2027届高考数学一轮总复习素能培优(12)球与几何体的切、接问题【课件】

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球的切、接问题是历年高考的热点内容,经常以客观题形式出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题,考查球的体积与表面积,其关键点是确定球心.解题时既要运用多面体、旋转体的知识,又要运用球的几何性质,要特别注意寻找多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系.
题型一　几何体的外接球
解析 根据三棱锥P-ABC的特征,把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处,三棱锥的外接球就是长方体的外接球.
(3)(墙角模型)(2025·湖南长沙期末)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA,PB,PC两两垂直,PA=PC=2,PB=1,则球O的表面积为　　　. 
解析 如图所示,将三棱锥P-ABC补形为一个长方体,则球的直径即为长方体体对角线.设外接球的半径为R,则(2R)2=22+22+12=9,故S=4πR2=9π.
规律方法　补形法适用的三种常见三棱锥(1)墙角模型——三条棱两两垂直,如图1;(2)鳖臑模型——四个面都是直角三角形,如图2;(3)对棱相等模型——三组对棱分别相等,如图3.
(2)(2024·广东汕头二模)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=8,AC=6,则球O的表面积为(　　)A.10πB.25πC.50πD.100π
解析 设△ABC外接圆的圆心为O1,三棱锥P-ABC外接球的球心为O,连接AO1,OO1,OA,则OO1⊥平面ABC.
角度4　台体的外接球例4　(1)(2025·福建莆田四模)已知某圆台下底面半径为2,高与上底面半径均为1,则该圆台外接球的表面积是(　　)A.12πB.16πC.20πD.24π
规律方法　台体存在外接球的充要条件是其轴截面为等腰图形(如圆台的轴截面是等腰梯形,正四棱台的对角面是等腰梯形),且外接球的球心必在台体的“轴”(即上、下底面中心的连线,记为“台体轴”)上.
题型二　几何体的内切球
例5　(1)(等体积法)已知正四面体的棱长为12,则其内切球的表面积为(　)A.12πB.16πC.20πD.24π
规律方法　1.内切球等体积法
2.内切球独立截面法(1)画出过球心和切点的大圆的截面图;(2)在截面中,找到和球半径相关的直角三角形;(3)利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径.