3558 \h 51
\l "_Tc13766" 考点十 平抛运动中的追及相遇问题 PAGEREF _Tc13766 \h 53
\l "_Tc8751" 考向 平抛运动中的追及相遇问题 PAGEREF _Tc8751 \h 53
\l "_Tc3980" PAGEREF _Tc3980 \h 56

考点一平抛运动的基本规律
\l "_Tc25045" 知识点一 基本规律
1.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
2.研究方法：运动的合成与分解
（1）水平方向：匀速直线运动。
（2）竖直方向：自由落体运动。
3.基本规律（如图）
（1）速度eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(水平方向：vx＝v0,竖直方向：vy＝gt))
合速度的大小v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(veq \\al(2,0)＋g2t2)
设合速度的方向与水平方向的夹角为θ，有
tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(gt,v0)。
（2）位移eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(水平方向：x＝v0t,竖直方向：y＝\f(1,2)gt2))
合位移的大小s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(（v0t）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)gt))\s\up12(2))
设合位移的方向与水平方向的夹角为α，有
tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)。
\l "_Tc25045" 知识点二 三个重要推论
1.合速度方向与水平方向的夹角θ和合位移方向与水平方向的夹角α的关系，tan θ＝2tan α。
2.做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xOC＝eq \f(x,2)。
3.速度变化：平抛运动是匀变速曲线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（Δv＝gΔt）相等，且必沿竖直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量Δv构成三角形，Δv沿竖直方向。
得分速记
1．平抛运动飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关；
2．平抛运动水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关；
3．平抛运动落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关；
4．平抛运动速度变化量方向恒为竖直向下。
\l "_Tc17630" 考向1 平抛运动的基本规律及应用
例1 （2025·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，小球从O点开始做平抛运动，轨迹经过AB两点，已知OA两点间距离和AB两点间距离之比为，O到A的时间与A到B的时间相等，都等于1.0s，重力加速度g=10m/s2 ，小球初速度为（ ）
A．3m/sB．4m/sC．5m/sD．6m/s
【答案】C
【详解】设小球做平抛运动的初速度大小为，从到过程，有，，
从到过程，有，，
、两点间的距离为
、两点间的距离为
根据题意有
联立解得
故选C。
【变式训练1】（2025·江苏泰州·模拟预测）如图所示，水平地面上方有一竖直固定铺有复写纸的足够大硬纸板M，P为其左侧正前方的一点，小球从P点以大小相等的水平速度向右侧各个方向抛出不计阻力，打到M上的小球留下的印迹连线可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
画俯视图如上图所示，PO为过抛出点作硬纸板的垂线，O为垂足，以O点为原点建立直角坐标系，以水平方向为x轴，竖直向下为y轴，垂线长为L。
打到M上的点的横坐标为x，从抛出到碰撞的时间
下落的高度也就是纵坐标
y是x二次函数，所以图像是抛物线，故C正确ABD错误。
故选C。
【变式训练2·变考法】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，在以加速度a沿水平方向做匀加速直线运动的高铁上，距车厢地面h处，某人以相对于高铁的速度水平抛出一个小球，若小球落在车厢抛出点的正下方的车厢地面上（不计空气阻力），已知重力加速度，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以车厢为参考系，小球做水平向右的匀减速运动，和竖直向下的自由落体，由运动学公式得，
所以。
故选A。

考点二 平抛运动的临界、极值问题
\l "_Tc16775" 知识点 平抛运动的临界问题有两种常见情形
1.物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
2.物体的速度方向恰好达到某一方向。
考向1 平抛运动的临界、极值问题
例1 （2025·四川成都·模拟预测）如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机组成的无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在距离地面2000m处设置面积为S=3000m2的拦截炸弹区，不计空气阻力，现以离地2000m处相应的面积比为拦截炸弹比，取，则拦截炸弹比约为（ ）
A．0.5B．0.25C．0.05D．0.025
【答案】D
【详解】平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律得
，
解得
拦截炸弹比为
故选D。
解题技巧：
在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题
【变式训练1】（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设球1、球2的平抛初速度分别为v1、v2，设M点到N点水平距离为L，由平抛规律可知球2整个运动过程的时间
可得
球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，设球1从抛出到落地时间为t1，则有
且
联立解得
设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有
设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得
可得碰撞点到A点的时间为
球2刚好越过挡板AB的时间为
水平方向位移关系有
联立以上，解得
故选A。
【变式训练2】（2025·广东珠海·模拟预测）如图所示，在一次趣味闯关游戏中，要求参赛选手在距离地面高度处抓住水平伸直的绳子末端，由静止开始向下摆动，在经过最低点时松手，最后落到水池中。绳子的长度L由选手自由调节，选手质量，可看作质点，重力加速度，忽略绳子的质量和长度的变化，不考虑空气阻力的影响。求：
(1)选手松开绳子前瞬间，绳子的拉力F的大小；
(2)选手落入水中的水平距离x最大值，以及此时绳子的长度；
(3)选手落入水中的水平距离为时，绳子的长度。（结果可以带根号）
【答案】(1)；(2)，；(3)或
【详解】（1）由静止开始向下摆动到最低点过程，根据机械能守恒可得
可得
选手松开绳子前，绳子拉力与重力的合力提供向心力，则有
可得
（2）松手后，选手做平抛运动，则有，
联立可得
根据数学知识可知当
选手落入水中的水平距离最大，此时
（3）选手落入水中的水平距离为时，则有
解得绳子的长度为或

考点三 斜面上的平抛问题
\l "_Tc16775" 知识点一 “顶抛底落”型
(1)落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解位移.
x＝v0t
y＝eq \f(1,2)gt2
tan θ＝eq \f(y,x)
可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g).
(2)物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下(如图)
处理方法：分解速度
vx＝v0，vy＝gt
tan θ＝eq \f(vy,v0)
t＝eq \f(v0tan θ,g).
\l "_Tc16775" 知识点二 “空抛垂落”型
垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下(如图)
处理方法：分解速度.
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝eq \f(vx,vy)＝eq \f(v0,gt)
可求得t＝eq \f(v0,gtan θ).
\l "_Tc16775" 知识点三 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面
分解位移tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(v0t,\f(1,2)gt2)＝eq \f(2v0,gt)
得分速记
做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解
考向1 “顶抛底落”型
例1（2025·江苏扬州·模拟预测）（多选）如图所示，虚线MN是竖直面内的斜线，两个小球分别从MN上的A、B两点水平抛出，过一段时间再次经过虚线MN，则下列说法错误的是（ ）
A．两球经过虚线MN时的速度大小可能相同
B．两球经过虚线MN时的速度方向一定相同
C．两球可能同时经过虚线MN上的同一位置
D．A处抛出的球从抛出到经过虚线MN所用时间一定比B处抛出的球从抛出到经过虚线MN所用时间长
【答案】CD
【详解】A．设虚线MN与水平方向的夹角为θ，两球再次经过虚线MN时，根据
解得
此时小球的竖直分速度
根据平行四边形定则可得合速度为
若两次初速度相等，则两次经过MN时的速度大小相等，故A正确，不符合题意；
B．设速度方向与水平方向夹角为α，则有
由于θ是虚线MN与水平方向的夹角，是定值，所以tanα也为定值，所以两球经过虚线MN时速度方向也一定相同，故B正确，不符合题意；
C．小球在斜面上的位移为
若初速度大小不同，两球可能经过虚线上的同一位置，但不是同时，故C错误，符合题意；
D．根据可知，若初速度相等，则两小球到达虚线MN的时间相同，故D错误，符合题意。
故选CD。
【变式训练1·变载体】（2025·河南·三模）（多选）跳台滑雪是利用跳台进行的一种跳跃滑雪比赛，是冬奥会正式比赛项目之一。如图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道上由静止开始滑下，到达点后水平飞出，落到滑道（足够长）上的点，是运动轨迹上的一点，在该点运动员的速度方向与平行。设运动员从到与从到的运动时间分别为、、垂直于，不计空气阻力，则关于运动员离开点后的飞行过程，下列说法正确的是（ ）
A．，且
B．在空中飞行时间与运动员离开点的速度成正比
C．的长度与运动员离开点的速度成正比
D．改变运动员离开点的速度大小，其落在上的速度方向不变
【答案】BD
【详解】A．以点为原点，以为轴，以垂直向上为轴，建立坐标系如图所示。
对运动员的运动进行分解，轴方向做类竖直上抛运动，轴方向做匀加速直线运动。当运动员速度方向与平行时，在轴方向上到达最高点，根据类竖直上抛运动的对称性，可知
而轴方向运动员做匀加速运动，因为，故有
A错误；
BC．设在点的初速度与斜面的夹角为，将初速度沿、方向分解为，
将加速度沿、方向分解为，
则运动员的运动时间
落在斜面上的距离
则
与不成正比，B正确，C错误；
D．设运动员落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角为，斜面的倾角为。则有，
则有
一定，则一定，则运动员落在斜面上的速度方向与从点飞出时的速度大小无关，D正确。
故选BD。
【变式训练2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）（多选）足够大的斜坡与水平方向夹角为，斜坡某处竖直放置高度为h的细喷水管，喷水管口O处可喷出速度大小始终为v、方向可调但始终平行于斜坡的水流，其装置侧视图如图所示。假设水流始终能落到斜坡上，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．沿不同方向出射的水流在空中运动的时间均为
B．当出射速度平行于水平面时，水流在空中运动的位移最短
C．由于重力的作用，水流在斜坡上的落点不可能在一个圆周上
D．当出射速度方向在竖直平面内且沿斜坡向下时，下落在斜坡上的速度最大
【答案】AD
【详解】A．如图，以O为坐标原点，垂直于斜坡方向为z轴，垂直于纸面方向为x轴，沿斜面向下为y轴，建立三维直角坐标系
沿z轴方向有
，
解得
A正确；
C．若v与y轴正方向夹角为，当水落到斜坡上时，沿y轴方向有
沿x轴方向有
解得
所以水流在斜坡上的落点均在圆心位于的圆上，C错误；
B．由前面分析可知，水流的下落时间一定，为，z方向的位移一定，为，在平面内位移最小是出射速度方向沿y轴负方向，此时水流在空中运动的合位移最短，B错误；
D．当出射速度方向沿y轴正方向即沿斜坡倾斜向下，与喷水管夹角为，水流在斜坡上的落点最低，竖直速度最大，合速度也最大，D正确。
故选AD。
考向2 “空抛垂落”型
例2（2024·安徽六安·模拟预测）如图所示，以3m/s的水平初速度 v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为37°的斜面上，取重力加速度 。则（ ）
A．物体完成这段飞行的时间是0.5s
B．物体落到斜面上时下落的竖直高度是 1.8m
C．物体落到斜面上时水平位移的大小是 0.9m
D．物体落到斜面上时的速度大小为 5m/s
【答案】D
【详解】A．物体做平抛运动，垂直地撞在倾角为的斜面上，在撞击点进行速度分解有
解得
故A错误；
B．物体落到斜面上时下落的竖直高度是
故B错误；
C．物体落到斜面上时水平位移的大小是
故C错误；
D．物体落到斜面上时的速度大小为
故D正确。
故选D。
【变式训练1·变考法】一斜面倾角为，A、B两个小球均以水平初速度水平抛出，如图所示，A球垂直撞在斜面上，B球落到斜面上的位移最短，不计空气阻力，则A、B两个小球下落时间与之间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】A球垂直撞在斜面上，则速度关系为
解得
当B球抛出点与落点的连线垂直于斜面时，位移最短，则
解得
则有
故选D。
【变式训练2】（多选）如图在同一竖直平面内将两个完全相同的小球从不同的位置沿水平方向抛出，抛出点分别为A点和B点（图中未画出），初速度分别为vA和vB，并且vA＞vB，经过一段时间的运动后，两个小球同时垂直落到斜面上的同一个位置O点，不计空气阻力，则（ ）
A．两个小球的运动时间一定不同
B．两个小球落到斜面上时的动能可能相同
C．AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角相同
D．AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同
【答案】AD
【详解】A．根据平行四边形法则和几何关系，以速度平抛垂直落到斜面上，竖直方向的分速度为
又
则
由于
vA＞vB
则
tA＞tB
故A正确；
B．根据平行四边形法则和几何关系，以速度平抛垂直落到斜面上，落到斜面上的速度
由于
vA＞vB
则
vtA＞vtB
动能
则两个小球落到斜面上时的动能不同，故B错误；
CD．根据平行四边形法则和几何关系，以速度平抛垂直落到斜面上，设抛出点与落到斜面上的点的连线与水平方向的夹角为，则
②
联立①②得
可知AO连线与水平方向的夹角一定和BO连线与水平方向的夹角相同，AO连线与水平方向的夹角一定与斜面的倾角不同，故C错误，D正确。
故选AD。
考向3 对着斜面平抛“最小位移”打在斜面上
例3 （多选）一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平速度从O点抛出小球，小球正好落入倾角为的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，O、P的连线正好与斜面垂直；当以水平速度从O点抛出小球时，小球正好与斜面在Q点垂直相碰。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球落在P点的时间是
B．Q点在P点的下方
C．
D．小球落在P点所用的时间与落在Q点所用的时间之比是
【答案】AD
【详解】A．以水平速度v1从O点抛出小球，正好落入倾角为的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，由几何关系可知
所以
A正确；
BC．当以水平速度v2从O点抛出小球，小球正好与斜面在Q点垂直相碰，此时速度与斜面垂直，根据几何关系可知
即
故OQ连线与竖直方向的夹角满足
而OP连线与竖直方向夹角为θ，所以，故Q点在P点的上方。由可知，，又因为水平位移，由可知，，故B、C错误；
D．落在P点的时间与落在Q点的时间之比是
D正确。
故选AD。
【变式训练1·变考法】如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（ ）
A．小球在点的速度为
B．小球从点到点的运动时间为
C．小球在点的速度大小为
D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2
【答案】A
【详解】AB．过点作的垂线与的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示
由几何关系可得
由平抛运动的规律可得
，
解得
、、
A正确、B错误；
CD．小球在点沿竖直方向的分速度为
小球在点的速度大小为
与水平方向夹角的正切值为
解得
，
CD错误。
故选A。
【变式训练2】（多选）如图所示，一小球从某固定位置以一定初速度水平抛出，已知当抛出速度为v0时，小球落到一倾角为θ＝60°的斜面上，且球发生的位移最小，不计空气阻力，则( )
A.小球从抛出到落到斜面的时间为eq \f(\r(3)v0,3g)
B.小球从抛出到落到斜面的时间为eq \f(2\r(3)v0,3g)
C.小球的抛出点到斜面的距离为eq \f(4veq \\al(2,0),3g)
D.小球的抛出点到斜面的距离为eq \f(2veq \\al(2,0),3g)
【答案】 BC
【解析】 球平抛的位移最小，则抛出点和落点的连线与斜面垂直，分解位移，如图所示。
设平抛时间为t，结合几何关系知，tan θ＝eq \f(x,y)，x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝eq \f(2\r(3)v0,3g)，故选项A错误，B正确；s＝eq \f(x,sin θ)＝eq \f(v0t,sin θ)＝eq \f(4veq \\al(2,0),3g)，选项C正确，D错误。

考点四 有约束条件的平抛运动模型
\l "_Tc16775" 知识点一 对着竖直墙壁的平抛运动
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝eq \f(d,v0)。
\l "_Tc16775" 知识点二 半圆内的平抛问题
考向1 对着竖直墙壁的平抛运动
例1 （2025·河北·模拟预测）如图所示，网球发球机在距离墙L处将网球以不同的水平速度射出打到竖直墙上。已知墙上的O点与网球出射点等高，A、B分别为两个击中点。忽略空气阻力，网球可看作质点，且，要使原来击中A点的网球能击中B点，则网球发球机应沿水平方向向左移动（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】原来击中A点的网球，有
原来能击中B点的网球，有
要使原来击中A点的网球能击中B点，可知网球运动时间变为原来的倍，根据
可知水平距离也应变为原来的倍，即网球发球机应向左移动。
故选B。
【变式训练1·变载体】（2025·辽宁锦州·一模）如图所示，甲乙两人进行击球训练，甲在A处将球以5m/s的速度水平击出，乙在比A处低1.25m的B处将球击回，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²，若要使球垂直击中乙球拍，则乙接球时球拍与水平方向的夹角应为（ ）
A．45°B．53°C．60°D．75°
【答案】A
【详解】球做平抛运动，在空中运动时间为
则球击中球拍时竖直方向的速度大小为vy=gt=10×0.5m/s=5m/s
若要使球垂直击中乙球拍，则乙接球时球拍与水平方向的夹角的正切值应为
则θ=45°
故选A。
【变式训练2】（2025·山东枣庄·三模）如图所示，一儿童在房间内向地面上的O点投掷弹力球（可视为质点），弹力球从O点反弹到右侧竖直墙壁上的M点后，又直接反弹到左侧竖直墙壁上的N点。已知两竖直墙壁间的距离L=6m，O点距右侧墙壁d=1.8m，M点与N点等高，弹力球在空中离水平地面的最大高度H=3.2m。弹力球与墙壁碰撞前后瞬间沿墙壁的速度不变，垂直于墙壁的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，忽略弹力球与墙壁的碰撞时间，取g=10m/s²。求：
(1)弹力球在O点弹起时的速度大小v₀；
(2)弹力球与M点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值。
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）在竖直方向
竖直方向的速度为
水平方向做匀速直线运动，有.
联立解得弹力球在O点弹起时的速度大小
（2）从O点到M点的过程中，水平方向做匀速直线运动，有
竖直方向的速度为
在M点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值
解得
考向2 半圆内的平抛问题
例2如图所示，竖直平面的圆环，为水平直径，为另一条直径，一个小球（可以看成质点）在点以水平向右的初速度拋出，刚好落在点，已知直径与直径的夹角，不计空气阻力，则（ ）
A．圆环的半径为
B．抛出点距水平直径的高度为
C．若小球从点以不同的速度水平向右拋出，一定不可能垂直落在圆环上
D．若小球从点以不同的速度水平向右拋出，经过直径上不同位置时的速度方向不相同
【答案】A
【详解】ABD．小球做平抛运动如图所示
设小球抛出经过t时间落在d点，根据平抛运动规律有
根据几何知识有
联立解得
则圆环的半径为
抛出点c距水平直径ab的高度为
若小球从c点以不同的速度水平向右抛出，无论落在cd上的何处，其位移偏角均为，则有
设速度偏角为，则有
则
则为定值，可知若小球从c点以不同的速度水平向右抛出，经过直径cd上不同位置时的速度方向相同，故BD错误，A正确；
C．若小球从c点水平向右抛出垂直落在圆环上f点如图所示
则f点速度反向延长线过圆心，由平抛运动的特点可知速度反向延长线过水平位移的中点g，由图可知g点可以为水平位移的中点，故可能垂直落在圆环上，故C错误。
故选A。
【变式训练1·变考法】（2024·江苏·模拟预测）如图所示，半球面半径为R，A点与球心O等高，小球两次从A点以不同的速率沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B点和C点，速度偏转角分别为和，不计空气阻力。则小球（ ）
A．运动时间B．两次运动速度变化
C．在C点的速度方向可能与球面垂直D．
【答案】D
【详解】A．根据
则运动时间
故A错误；
B．根据
两次运动速度变化
故B错误；
C．若在C点的速度方向与球面垂直，则速度方向所在直线经过圆心，速度方向反向延长线一定经过水平位移的中点，显然不符合，故C错误；
D．速度偏转角分别为和，位移偏转角分别为和，水平位移分别为、，有
可得
如图
可知
所以
故D正确。
故选D。
【变式训练2】（多选）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有
B．无论调整的大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧上
C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为
D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为
【答案】ABD
【详解】A．设，则平抛运动位移的偏转角为
当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得
综合可得
故A正确；
B．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，故B正确；
CD．若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点点时的速度为
结合，，
综合可得
由数学知识可得
则的最小值为
故C错误，D正确。
故选ABD。

考点五 平抛的多解问题
考向1 平抛的多解问题
例1 （多选）如图所示，AB为半圆弧ACB的水平直径，C为ACB弧的中点，AB＝1.5 m，从A点水平抛出一小球，小球下落0.3 s后落到半圆弧ACB上，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则小球抛出的初速度v0可能为( )
A．0.5 m/sB．1.5 m/s
C．3 m/sD．4.5 m/s
【答案】AD
【详解】小球水平方向做平抛运动，根据
可得下落0.3s的高度为
半径为0.75m，则水平距离可能为
则平抛运动的初速度为

水平距离还可能为
则平抛运动的初速度为
故选AD。
【变式训练1·变载体】（多选）如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，半径为，为轨道圆心，为其水平直径，为竖直半径，半径与水平方向成角。现以为坐标原点建立直角坐标系，在平面内有一弹射器（图中未画出）可以沿轴正方向发射速度大小可调的弹丸（可看作质点），若要使弹丸垂直撞击轨道点，弹丸发射点位置坐标可能值是（ ）
A．（0.8m，0）B．（0.7m，－0.2m）C．（0.25m，0.1m）D．（0.1m，0.2m）
【答案】BCD
【详解】根据题意可知，若弹丸垂直撞击轨道P点，可知弹丸速度与水平方向的夹角为，则有
根据平抛运动的推论，抛出点和P点连线与水平方向夹角的正切值满足
由几何关系可得P点横纵坐标分别为，
设抛出点坐标为，则
代入各选项数据，BCD均符合，故选BCD。
【变式训练2】（2025·云南丽江·一模）如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者从水平跑道边缘点以初速度水平向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在点，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水
B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在之间
C．若跳出时刻和初速度不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在点
D．若跳出时刻和初速度不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在点
【答案】C
【详解】AB．参赛者正好落在点，则点可能出现在图示的两个位置
参赛者在空中所做运动为平抛运动，竖直高度不变，参赛者在空中运动时间不变；仅增大，参赛者的水平位移增大，可能落水，可能在台面上；仅减小，参赛者的水平位移减小，可能落水，可能在台面上，故AB错误；
CD．仅增大转盘的角速度，或仅减小转盘的角速度，参赛者的水平位移不变，只要满足仍转到同一位置，参赛者就仍可能落在点，故正确，错误。
故选C。

考点六 平抛与圆周的综合问题
\l "_Tc16775" 知识点 问题概述
圆周运动与平抛运动的综合问题，是高考的热点，也是高考的重点。此类综合问题主要是水平面内的圆周运动与平抛运动的综合考查和竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合考查。
1.水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题考查
2.竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以选择题或计算题考查。
考向1 水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
例1如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是( )
A．若h1＝h2，则v1∶v2＝R2∶R1
B．若v1＝v2，则h1∶h2＝Req \\al(2,1)∶Req \\al(2,2)
C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则ω1＝ω2
[答案] BD
[解析] 根据平抛运动的规律有h＝eq \f(1,2)gt2，R＝vt，解得R＝veq \r(\f(2h,g))，可知若h1＝h2，则v1∶v2＝R1∶R2，若v1＝v2，则h1∶h2＝Req \\al(2,1)∶Req \\al(2,2)，A错误，B正确。设喷水嘴的横截面积为S0，转动周期为T，则喷水嘴转动一周的喷水量Q＝vS0T＝vS0eq \f(2π,ω)，单位长度上的花盆所得水量为Q单＝eq \f(Q,2πR)＝eq \f(vS0,ωR)；若ω1＝ω2，v1＝v2，则eq \f(Q单1,Q单2)＝eq \f(R2,R1)，知Q单1>Q单2，即喷水嘴各转动一周，落入内圈上每个花盆的水量较多，C错误。根据Q单＝eq \f(vS0,ωR)、R＝veq \r(\f(2h,g))，得Q单＝eq \f(S0,ω)eq \r(\f(g,2h))，若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，即Q单1＝Q单2，则ω1＝ω2，D正确。

【变式训练1·变载体】（2025·湖北襄阳·三模）如图所示，长为3.5L的不可伸长的轻绳，穿过一长为L的竖直轻质细管，两端拴着质量分别为m、的小球A和小物块B。开始时B先放在细管正下方的水平地面上，A在管子下端，绳处于拉直状态，手握细管，保持细管高度不变．现水平轻轻摇动细管，保持细绳相对于管子不上下滑动的情况下，一段时间后，使A在水平面内做匀速圆周运动，B对地面的压力恰好为零。已知重力加速度为g，，不计一切摩擦阻力。试求：
(1)A做匀速圆周运动时，绳与竖直方向的夹角θ；
(2)水平轻摇细管，使B上升至管口下处平衡，此时管内一触发装置使绳断开，A做平抛运动的落地点到管口的水平距离为多少？
【答案】(1)37°；(3)
【详解】（1）B处于平衡状态，B对地面的压力恰好为零时有
对A受力分析，竖直方向受力平衡，则有
可得
​​​解得
（2）因为绳子拉力恒为，故拉住A的绳与竖直线的夹角恒为，此时小球A距离上管口为
根据牛顿第二定律有
而
解得
绳断开后，A做平抛运动，则
而，
落地点到管口的水平距离为
【变式训练2】（2025·北京东城·二模）如图所示，长为的细线，一端系有质量为的小球，另一端通过光滑的轻质小圆环套在点的钉子上，小球在高为的光滑水平桌面上做匀速圆周运动。若小球的速度缓慢增大，当细线的拉力达到时，细线断裂，小球垂直桌面边缘抛出。重力加速度为，不计空气阻力。
(1)小球从水平桌面上抛出时的速度大小；
(2)小球落地点到桌面边缘的水平距离；
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）细绳拉力为F时，根据牛顿第二定律可知
解得
细绳拉断后小球将以速度
从水平桌面上抛出。
（2）根据平抛运动的规律，
解得
考向2 竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
例2 （2025·河南·模拟预测）打铁花是我国的非物质文化遗产，燃烧的铁丝棉快速旋转，火花四溅，会在夜空中划出漂亮的抛物线轨迹，似繁星降落。如图所示，打铁花大师在细绳的一端拴一质量为的铁丝棉（可视为质点），用力甩动胳膊使其在竖直平面内绕一固定点O做半径为的圆周运动。细绳能承受的最大拉力，转轴离地高度，不计阻力，重力加速度取，若铁丝棉在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，则（ ）
A．细绳恰好被拉断时铁丝棉的速度大小为6m/s
B．细绳恰好被拉断后铁丝棉做平抛运动的时间为2s
C．绳断后铁丝棉对应的水平射程为4m
D．铁丝棉落地前重力的瞬时功率为200W
【答案】C
【详解】A．设细绳恰好被拉断时铁丝棉的速度大小为，此时对铁丝棉由牛顿第二定律有
解得，故A错误；
BC．细绳恰好被拉断后铁丝棉做平抛运动，设运动时间为t，则对铁丝棉由平抛运动的规律有，
联立解得，，故B错误，C正确；
D．铁丝棉落地前重力的瞬时功率为，故D错误。
故选C。
【变式训练1·变考法】 如图所示，天花板上悬挂的电风扇绕竖直轴匀速转动，竖直轴的延长线与水平地板的交点为O，扇叶外侧边缘转动的半径为R，距水平地板的高度为h。若电风扇转动过程中，某时刻扇叶外侧边缘脱落一小碎片，小碎片落地点到O点的距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，则电风扇转动的角速度为( )
A.eq \f(L,R)eq \r(\f(g,2h)) B.eq \f(R,L)eq \r(\f(g,2h))
C.eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R2,L2)－1))) D.eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,R2)－1)))
【答案】 D
【解析】 小碎片脱离扇叶后做平抛运动，脱离点到落地点的水平位移为x＝eq \r(L2－R2)，做平抛运动的时间为t＝eq \r(\f(2h,g))，又x＝vt，v＝Rω，可得电风扇转动的角速度为ω＝eq \r(\f(g,2h)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L2,R2)－1)))，D正确。
【变式训练2】 为限制车辆进出，通常在公园等场所门口放置若干石球。如图所示，半径为0.40 m的固定石球底端与水平地面相切，以切点O为坐标原点，水平向右为正方向建立直线坐标系Ox。现使石球最上端的小物块(可视为质点)获得大小为2.1 m/s水平向右的速度，不计小物块与石球之间的摩擦及空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，则小物块落地点坐标为( )
A．x＝0.40 m B．x＝0.59 m
C．x＝0.80 m D．x＝0.84 m
【答案】 D
【解析】 设小物块在石球最高点将要脱离石球表面时的速度为v0，由mg＝eq \f(mveq \\al(2,0),R)，解得v0＝2.0 m/s，因为v＝2.1 m/s>2.0 m/s，所以小物块从石球最高点开始做平抛运动，假设小物块落地前与石球不相撞，以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，则小球做平抛运动时，有x＝vt，2R－y＝eq \f(1,2)gt2，可得小球的轨迹方程为2R－y＝eq \f(gx2,2v2)，又石球边界的方程为(y－R)2＋x2＝R2，代入数据解方程组知，方程组只有一组解x＝0，y＝0.8 m，即小球的轨迹与石球边界圆不相交，假设正确。将y＝0代入轨迹方程，可得小物块落地点坐标x＝0.84 m，故选D。

考点七 斜抛运动的理解和分析
\l "_Tc16775" 知识点 斜抛运动的分析与规律
1．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cs θ)t①
vx＝v0x＝v0cs θ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－eq \f(1,2)gt2＝(v0sin θ)t－eq \f(1,2)gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④
2.方法与技巧
(1)斜抛运动中的极值
在最高点，vy＝0，由④式得到t＝eq \f(v0sin θ,g)⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝eq \f(v02sin2θ,2g)⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，
由③式得总时间t总＝eq \f(2v0sin θ,g)⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝eq \f(v02sin 2θ,g)
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
(2)逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．
得分速记
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动．
考向1 斜抛运动的理解及其运动规律的应用
例1（2025·山东济南·模拟预测）如图所示，一个人站在河边以一定的初速度斜向上抛出一石子。已知石子落水时的速度方向与初速度互相垂直，抛出点和落水点之间的距离L=9.8m，g=10m/s2，不计空气阻力。则石子在空中的运动时间为（ ）
A．1.2sB．1.3sC．1.4sD．1.5s
【答案】C
【详解】以垂直于v0为x轴，以v0方向为y轴建立平面直角坐标系，设y轴与竖直向下成θ角，将重力加速度g分解为，
如图所示
则有，，，
联立解得
故选C。
【变式训练1·变载体】（2025·安徽·模拟预测）（多选）在一个倾角为的足够长的固定斜面上，一小球以初速度离开斜面，方向与斜面方向成角斜向上（）。已知重力加速度为，空气阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．小球在空中相等的时间内速度变化一定相等
B．小球经时间，离斜面最远
C．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为
D．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为
【答案】AC
【详解】A．小球在空中只受重力作用，加速度为重力加速度，根据，可知相等的时间内速度变化一定相等，故A正确；
BC．将小球的运动分解为垂直斜面方向和沿斜面方向两个分运动，小球垂直斜面方向的初速度大小为，加速度大小为，当小球垂直斜面的速度减为零时，离斜面最远，则有
根据对称性可得小球开始运动到第一次落到斜面上时间为
故B错误，C正确；
D．小球沿斜面方向的初速度大小为，加速度大小为，则小球开始运动到第一次落到斜面上位移为
故D错误。
故选AC。
【变式训练2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图所示为某生态区的水景喷泉和灯光秀，美丽壮观，水流从喷嘴喷出，其初速度与竖直方向的夹角为。现制作一个大小为实际尺寸的1/16的模型展示效果，若模型中水流喷出的初速度为1m/s，则水流实际的初速度为（ ）
A．2m/sB．4m/sC．8m/sD．16m/s
【答案】B
【详解】水流从喷嘴喷出到最高点的过程中，竖直方向上有
解得
由题可知，故
由水在竖直方向上的运动情况可知
解得，故B符合题意，故ACD不符合题意。
故选B。
考向2 逆向思维分析斜上抛运动
例2 （2025·安徽合肥·模拟预测）俗话常说“鲤鱼跳龙门”，这是比喻鲤鱼喜欢跳水的习性，后比喻中举、升官等飞黄腾达之事，后来又用做比喻逆流前进，奋发向上。如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以的速度在点跃出水面，轨迹最高点为点，点为轨迹上一点，与水面夹角，垂直于，不计空气阻力，鲤鱼视为质点，在鲤鱼从点运动到点过程中，下列说法正确的是（ ）
A．鲤鱼在点的加速度比在点的加速度大
B．鲤鱼运动的最小速度为
C．段鲤鱼运动时间为段鲤鱼运动时间的3倍
D．段鲤鱼位移大小为段鲤鱼位移大小的6倍
【答案】C
【详解】A．鲤鱼只受重力，加速度均为g，鲤鱼在P点的加速度与鲤鱼在N点的加速度一样大，故A错误；
B．设在M点速度方向与水平方向夹角为，则鲤鱼运动的最小速度为，故B错误；
C．在鲤鱼从点运动到N点过程的逆过程为平抛运动，则有
可得
由几何关系可知NP与水平方向夹角为30°，则，故C正确；
D．由可知，MN段鲤鱼在竖直方向位移大小为NP段竖直位移的9倍，根据可得MN段水平位移大小是NP段水平位移大小的3倍，合位移不为6倍，故D错误。
故选C。
【变式训练1·变考法】（2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角为，不计空气阻力。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将篮球从A到B运动的逆过程与从B到C运动的过程看作两个平抛运动，将AB过程沿水平和竖直方向分解，如图所示
水平方向则有
竖直方向则有
由几何知识可得
解得
同理可得
故
根据数学知识，
解得
则
故
故选B。
【变式训练2】（2025·北京·模拟预测）某同学练习定点投篮，其中有两次篮球垂直撞在竖直篮板上，篮球的轨迹分别如图中曲线1、2所示。若两次抛出篮球的速度分别为v1、v2，两次篮球从抛出到撞篮板的时间分别为t1、t2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．t1等于t2
B．t1大于t2
C．v1和v2的水平分量相等
D．v1和v2的竖直分量相等
【答案】B
【详解】AB．篮球反向做平抛运动，竖直分运动是自由落体运动，根据
解得
因为，故，故A错误，B正确；
C．在水平方向上，水平位移相等，根据，有，故C错误；
D．在竖直方向上，根据可知，故D错误。
故选B。
考向3 斜抛运动与平抛运动综合分析
例3 （2025·广东揭阳·一模）排球比赛中，运动员在A处水平发球，速度大小为v0，对方一传在B处垫球过网，排球经最高点C运动到D处；已知排球从A到B的运动时间为t0轨迹如图所示。已知A、B、C、D在同一竖直平面内，A与C、B与D分别在同一水平线上，A、D在同一竖直线上，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．排球从B运动到D的时间为t0
B．排球从B到C和从C到D速度变化量不相同
C．排球在C点的速度大小为
D．排球在B、D两点的速度大小不相等
【答案】C
【详解】A．由，得
所以 ，根据对称性 ， ，A错误；
B．根据得， ，，B错误；
C．排球由A点运动到B点和由C点运动到D点的平抛运动比较，运动的时间相同，C到D水平方向运动的位移为A到B水平方向运动的位移的一半。
根据可知，排球在C点的速度大小为，C正确；
D．根据斜上抛运动的对称性可知，排球在B、D两点的速度大小相等，D错误。
故选C。
【变式训练1·变考法】（2025·山东淄博·三模）酢浆草的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。某次抛出的种子中有两粒的运动轨迹如图所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时种子1和种子2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两种子从O运动到P的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．种子1的加速度小于种子2的加速度
B．种子2经过最高点时速度为0
C．两种子的运动时间相等
D．种子1的平均速度大于种子2的平均速度
【答案】D
【详解】A．由题意，可知种子1做平抛运动，种子2做斜上抛运动，抛出的两种子在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，所以种子1的加速度等于种子2的加速度，故A错误；
B．种子2做斜上抛运动，在最高点时，其竖直方向的速度为零，水平方向的速度不为零，故种子2经过最高点时速度不为零，故B错误；
C．在竖直方向上种子2做竖直上抛运动，即先向上减速再向下加速，而种子1做自由落体运动，故种子2运动时间较长，故C错误；
D．两种子从O点运动到P点的位移相同，种子2运动时间较长，根据平均速度等于位移比时间，可知种子1的平均速度大于种子2的平均速度，故D正确。
故选D。
【变式训练2】（2025·重庆·模拟预测）我国首批非物质文化遗产“铜梁火龙”早已享誉全球，图1为铁花飞溅的壮观场景。某游客摄像记录下两个铁花a、均视为质点在同一竖直面内运动的轨迹图，如图2所示。若a、b从水平地面上B点的正上方A处以相同速率v同时水平和向右上方飞出，恰好落在地面上同一处C点铁花飞行过程中所受阻力不计，则b的初速度与水平方向的夹角满足的关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】a平抛，b斜向上抛，在水平方向有
在竖直方向，对a有
对b有
联立可得。
故选B。
考向4 多物体斜抛运动分析
例4（2025·重庆·三模）用题图甲所示的足球发球机在球门正前方的、两个相同高度的位置发射同一足球，情景如题图乙所示，两次足球都水平击中球门横梁上的同一点，不计空气阻力。则（ ）
A．两次击中横梁的速度相同
B．足球两次运动的速度变化量相同
C．从位置发射的足球初速度较大
D．从位置发射的足球在空中的运动时间长
【答案】B
【详解】A．将足球发射到水平击中球门横梁，看成逆向的平抛运动，根据平抛运动规律有，
解得
由于两次的水平位移不相等，高度相等，所以两次的水平分速度不相等，即两次击中横梁的速度不相同，故A错误；
BD．根据，由于两次足球在空中的高度相等，所以两次足球在空中的运动时间相等，再根据，则足球两次运动的速度变化量相同，故B正确，D错误；
C．足球发射的初速度大小为，由于两次高度相等，所以两次足球发射的初速度竖直分量相等，由于从B位置发射的足球水平位移较小，则从B位置发射的足球水平分速度较小，从B位置发射的足球初速度较小，故C错误。
故选B。
【变式训练1·变考法】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，甲、乙两同学分别在同一竖直面内的同一水平线上的A、B两点以、角同时将两个质量相等的足球踢出，两球恰好在轨迹最高点相遇，足球可视为质点，不计足球所受的一切阻力，且不考虑两球相遇时的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．两球在空中运动时间
B．两球的初速度之比
C．两球的水平射程之比
D．两球在最高点时的动能之比
【答案】C
【详解】ABC．两球同时踢出，恰在最高点相遇，两球在空中运动时间相同，则踢出时两球竖直方向的分速度相同，则有
可得
两球在水平方向做匀速运动，水平射程之比为，故AB错误，C正确；
D．两球在最高点时的速度之比为
根据动能表达式，可知两球在最高点时的动能之比，故D错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·江苏泰州·二模）如图所示，A、B两篮球从相同高度以相同方向抛出后直接落入篮筐，两球从抛出到落入篮筐过程中，下列说法正确的是（ ）
A．两球的运动时间相同
B．两球抛出时速度相等
C．两球在最高点加速度都为零
D．两球速度变化量的方向始终竖直向下
【答案】D
【详解】A．分析可知AB两球均做斜抛运动，且A运动的最大高度比B的大，由斜抛规律可知A球在空中运动时间长，故A错误；
B．设初速度方向与水平方向夹角为，则有
因为
故
故B错误；
C．两球在最高点的加速度均为重力加速度，故C错误；
D．速度变化量的方向与加速度方向相同，所以两球速度变化量的方向即为重力加速度的方向，即速度变化量的方向始终竖直向下，故D正确。
故选D。

考点八 类平抛运动
\l "_Tc16775" 知识点一 类平抛运动的特点
(1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。
(2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(3)运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq \f(F合,m)。
如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(v0的方向与CD平行)，小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。
\l "_Tc16775" 知识点二 类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别
(1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面。
(2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向。
(3)加速度不同：类平抛运动→a＝eq \f(F,m)，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向下。
考向 类平抛运动的分析与处理
例1 （多选）如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（ ）
A．A与B的加速度大小之比为
B．A与B的运动时间之比为
C．A与B的在x轴方向位移大小之比为
D．A与B的水平位移大小之比为
【答案】AC
【详解】A. A做平抛运动，加速度为g。B的加速度为
A与B的加速度大小之比为
A正确；
B. 设高度为h，则
，
得
B错误；
C. 由
A与B的在x轴方向位移大小之比为
C正确；
D. B的水平位移为
A与B的水平位移大小之比不等于，D错误。
故选AC。
【变式训练1·变载体】如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力G和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，M与右壁水平间距为L，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．从M运动到N的时间为
B．M与N之间的水平距离
C．若增大初速度，物体将撞击右壁，且初速度越大，物体撞击壁速度越大
D．若h足够大，当初速度时，物体撞击壁时速度最小
【答案】D
【详解】A．根据牛顿第二定律
解得
该物体做类平抛运动，则
解得从M运动到N的时间为
故A错误；
B．M与N之间的水平距离
故B错误；
CD．物体撞击右壁时，物体运动的时间为
物体竖直方向的速度为
物体撞击壁速度
根据几何关系可知，当
即当初速度时，物体撞击壁时速度最小，故若增大初速度，物体将撞击右壁，且初速度越大，物体撞击壁速度不一定越大，故C错误，D正确。
故选D。
【变式训练2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图所示，有一竖直平面内的平面直角坐标系，时刻将一质量为的小球，从坐标原点处沿轴以的初速度向下抛出，小球在运动过程中始终受除重力以外的恒力作用，恒力平行于平面直角坐标系，小球运动的轨迹方程为，为运动轨迹上一点（图中未标出），重力加速度，求：
(1)小球运动过程中的加速度大小和方向；
(2)恒力的大小和方向；
(3)当与轴正方向夹角为时，小球在点具有的动能。（保留2位有效数字）
【答案】(1)，方向沿轴正方向
(2)，与水平方向夹角
(3)
【详解】（1）由题意可知，小球沿轴方向做匀速直线运动
沿轴方向匀加速直线运动
联立可得
对比带电小球运动的轨迹方程为
可得
加速度方向沿轴正方向
（2）小球做类平抛运动，小球受到的恒力竖直向上分力与重力平衡，水平向右的分力为合外力，则小球受恒力
解得
方向与轴正向夹角为，则
解得
恒力与水平方向夹角
（3）与轴正方向夹角得为，由几何关系
在P点速度
在解得小球动能

考点九 抛体运动中的功能与动量
考向 抛体运动中的功能与动量
例（2025·安徽合肥·模拟预测）某同学两次从同一位置抛出篮球，篮球都垂直撞在竖直放置的篮板上，如图所示。不计空气阻力，关于这两次过程，下列说法正确的是（ ）
A．篮球在空中运动的时间相等
B．第1次抛出时手对篮球做的功多
C．第1次抛出时速度的水平分量小
D．第2次抛出时速度的竖直分量大
【答案】C
【详解】A．两次篮球都垂直撞在竖直放置的篮板上，都可以逆向看成做平抛运动，根据
由于第一次的高度较大，所以第1次篮球在空中运动的时间较长，即，故A错误；
D．根据，
可知第1次抛出时速度的竖直分量大，即，故D错误；
C．两次运动的水平方向位移相同，根据，
可知第1次抛出时速度的水平分量小，即，故C正确；
B．根据，，
则两次抛出时初速度大小关系不确定，两次抛出时篮球的初动能大小关系不确定，所以两次抛出时手对篮球做的功大小关系不确定，故B错误。
故选C。
【变式训练1·变载体】（2025·甘肃平凉·模拟预测）（多选）如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，现将质量相同的小球、分别从斜面上的、两点抛出，球的初速度水平向左、大小为，球的初速度与水平方向成角斜向左上方、大小为。球落在斜面上的点，球落在地面上的点，上述过程，两球在空中运动的时间均为，与之间的水平距离和与之间的水平距离相等。已知两球均可视为质点，忽略空气阻力，，，取。下列说法正确的是（ ）
A．
B．两球分别到达、两点前瞬间，速度方向相同
C．抛出后时间内，两球动量变化量相同
D．抛出后时间内，两球重力平均功率相等
【答案】AC
【详解】A．两球在水平方向均做匀速直线运动，由题意可知两球在空中运动的时间相等，通过的水平位移相等，可知两球的水平分速度相等，则有
可得，故A正确；
B．球到达点前瞬间竖直分速度为
球到达点前瞬间竖直分速度为
可知两球分别到达、两点前瞬间竖直分速度大小不相等，而水平分速度相等，所以合速度方向不相同，故B错误；
C．抛出后时间内，根据动量定理可得
由于两球的质量相等，在空中运动的时间相等，所以两球动量变化量相同，故C正确；
D．抛出后时间内，竖直方向球做自由落体运动，球先竖直上抛再下落，所以两球下落的高度不同，根据
可知两球重力平均功率不相等，故D错误。
故选AC。
【变式训练2】（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）在某物理探究活动中，同学用质量都为m的两个小球分别从地面以不同角度向空中抛出，恰好垂直通过两个窗口。设两次抛射初速度大小均为v0，射出角分别为θ1、θ2，对应的飞行时间分别为t1、t2。两轨迹位于同一竖直平面，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．两球空中受重力冲量之比为sinθ1∶sinθ2
B．两球空中动能变化量之比一定为1∶1
C．水平方向位移满足x=gt1t2
D．到达h2的小球，同学对球做功更多
【答案】AC
【详解】A．球在空中过程运动的时间
重力冲量
可知球在空中过程重力冲量之比为sinθ1∶sinθ2，故A正确；
B．球在空中过程动能变化量大小
可知球在空中过程动能变化量之比为sin2θ1∶sin2θ2，故B错误；
C．水平距离
可得
即
竖直方向
与
联立可知水平距离与足球飞行时间满足，故C正确；
D．两次运动员对球做功相等，均为，故D错误。
故选AC。

考点十 平抛运动中的追及相遇问题
考向 平抛运动中的追及相遇问题
例 （2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，从距地面5m高处的塔上，同时从同一位置抛出两小球（均可视为质点），初速度大小都为2m/s，A球初速度方向水平向右，B球初速度方向与水平方向成60°角斜向右上，忽略空气阻力，重力加速度大小为10 m/s2，则（ ）
A．在A落地前，A、B可能在空中相遇
B．在A落地前，A、B间的距离不会超过 m
C．B比A滞后s落地
D．A、B从抛出至落地的过程，A的水平位移大于B的水平位移
【答案】D
【详解】A．A、B同时从同一位置抛出，由于A在水平方向的速度大于B在水平方向的速度，故在A落地前，A、B不可能在空中相遇，A错误；
B．由题意得A落地瞬间A、B间距离最大，A下落时间为
A的水平位移为
在A下落的时间内，B下落的高度为
B的水平位移为
则A落地瞬间B到地面的距离为
A、B间的水平距离为
故A、B间的最大距离为，B错误；
C．B在竖直方向有
解得
则B比A晚落地的时间为，C错误；
D．B从抛出至落地过程的水平位移，D正确。
故选D。
【变式训练1·变载体】 （2025·河北·模拟预测）某科研单位进行传感器的通讯测试，他们在相距25m的两栋楼的同一楼层的阳台将两个带传感器的小球同时抛出，初速度方向如图所示，其中A小球的初速度10m/s，B小球的初速度5m/s，不计空气阻力，重力加速度g取。下列说法中正确的是（ ）
A．小球A相对小球B做匀变速运动
B．两个小球之间的最小距离为
C．小球抛出1.5s时，两个小球之间的距离为25m
D．仅适当调整两个小球初速度的大小（不能为0），两个小球能够在空中相遇
【答案】B
【详解】A．由于小球A做竖直上抛运动、小球B做平抛运动，则小球A在水平方向相对于小球B做匀速直线运动，竖直方向也相对于小球B做匀速直线运动，故小球A相对小球B做匀速直线运动，故A错误；
B．设经过时间t，两小球间的水平距离为
竖直距离为
所以两个小球之间的距离为
根据数学知识可知，当时，两个小球之间的距离有最小值，为，故B正确；
C．根据选项B可知
解得或
故C错误；
D．由前面选项分析，只有小球A相对于小球B的运动沿水平方向时，两个小球才能相碰，所以在两个小球初速度不为0的前提下，通过调整两个小球初速度大小不能使两个小球相碰，故D错误。
故选B。
【变式训练2】（多选）如图所示，在M点的正上方离地高H处以水平速度v1向右投掷一飞盘P，反应灵敏的小狗Q同时在M点右方水平地面上的N点以速度v2斜向左上方跳出，结果飞盘P和小狗Q恰好在M、N连线的中点正上方相遇。为使问题简化，飞盘和小狗均可看成质点，不计飞盘和小狗运动过程所受空气的阻力，则飞盘水平抛出后至与小狗相遇的过程，下列说法正确的是（ ）
A．飞盘和小狗速度的变化量相等
B．飞盘和小狗相遇点在距离地面高度处
C．初速度大小关系一定是
D．小狗相对飞盘做匀加速直线运动
【答案】AC
【详解】A．飞盘和小狗分别做平抛和斜上抛运动，根据
可知飞盘和小狗速度的变化量相等，故A正确；
C．因为飞盘和小狗恰好在M、N两点连线中点的正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又因为运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度相同，即
可得
故C正确；
B．根据题意可知飞盘和小狗运动的时间相同，因为不知道小狗在竖直方向初速度的大小，所以不能判断飞盘和小狗相遇点距离地面的高度，故B错误；
D．飞盘和小狗都只受到重力作用，都做匀变速运动，加速度相同，所以小狗相对飞盘做匀速直线运动，故D错误。
故选AC。
1．（2025·甘肃·高考真题）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，小球A和B碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A球的竖直速度不变，设碰撞后A球水平速度为，B球水平速度为，则有
碰撞为完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有
联立解得，
小球A在竖直方向上做匀加速直线运动，则有
解得
可知，碰撞后，小球A运动落地，则水平方向上有
解得
故选B。
2．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（ ）
A．两颗鸟食同时抛出B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
【答案】D
【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有
由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故AB错误；
CD．在水平方向有x = v0t，如图
过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。
故选D。
3．（2024·安徽·高考真题）在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】设水从出水口射出的初速度为，取时间内的水为研究对象，该部分水的质量为
根据平抛运动规律

解得
根据功能关系得
联立解得水泵的输出功率为
故选B。
4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求：
(1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小；
(2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。
【答案】(1)5m/s；(2)8m/s，60°
【详解】（1）雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理
代入数据解得雪块到A点速度大小为
（2）雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理
代入数据解得雪块到地面速度大小
速度与水平方向夹角，满足
解得
5．（2025·北京·高考真题）某物体以一定初速度从地面竖直向上抛出，经过时间t到达最高点。在最高点该物体炸裂成两部分，质量分别为和m，其中A以速度v沿水平方向飞出。重力加速度为g，不计空气阻力。求：
(1)该物体抛出时的初速度大小；
(2)炸裂后瞬间B的速度大小；
(3)落地点之间的距离d。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）物体竖直上抛至最高点时速度为0，由运动学公式
可得
（2）爆炸瞬间水平方向动量守恒，爆炸前总动量为0。A速度为v，设B速度为vB，由动量守恒定律得
解得
即大小为2v
（3）根据竖直上抛运动的对称性可知下落时间与上升时间相等为t，则A的水平位移
B的水平位移
所以落地点A、B之间的距离

考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
平抛运动的基本规律及应用
选择题
非选择题
安徽卷T14（2），5分
抛体运动中的功能与动量
选择题
非选择题
安徽卷T7，5分
关联速度问题
选择题
非选择题
考情分析：
“抛体运动”在选择题中仍会倾向单独命题，但也可能会与功能关系相结合，设置综合性较强的试题；与电磁场相结合研究带电粒子在电磁场中的类平抛运动是必考题目，以选择题或计算题形式考查的概率都很高。特别需要注意的是，抛体运动的考题正在变得越来越复杂，要重视三维空间中的抛体运动，要重视将抛体运动进行分解，而不是只机械地沿水平方向和竖直方向分解。在备考中应设置此类专题，破除学生思维定式，提升学生思维能力。
试题情境
生活实践类：网球、篮球、乒乓球等；
学习探究类：飞机投弹等。
复习目标：
目标一：理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质。
目标二：掌握抛体运动的规律，会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动、类抛体运动。
目标三：学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题
利用位移关系
从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝v0t,y＝\f(1,2)gt2,x2＋y2＝R2))
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝R＋Rcs θ,x＝v0t,y＝Rsin θ,＝\f(1,2)gt2,x－R2＋y2,＝R2))