浙江省26届中考数学精准预测卷十（含解析）

这是一份浙江省26届中考数学精准预测卷十（含解析），共7页。试卷主要包含了﹣2026的相反数是，下列运算正确的是，水由氢、氧两种元素组成，古籍《算法统宗》中记载，已知函数y=kx+3x2+c等内容，欢迎下载使用。
1．﹣2026的相反数是（ ）
A．﹣2026B．2026C．−12026D．12026
2．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．2a+3b＝5ab
C．a6÷a3＝a2D．a3•a2＝a5
3．如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为1.674×10﹣27kg，一个氧原子的质量约为2.657×10﹣26kg，一个水分子的质量大约是（ ）
A．3.6137×10﹣25kgB．2.8244×10﹣26kg
C．2.9918×10﹣26kgD．3.6137×10﹣27kg
5．测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．标准差
6．如图，△ABC中，AB＝BC，∠CBA＝120°．将△ABC绕点A顺时针旋转110°得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E．那么∠CAD的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
7．古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为x文，罗布每尺价格为y文，则可列方程组为（ ）
A．7x=9yx−y=36B．7x=9yy−x=36
C．9x=7yx−y=36D．9x=7yy−x=36
8．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知y与x满足的关系式是（ ）
A．y=4xB．y＝4xC．y＝2x2D．y＝2x+2
9．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则ABBC的值为（ ）
A．13B．12C．33D．22
10．已知函数y=kx+3x2+c（c，k为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．ck＜0B．ck＞0C．c﹣k＜0D．c﹣k＞0
二．填空题（共6小题）
11．已知x=−2y=3是方程2x﹣my＝2的一个解，那么m的值是 ．
12．分解因式：x3﹣4x＝ ．
13．如图为花式九球的标准球组排列（1﹣9号球共9颗，按菱形摆放），其中1号和9号球位置固定，剩余7颗球位置随机摆放，则5号球与1号和9号都相邻的概率是 ．
14．一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的全面积为 cm2（结果保留π）
15．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在CD的中点E处，若AB＝15，BC＝18，则折痕MN的长为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AD=32AB，E为AD中点，以AE为半径，在矩形外作半圆，连接BE，并延长交半圆于点F，连接AF，CF，DF，则tan∠DCF＝ ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）（π﹣3.14）0﹣tan2•30°+3﹣1﹣|﹣2|；
（2）x2−xx2−4x+4÷(1+2x−2)．
18．解不等式组2(x−3)≤x−4x−22＜x，并写出x的所有整数解．
19．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，_____．
求证：BC＝CD．
请在空格处添加条件并证明．
你支持 （填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程．
20．“身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查．
学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题．
（1）随机抽查了 名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是 °；
（2）估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数；
（3）基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议．
21．【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除．
证明过程如下：整数m为偶数时，设m＝2n（其中n为整数），
m2＝（2n）2＝4n2，
因为n2是整数，
所以m2能被4整除．
【类比】
探究奇数的平方被4除所得余数的情况．
小明通过举例发现：（1）奇数的平方被4除余数为 ．
证明过程如下：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数），
…
（2）请补全证明过程．
【应用】
（3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．
（注：整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0）
22．如图，四边形ABCD内接于以对角线BD为直径的圆，AC＝BC，过点C与AD平行的直线交BD于点E，交AB于点F．
（1）求证：BE＝DE．
（2）若AB＝6，BC＝5，求△ACD的面积．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）．
（1）求a与b的关系式．
（2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围．
24．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC=23，∠DAB＝60°，P是射线AD上一点，连接BP，△BPQ与△BPA关于BP对称．
（1）求AB的长．
（2）当BQ⊥AB时，求证：PQ∥AC．
（3）如图2，当直线PQ与AC相交时，记交点为E．
①当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，求AP的长．
②连接BE，当BE取得最小值时，求AE的长．
浙江省26届中考数学精准预测卷十（精选浙江省中考及模拟最新题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣2026的相反数是（ ）
A．﹣2026B．2026C．−12026D．12026
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2026的相反数是2026．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．2a+3b＝5ab
C．a6÷a3＝a2D．a3•a2＝a5
【分析】根据完全平方公式、合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法解答．
【解答】解：A、因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；
B、因为2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可知a6÷a3＝a6﹣3＝a3，故本选项错误；
D、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，可知a3•a2＝a3+2＝a5，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，是一道基础题．
3．如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
4．水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为1.674×10﹣27kg，一个氧原子的质量约为2.657×10﹣26kg，一个水分子的质量大约是（ ）
A．3.6137×10﹣25kgB．2.8244×10﹣26kg
C．2.9918×10﹣26kgD．3.6137×10﹣27kg
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：2×1.674×10﹣27+2.657×10﹣26
＝0.3348×10﹣26+2.657×10﹣26
＝2.9918×10﹣26（kg），
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
5．测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．标准差
【分析】根据中位数的定义解答可得．
【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最低成绩写得更低了，计算结果不受影响的是中位数，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差、极差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
6．如图，△ABC中，AB＝BC，∠CBA＝120°．将△ABC绕点A顺时针旋转110°得到△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E．那么∠CAD的度数为（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵AB＝BC，∠CBA＝120°．
∴∠BAC＝30°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转110°得到△ADE，
∴∠BAD＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
7．古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为x文，罗布每尺价格为y文，则可列方程组为（ ）
A．7x=9yx−y=36B．7x=9yy−x=36
C．9x=7yx−y=36D．9x=7yy−x=36
【分析】根据现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：7x=9yx−y=36，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知y与x满足的关系式是（ ）
A．y=4xB．y＝4xC．y＝2x2D．y＝2x+2
【分析】根据结构式，列表格反映x和y的对应关系，再根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式即可．
【解答】解：根据题意，绘制如下表格：
根据表格，x增加1，y增加2，
则y＝4+2（x﹣1）＝2x+2，
∴C与H满足的关系式是y＝2x+2．
故选：D．
【点评】本题考查函数关系式，根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式是解题的关键．
9．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则ABBC的值为（ ）
A．13B．12C．33D．22
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似，
∴14BCAB=ABBC，
∴AB2=14BC2，
∴ABBC=12，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
10．已知函数y=kx+3x2+c（c，k为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．ck＜0B．ck＞0C．c﹣k＜0D．c﹣k＞0
【分析】根据所给函数图象，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由所给函数图象可知，
因为函数图象与y轴交于正半轴，
所以3c＞0，
即c＞0；
当横坐标是一个很小的负数时，函数值小于零，
所以k＞0，
显然只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的图象，能对所给函数图象进行正确的识别是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．已知x=−2y=3是方程2x﹣my＝2的一个解，那么m的值是 ﹣2 ．
【分析】二元一次方程的解满足方程，因此只需将已知解代入方程，就能转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：已知x=−2y=3是方程2x﹣my＝2的解，将x＝﹣2，y＝2代入方程：
2×（﹣2）﹣m×3＝2，
﹣4﹣3m＝2，
﹣3m＝6，
m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二元一次方程解的定义．熟练掌握“方程的解代入等式后等式成立”这一性质，是解题的关键．
12．分解因式：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
13．如图为花式九球的标准球组排列（1﹣9号球共9颗，按菱形摆放），其中1号和9号球位置固定，剩余7颗球位置随机摆放，则5号球与1号和9号都相邻的概率是 27 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及5号球与1号和9号都相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将1号和9号球中间的两个位置分别记为x，y．
列表如下：
共有42种等可能的结果，其中5号球与1号和9号都相邻的结果有：（2，5），（3，5），（4，5），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（5，7），（5，8），（6，5），（7，5），（8，5），共12种，
∴5号球与1号和9号都相邻的概率为1242=27．
故答案为：27．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的全面积为 24π cm2（结果保留π）
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【解答】解：这个圆锥的母线长=32+42=5，
所以这个圆锥的侧面积=12•2π•3•5＝15π（cm2）．
∴这个圆锥的全面积为15π+9π＝24π
故答案为24π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在CD的中点E处，若AB＝15，BC＝18，则折痕MN的长为 654 ．
【分析】连接AE，AN，EN，过点N作NH⊥AD于点H，由点E是CD的中点得DE＝CE=152，证明四边形ABNH是矩形得NH＝AB＝15，AH＝BN，由折叠性质得MN是AE的垂直平分线，进而得AN＝EN，AM＝EM，设AH＝BN＝a，则CN＝18﹣a，在Rt△ABN和Rt△CEN中，由勾股定理得AH＝BN＝a=6916，设AM＝EM＝b，则MD＝18﹣b，在Rt△DME中，由勾股定理得AM＝EM＝b=16916，则MH＝AM﹣AH=254，然后在△NHM中，由勾股定理可得折痕MN的长．
【解答】解：连接AE，AN，EN，过点N作NH⊥AD于点H，如图所示：
∴∠NHA＝∠NHM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝15，BC＝18，
∴CD＝AB＝15，AD＝BC＝18，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE=12CD=152，
∴∠NHA＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABNH是矩形，
∴NH＝AB＝15，AH＝BN，
由折叠性质得：MN是AE的垂直平分线，
∴AN＝EN，AM＝EM，
设AH＝BN＝a，则CN＝BC﹣BN＝18﹣a，
在△ABN中，∠B＝90°，
由勾股定理得：AN2＝AB2+BN2，
在△CEN中，∠C＝90°，
由勾股定理得：EN2＝CN2+CE2，
∴AB2+BN2＝CN2+CE2，
∴152+a2=(18−a)2+(152)2，
解得：a=6916，
∴AH＝BN＝a=6916，
设AM＝EM＝b，则MD＝AD﹣AM＝18﹣b，
在△DME中，∠D＝90°，
由勾股定理得：EM2＝MD2+DE2，
∴b2=(18−b)2+(152)2，
解得：b=16916，
∴AM＝EM＝b=16916，
∴MH＝AM﹣AH=16916−6916=254，
在△NHM中，∠NHM＝90°，
由勾股定理得：MN=NH2+MH2=152+(254)2=654，
∴折痕MN的长为654．
故答案为：654．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，灵活利用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AD=32AB，E为AD中点，以AE为半径，在矩形外作半圆，连接BE，并延长交半圆于点F，连接AF，CF，DF，则tan∠DCF＝ 316 ．
【分析】过点F作FN∥AB交BC于点N，交AD于点M，设AB＝2a，则AD＝3a依题意得EF＝EA＝1.5a，AD∥BC，AB∥CD，BC＝AD＝3a，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝2.5a，证明△FME和△BAE相似，由相似三角形性质得证明四边形ABNM是矩形得BN＝AM＝2.4a，MN＝AB＝2a，∠FNB＝90°，进而得CN＝BC﹣BN＝0.6a，FN＝FM+MN＝3.2a，证明△FNC是直角三角形，然后在Rt△FNC中，由正切函数的定义得tan∠CFN=CNFN=316，再证明∠DCF＝∠CFN，继而可得tan∠DCF的值．
【解答】解：过点F作FN∥AB交BC于点N，交AD于点M，如图所示：
∴AD=32AB，
∴设AB＝2a，则AD＝3a，
∵点E为AD中点，
∴EA＝1/2AD＝1.5a，
依题意得：EF＝EA＝1.5a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，AB∥CD，BC＝AD＝3a，
∴△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=AB2+AE2=(2a)2+(1.5a)2=2.5a，
∵FN∥AB
∴△FME∽△BAE，
∴FMAB=EMEA=EFBE，
∴FM2a=EM1.5a=，
∴FM＝1.2a，EM＝0.9a，
∴AM＝AE+EM＝1.5a+0.9a＝2.4a，
∵FN∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∴∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2.4a，MN＝AB＝2a，∠FNB＝90°，
∴CN＝BC﹣BN＝3a﹣2.4a＝0.6a，FN＝FM+MN＝1.2a+2a＝3.2a，
∵∠FNC＝180°﹣∠FNB＝90°，
∴△FNC是直角三角形，
在Rt△FNC中，tan∠CFN=CNFN=，
∵FN∥AB，AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠DCF＝∠CFN，
∴tan∠DCF=316．
故答案为：316．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理及锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）（π﹣3.14）0﹣tan2•30°+3﹣1﹣|﹣2|；
（2）x2−xx2−4x+4÷(1+2x−2)．
【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后进行二次根式的混合运算；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣（33）2+13−2
＝1−13+13−2
＝﹣1；
（2）原式=x(x−1)(x−2)2÷x−2+2x−2
=x(x−1)(x−2)2•x−2x
=x−1x−2．
【点评】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．也考查了实数的运算．
18．解不等式组2(x−3)≤x−4x−22＜x，并写出x的所有整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
【解答】解：2(x−3)≤x−4①x−22＜x②，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＞﹣2．
∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
则x的所有整数解为﹣1，0，1，2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19．课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，_____．
求证：BC＝CD．
请在空格处添加条件并证明．
你支持 小明或小丽 （填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程．
【分析】小明和小丽的观点都正确，对于小明，当添加∠ABC＝∠ADC时，连接BD，由AB＝AD得∠ABD＝∠ADB，进而得∠CBD＝∠CDB，再根据对角对等边即可得出结论；
对于小丽，当添加∠B＝∠D时，因此不能判定△ABC和△ADC全等，就得不出BC＝CD的结论，当添加∠B＝∠D＝90°时，可得△ABC和△ADC都是直角三角形，进而依据“HL”可判定Rt△ABC和Rt△ADC全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：小明和小丽的观点都正确，对于小明，
当添加∠ABC＝∠ADC时，连接BD，如图所示：
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD；
对于小丽，
当添加∠B＝∠D＝90°时，
∵∠B＝∠D＝90°
∴△ABC和△ADC都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
AB=ADAC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC＝CD．
故答案为：小丽．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形点的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形点的判定和性质是解决问题的关键．
20．“身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查．
学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题．
（1）随机抽查了 130 名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是 144 °；
（2）估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数；
（3）基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议．
【分析】（1）从条形图求和得到抽查总人数，用1减去其余项目占比求出球类占比，再乘360°算出对应圆心角；
（2）先求出抽查里运动不少于2小时人数的占比，再用全校总人数乘该占比，估算对应学生数量；
（3）结合学生偏爱球类、部分学生运动时长不足的数据，从丰富球类活动、督促增加运动时长提建议．
【解答】解：（1）由条形图人数相加：10+10+30+20+60＝130名，
1﹣30%﹣10%﹣20%＝40%，
球类对应圆心角：
360°×40%＝144°，
故答案为：130；144；
（2）抽查中每天活动不少于2小时有60人：
780×60130=360人，
答：该校每天参加体育活动时间不少于2小时的学生约有360人；
（3）多开设球类体育课程与课外球类活动，满足大部分学生的运动喜好；
督促体育活动时长不足2小时的学生增加日常体育锻炼，落实每天不少于2小时的运动要求．
【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，方差以及利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键．
21．【发现】
数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除．
证明过程如下：整数m为偶数时，设m＝2n（其中n为整数），
m2＝（2n）2＝4n2，
因为n2是整数，
所以m2能被4整除．
【类比】
探究奇数的平方被4除所得余数的情况．
小明通过举例发现：（1）奇数的平方被4除余数为 1 ．
证明过程如下：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数），
…
（2）请补全证明过程．
【应用】
（3）小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．
（注：整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0）
【分析】（1）举例得出结论；
（2）设m＝2n+1（其中n为整数），则m2＝（2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1，然后得出结论；
（3）根据Δ＝b2﹣4ac，分b为偶数和b为奇数，由（1）（2）得出结论．
【解答】解：（1）∵32＝9，9÷4＝；
52＝25，25÷4＝；
72＝49，49÷4＝；
...，
∴奇数的平方被4除余数为1，
故答案为：1；
（2）证明：整数m为奇数时，设m＝2n+1（其中n为整数），
∴m2＝（2n+1）2
＝4n2+4n+1
＝4（n2+n）+1，
∵n为整数，
∴n2+n为整数，
∴m2被4除余1；
（3）小红计算结果不正确，理由：
∵整系数一元二次方程是指关于x的方程ax2+bx+c＝0，其中a，b，c均为整数，且a≠0，
∴Δ＝b2﹣4ac，
当b为偶数时，b2能被4整除，4ac也能被4整除；
当b为奇数时，b2能被4整除余1，4ac能被4整除，即b2﹣4ac被4除余1；
∴2026÷4＝，即2026被4除余2，不符合上述情况，
∴小红计算结果不正确．
【点评】本题考查根的判别式，以及归纳猜想，关键是分情况讨论．
22．如图，四边形ABCD内接于以对角线BD为直径的圆，AC＝BC，过点C与AD平行的直线交BD于点E，交AB于点F．
（1）求证：BE＝DE．
（2）若AB＝6，BC＝5，求△ACD的面积．
【分析】（1）根据题意，得出AD∥EF，再结合AC＝BC及CF⊥BA得出点F为AB中点，据此得出点E为BD中点即可；
（2）根据题意，求出该圆的半径，据此得出AD的长，连接DF，将△ACD的面积转化为△AFD的面积即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BD为该圆的直径，
∴∠BAD＝90°．
∵CF∥AD，
∴∠BFE＝∠BAD＝90°，
即CF⊥AB．
∵AC＝BC，
∴BF＝AF．
又∵CF∥AD，
∴BEED=BFAF=1，
∴BE＝DE；
（2）解：∵AB＝6，
∴BF=12AB=3．
在Rt△BCF中，
CF=52−32=4．
∵BE＝DE且BD为圆的直径，
∴点E为该圆的圆心．
令该圆的半径为r，
则EC＝BE＝r，
∴EF＝4﹣r．
在Rt△BEF中，
32+（4﹣r）2＝r2，
解得r=258，
∴BD＝2r=254，
∴AD=(254)2−62=74．
连接DF，
∴S△ADF=12×74×3=218．
∵AD∥CF，
∴S△ACD=S△ADF=218．
【点评】本主要考查了圆周角定理、平行线的性质及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理及平行线的性质是解题的关键．
23．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）．
（1）求a与b的关系式．
（2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的对称性求解即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求解即可．
【解答】≤解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1），
∴−b2a=0+22=1，
∴b＝﹣2a；
（2）由（1）可知y＝ax2﹣2ax﹣1，
∵a＜0，对称轴为直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤4时，x＝1时，函数y有最大值为a﹣2a﹣1＝﹣a﹣1，x＝4时，y有最小值为16a﹣8a﹣1＝8a﹣1，
∵最大值与最小值之差为9，
∴﹣a﹣1﹣（8a﹣1）＝9，
∴a＝﹣1；
（3）由（2）知y＝﹣x2+2x﹣1，对称轴x＝1
x＜1，n＞m，x≥1，n≤m，x＝1，y＝0
∵点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，
t≥1
∴m＝﹣t2+2t﹣1，n＝﹣（t+1）2+2（t+1）﹣1＝﹣t2，
∵﹣9＜n≤m，
∴﹣9＜n≤m≤0
∴﹣9＜﹣t2≤﹣t2+2t﹣1≤0，
−3＜t＜3t≥12又t≥1
解得1≤t＜3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC=23，∠DAB＝60°，P是射线AD上一点，连接BP，△BPQ与△BPA关于BP对称．
（1）求AB的长．
（2）当BQ⊥AB时，求证：PQ∥AC．
（3）如图2，当直线PQ与AC相交时，记交点为E．
①当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，求AP的长．
②连接BE，当BE取得最小值时，求AE的长．
【分析】（1）连接BD交AC于O，证明 AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA=OC=3，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，进一步可得答案．
（2）记BQ与AC的交点为K，证明∠AKB＝60°，结合对折可得：∠Q＝∠DAB＝60°，可得∠AKB＝∠Q，从而可得结论；
（3）①记BQ与AD的交点为T，PQ与AB的交点为R，当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，证明△PBR≌△PBT（AAS），可得PT＝PR，设AR＝m，则AP＝2m，PR=AP2−AR2=3m，再进一步求解即可；②如图，作E关于PB的对称点N，连接BN，证明△PBR≌△PBT（AAS），可得PR＝PT，E的对称点N在PT上，BN＝BE，当BN⊥AD时，BN最小，BE最小，进一步可求解，如图，当P在D的上方时，作E关于PB的对称点N，连接BN，同理可得：此时BE=BN=3时最小，过E作EM⊥CB于M，设EM＝n，进一步同法可得答案．
【解答】（1）解：如图，连接BD交AC于O，
∵在菱形ABCD中，对角线AC=23，∠DAB＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC=3，△ABD是等边三角形，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，
∴AB=AOcs30°=332=2；
（2）证明：如图，记BQ与AC的交点为K，
∵BQ⊥AB，
∴∠ABK＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠AKB＝60°，
由对折可得：∠Q＝∠DAB＝60°，
∴∠AKB＝∠Q，
∴PQ∥AC；
（3）解：①记BQ与AD的交点为T，PQ与AB的交点为R，
当点P在边AD上，且PQ⊥AB时，
∴∠QPT＝∠APR＝90°﹣60°＝30°，
由对折可得：∠PQB＝∠PAB＝60°，∠ABP＝∠QBP，
∴∠PTQ＝90°＝∠PTB＝∠PRB，
∵△ABD为等边三角形，
∴AT=DT=12AD=12AB=1，
∵BP＝BP，
∵∴△PBR≌△PBT（AAS），
∴PT＝PR，
设AR＝m，则AP＝2m，PR=AP2−AR2=3m，
∴PT=PR=3m，
∴2m+3m=1，
解得：m=2−3，
∴AP=2m=4−23；
②如图，作E关于PB的对称点N，连接BN，
结合①同理可得：∠PQB＝∠PAB＝60°，∠QPT＝∠APR，∠PBQ＝∠PBA，
∵∠BTP＝∠PQB+∠QPT，∠PRB＝∠PAB+∠APR，
∴∠PTB＝∠PRB，
∵PB＝PB，
∴△PBR≌△PBT（AAS），
∴PR＝PT，E的对称点N在PT上，BN＝BE，
∴当BN⊥AD时，BN最小，BE最小，
此时BE＝BN＝AB•cs30°=3，
过E作EM⊥AB于M，
设EM＝n，而∠CAB＝30°，
∴AE＝2n，AM=3n，
∴BM=2−3n，
∴n2+(2−3n)2=(3)2，
解得：n=3+22（舍去），或n=3−22，
∴AE=2n=3−2；
如图，当P在D的上方时，作E关于PB的对称点N，连接BN，
同理可得：此时BE=BN=3时最小，
过E作EM⊥CB于M，
设EM＝n，同理可得：CE=3−2，
此时AE=AC−CE=23−(3−2)=3+2，
综上：当BE取得最小值时，AE的长为3−2或3+2．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质．
名称
甲烷
乙烷
丙烷
丁烷
结构式
小明：“添加∠B＝∠D，就可以证明BC＝CD．”
小丽：“要添加∠B＝∠D＝90°才可以证明．”
调查问卷
1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选）
A．田径类
B．体操类
C．球类
D．其他类
2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？
名称
甲烷
乙烷
丙烷
丁烷
结构式
（x，y）
2
3
4
5
6
7
8
2
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
（2，7）
（2，8）
3
（3，2）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
（3，7）
（3，8）
4
（4，2）
（4，3）
（4，5）
（4，6）
（4，7）
（4，8）
5
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，6）
（5，7）
（5，8）
6
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，7）
（6，8）
7
（7，2）
（7，3）
（7，4）
（7，5）
（7，6）
（7，8）
8
（8，2）
（8，3）
（8，4）
（8，5）
（8，6）
（8，7）
小明：“添加∠B＝∠D，就可以证明BC＝CD．”
小丽：“要添加∠B＝∠D＝90°才可以证明．”
调查问卷
1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选）
A．田径类
B．体操类
C．球类
D．其他类
2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？