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2022高考一轮复习 球与几何体的切接问题
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这是一份2022高考一轮复习 球与几何体的切接问题，共20页。
─、外接球问题
(一 ) 定义法 : 由球的定义确定球心
在空间 , 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等 , 那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心 .
由上述性质 , 可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论 .
结论 1 : 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 .
例 : 长方体的长 , 宽 , 高分别为 3 , 2 , 1 , 其顶点都在球 O 的球面上 , 则球 O 的表面积为
解 : 球的直径是长方体的体对角线 , 所以 ^2 2R= \sqrt{3^{2}+2^{2}+1}= \sqrt{14},S=4 R ^2 = 14 π .
结论 2 : 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 .
结论 3 : 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 .
例 : 已知正三棱柱 ABC - DEF 的底面边长为 2 , 高为 4 , 则该三棱柱的外接球的半径为 ·
解 : 如图 , M , N 为上下底面的外收 , O 为 MN 的中点 , 则 O 为球心 , 故
结论 4 : 正棱锥的外接球的球心在其高上 , 具体位置可通过计算找到 .
结论 5 : 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形 , 则公共斜边的中点就是其外接球的球心 .
例.已知三棱锥 A - BCD 中 , AB = AD = CD = 1 , BC ⊥ CD , 则该三棱锥的外接球的半径为
解 : 如图所示 , △ ABC , △ BCD 均为直角三角形 , O 为 BC 的中点 ,
易知 , О为外接球球心 ,
结论 6 : 一般棱锥外接球球心的找法
寻找底面多边形的外接圆的圆心 M过 M 作底面的垂线 l任选一侧棱 , 取其中点 , 过中点作侧棱的垂面 , 垂面与 I 的交点即为外接圆的圆心
注 , 实际使用中 , 通常在垂线 l 上任设一点 O , 然后利用 O 到各点的距离相等 , 从而确定外接球球心的
( = ) 补形法构造正方体或长方体确定球心
方法一 . 补成棱柱
有两个面是共直角边的三棱锥 , 可补成棱柱
例 : 已知在三棱锥 ABCD 中 , 底面△ BCD 是边长为 3 的等边三角形 , 且 若 AB = 2 ,则三棱锥 A - BCD 外接球的面积是
解 : 易知 , 从而可知 AC ⊥平面 BCD , 补形成棱柱 , 可得
方法二 . 补成长方体或正方体
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 . 以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法 .
途径 1 : 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体 .
途径 2 : 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体 .
途径 3 : 若已知棱锥含有线面垂直关系 , 则可将棱锥补成长方体或正方体 .
途径 4 . 若三棱锥的三个侧面两两垂直 , 则可将三棱锥补成长方体或正方体 .
例 : 已知三棱锥 A - BCD 中 , AB ⊥ BD , AB ⊥ BC , BC ⊥ BD , BC = BD = 2 AB = 4 , 则该三棱锥的外接球的半径为
解 : 如图 , 可知
例 : 已知三棱锥 A - BCD 中 , AB ⊥ BC , BC ⊥ CD , 平面 BCD ⊥平面 ABC , BC = BD = AB = 2 , 则该三棱锥的外接球的半径为
解 . 如图 , 可知
注 : 含有三个直角三形的三棱锥一般均可以补成长方体 :
例 : 已知在三棱锥 P - ABC 中 , 已知 AB = 1 , PA = 2 , AC = 3 , 其外接球的半径为 R
( 1 ) 若 PA ⊥ AB , PA ⊥ AC , AB ⊥ BC , 则 R =
( 2 ) 若 PA ⊥ AB , PA ⊥ PC , AB ⊥ BC , 则 R=
( 3 ) 若 PA ⊥ AB , PA ⊥ AC , AB ⊥ AC , 则 R =
解 : 如图 , 可知
(三 ) 由性质确定球心
利用球心 O 与截面圆圆心 O _1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质 , 确定球心 .
例 : 已知球 O 的半径为 R , A , B , C 三点在球 O 的球面上 , 球心 O 到平面 ABC 的距离为 , 则球 O 的表面积为
解 : 如图 , 在直角三角形 OAM 中 , 可得, 即
R = 4 ,于是表面积为
二、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 , 则称这个多面体是这个球的外切多面体 , 这个球是这个
多面体的内切球 .
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等 , 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 .
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 .
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 , 但不一定重合 .
4、体积分割是求内切球半径的通用做法 .
例 : 已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O ( 重量忽略不计 ) , 现从该三棱锥顶端向内注水 , 小球慢慢上浮 , 若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时 , 小球与该三棱锥各侧面均相切 ( 与水面也相切 ) 则小球的表面积等于
对应练习 .
Ⅰ已知△ ABC 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上 , 球心 O 到平面 ABC 的距离为 ,则球 O 的体积是
2在三棱锥 A - BCD 中 , 平面 ACD ⊥平面 ABC , 且△ ACD . △ ABC 均是边长为 6 的正三角形 , 则该三棱锥的外接球的表面积为
3已知四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上 , M 为 AB 的中点 , Δ ABC , Δ ABD , Δ CDM 都是正三角形 , 若 AB = 6 , 则球 O 的表面积为
4已知侧棱和底面边长均为的正三棱锥 A - DBC 的四个顶点在同一球面上 , 则该球的表面积为
5已知正三棱柱 ABC - DEF 的顶点 DEF 在同一球面上 , 且平面 ABC 经过球心若此球的表面积为 4 π ,则该三棱柱的侧面积的最大值为
6已知一个正六棱锥的底面边长为高为 2 , 则该正六棱锥的外接球的表面积为
7已知直三棱柱 ABCDEF 的全部顶点在都在球 O 的球面上 , 若 AB = 3 , ACA , AB ⊥ AC . AD = 12 . 则球 O 的表面积为
8如图 , 三棱锥 P -4 BC 的底面 ABC 是边长为的正三角形 , 侧棱 PA ⊥底面 ABC , 且 PA = 3 , 则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面积为
9已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 . SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA ⊥平面 CB , SA = AC ,SB = BC , 三棱锥 S - ABC 的体积为 9 , 则球 O 的表面积为
10已知圆柱的高为 1 , 它的两底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上 , 则该圆柱的体积为
11已知三棱锥 P -4 BC 中 , AB = BC , AB ⊥ BC 点 P 在底面△ ABC 的射影为 AC 的中点 , 若该三棱锥的体积为 , 那么当该三棱锥的外接球体积最小时 , 该三棱锥的高为
12若一个半球的内接正四棱锥的体积为, 则该半球的体积为
13在三棱锥 S-ABC 中 , 底面 ABC 是等腰直角三角形 , 斜边 BC = 2 , SA⊥平面 ABC , S = 1 , 若这个几何体的顶点都在球 O 的表面上 , 则球 O 的表面积是
14已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点在某球面上 , PC 为该球的直径 , △ ABC 是边长为 4 的等边三角形 ,三棱锥 P - ABC 的体积为 , 则此三棱锥的外接球的表面积为
15如图 , 在四棱锥 CABOD 中 , CO ⊥平面 ABOD , ABMOD , OB ⊥ OD , ,AB=2OD=6, 异面直线 CD 与 AB 所成的角为 点 OBCD 都在同一个球面上 , 则该球的表面积为
16 已知正三棱柱 ABC - ABC 的所有棱长均相等 , 且外接球的体积为,则三棱柱的表面积为
,
17四棱锥 S - ABCD 中 , 底面 ABCD 为长方形 , AB = 4 , BC = 3 , 平面 SAB ⊥平面 ABCD , ,则该四棱锥的外接球的表面积为
18已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 , 若 SC ⊥ AC , SC ⊥ BC , SC = AB = AC = 1 , ,则球 O 的表面积为
19已知三棱锥 A - BCD 中 , AB=AC=BC=2, 点 E 是 BC 的中点 , 点 A 在平面 BCD 内的射影恰好为 DE 的中点 , 则该三棱锥外接球的表面积为
20正四棱锥的顶点都在同一球面上 . 若该棱锥的高为 4 , 底面边长为 2 , 则该球的表面积为
21已知正四棱锥 O - ABCD 的体积为, 底面边长为, 则以 O 为球心 , OA 为半径的球的表面积为
22在正三棱锥 S - ABC 中 , M , N 分别是 SC , BC 的中点 , 且 MN ⊥ AM , 若侧棱 , 则正三棱锥S - ABC 外接球的表面积是
23已知三棱锥 P 一 ABC 的四个顶点均在同一个球面上 , 底面 Δ ABC 满足 BA=BC= , 若该三棱锥体积的最大值为 3 , 则其外接球的体积为
1
解 : △ ABC 是等边三角形 , 所以球心 O 在底面的射影是△ ABC 的中心 O' 、
点 OO ' A 是直角三角形 , 满足 解得, R = 2 ,
,
2 60
解 : 如图 , M 为 AC 中点 , 易证平面 BMD ⊥平面 ABC , 平面 BMD ⊥平
面 ADC , P , Q 分别为△ ACD , △ ABC 的外心 , 过 P , Q 作相应平面的垂线 , 交于点 O 连接 AO , 在直角三角形 AOP中 , 可计算出
3 52
解 . 如图 , M 为 AB 中点 , 易证平面 CMD ⊥平面 ABD , 平面 CMD ⊥平面 ABC , P , Q 分别为△ ABD , △ ABC 的外心 , 过 P , Q 作相应平面的垂线 , 交于点 O : 计算时 , 将平面 CMD 提出来 , 易知 PD = 2 PM ,QC = 2 QM , ∠ PMO = ∠ CMO , 连接 DO , 在直角三角形 DOP 中 , 可计算出
4 18
解 : 方法一 . 正四面体的外接球方 法二 . 放入正方体中
5
解 : 如图 , 在直角三角形 OFC 中 , ,
由 故 .
6 9
解 : 设外接球半径为为 R , OM = 2 . R , 则在直角三角形 OMB 中 ,可计算出 代入计算可得,
7 169
解 : 如图 , 取 BC , NE 的中点 M , N , 易知 AM= \frac{5}{2} 在直角三角形 OMA 中 , , 计算可得 R ,
6题 7题
8 25
解 :
方法一 . 补形成棱柱
如图 , 取上下底面的外心 M , N , 连接 MN , 取 MN 的中点 O , 则 O 即为球心在直角三角形 OMA 中 , 可得
方法二 . 定义法
如图 , 取底面的外心 M , 则过 M 作平面 ABC 的垂线 MO , 取点 O 使得 P
OP = 0A , 则 O 即为球心。设 OM = h , OA = R , AM = 2 , 在直角三角形 OMA 中 ,
过 O 作 ON ⊥ AP , 在直角三角形 ONP 中 , , 联立可得 ,
9 36
解 , 由题意 , AS = AC , 则 A 在 SC 的中垂线上 , B 在 SC 的中垂线上 ,
从而易知 AOB 所在的平面为过球心的大圆面 , =
, 于是表面积 S = 36 π
10
解 , 如图 , 在直角三角形 OAM 中 , , 从而
11 3
解 : 如图 , 由题意 , 可知△ ABC 为等腰直角三角形 , D 为 AC 的中点 , 连接 PD , 则 PD ⊥平面 ABC , 连接 BD , 在 PD 上取点 O , 连接 BO , BD , 使得 BO = PO , 则 O 为球心 .
设 AB = a , PD = h , 则 , 即,在直角三角形 OBD 中 , ，OB = R , 则有 ,
当且仅当 即 h = 3 时 , 等号成立
12 5
解 , 设边长为 a , 在在直角三角形 POB 中 , R= V=
13 5 解 . 补形成正方体
14解 : 如图 , 设 M 为底面三角形的外心 , 取 PC 的中点 O , 连接 OM ,则易知 OM ⊥平面 ABC ,由题意 , , 得 , 从而可得, 又
故 表面积为
15 21
解如图 , 可计算得 BO=3,OD=3, 被形成长方体 , 可计算得
.
16
解如图 , O 为球心 , 设边长为 a , 则 AM 又因为 , 则 ﹐
17 25
如图 , 补形成棱柱 , 易知△ SAB 为直角三角形 , O 为球心 ,
可知﹐ ﹐故表面积为
18 5
解 : 如图 , 补形成棱柱 , M , N 为上下底面的外心 , O 为中点 , 则 O为球心 . 在底面△ CAB 中 , , 则易知, 从而 MC = 1 , 故 ,
19
解 : 如图 , 可知 , AE ⊥平面 BCD , O 是△ CAB 的外心 , 由底面△BCD是直角三角形 , 则 O 是球心 , , 从而表面积为
20
解 : 如图 , 由题意知 , 球心在正四棱锥的高上 , 设球的半径为 R , 则 , 则
21 24
解底面中心为 E , 则 ∵体积
. 从而以 O 为球心 , OA 为半径的球的表面积
22
解 : 取 AC 的中点为 D 连结 BD , SD , 知 BD ⊥ AC , SD ⊥ AC , ∴ AC ⊥平面 BDS ,
∴ AC ⊥ BS , 又 MN ⊥ AM , ∴ BS ⊥ AM , ∴ BS ⊥平面 ACS , 由 S - ABC 是正三棱
锥知 BS , AS , CS 两两垂直 , 则 , ∴, ∴
23．
解 : 在△ ABC 是等腰直角三角形 , 所以外接圆的半径是 r , 设外接球
的半径是 R , 球心 O 到该底面的距离 d , 如图 , 则 S △ ABC = 3 ,
由题设, 最大体积对应的高为 SD = h = 3 , 故
解之得 R = 2 , 所以外接球的体积是 ,
─、外接球问题
(一 ) 定义法 : 由球的定义确定球心
在空间 , 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等 , 那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心 .
由上述性质 , 可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论 .
结论 1 : 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 .
例 : 长方体的长 , 宽 , 高分别为 3 , 2 , 1 , 其顶点都在球 O 的球面上 , 则球 O 的表面积为
解 : 球的直径是长方体的体对角线 , 所以 ^2 2R= \sqrt{3^{2}+2^{2}+1}= \sqrt{14},S=4 R ^2 = 14 π .
结论 2 : 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点 .
结论 3 : 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 .
例 : 已知正三棱柱 ABC - DEF 的底面边长为 2 , 高为 4 , 则该三棱柱的外接球的半径为 ·
解 : 如图 , M , N 为上下底面的外收 , O 为 MN 的中点 , 则 O 为球心 , 故
结论 4 : 正棱锥的外接球的球心在其高上 , 具体位置可通过计算找到 .
结论 5 : 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形 , 则公共斜边的中点就是其外接球的球心 .
例.已知三棱锥 A - BCD 中 , AB = AD = CD = 1 , BC ⊥ CD , 则该三棱锥的外接球的半径为
解 : 如图所示 , △ ABC , △ BCD 均为直角三角形 , O 为 BC 的中点 ,
易知 , О为外接球球心 ,
结论 6 : 一般棱锥外接球球心的找法
寻找底面多边形的外接圆的圆心 M过 M 作底面的垂线 l任选一侧棱 , 取其中点 , 过中点作侧棱的垂面 , 垂面与 I 的交点即为外接圆的圆心
注 , 实际使用中 , 通常在垂线 l 上任设一点 O , 然后利用 O 到各点的距离相等 , 从而确定外接球球心的
( = ) 补形法构造正方体或长方体确定球心
方法一 . 补成棱柱
有两个面是共直角边的三棱锥 , 可补成棱柱
例 : 已知在三棱锥 ABCD 中 , 底面△ BCD 是边长为 3 的等边三角形 , 且 若 AB = 2 ,则三棱锥 A - BCD 外接球的面积是
解 : 易知 , 从而可知 AC ⊥平面 BCD , 补形成棱柱 , 可得
方法二 . 补成长方体或正方体
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处 . 以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法 .
途径 1 : 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体 .
途径 2 : 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体 .
途径 3 : 若已知棱锥含有线面垂直关系 , 则可将棱锥补成长方体或正方体 .
途径 4 . 若三棱锥的三个侧面两两垂直 , 则可将三棱锥补成长方体或正方体 .
例 : 已知三棱锥 A - BCD 中 , AB ⊥ BD , AB ⊥ BC , BC ⊥ BD , BC = BD = 2 AB = 4 , 则该三棱锥的外接球的半径为
解 : 如图 , 可知
例 : 已知三棱锥 A - BCD 中 , AB ⊥ BC , BC ⊥ CD , 平面 BCD ⊥平面 ABC , BC = BD = AB = 2 , 则该三棱锥的外接球的半径为
解 . 如图 , 可知
注 : 含有三个直角三形的三棱锥一般均可以补成长方体 :
例 : 已知在三棱锥 P - ABC 中 , 已知 AB = 1 , PA = 2 , AC = 3 , 其外接球的半径为 R
( 1 ) 若 PA ⊥ AB , PA ⊥ AC , AB ⊥ BC , 则 R =
( 2 ) 若 PA ⊥ AB , PA ⊥ PC , AB ⊥ BC , 则 R=
( 3 ) 若 PA ⊥ AB , PA ⊥ AC , AB ⊥ AC , 则 R =
解 : 如图 , 可知
(三 ) 由性质确定球心
利用球心 O 与截面圆圆心 O _1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质 , 确定球心 .
例 : 已知球 O 的半径为 R , A , B , C 三点在球 O 的球面上 , 球心 O 到平面 ABC 的距离为 , 则球 O 的表面积为
解 : 如图 , 在直角三角形 OAM 中 , 可得, 即
R = 4 ,于是表面积为
二、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 , 则称这个多面体是这个球的外切多面体 , 这个球是这个
多面体的内切球 .
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等 , 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 .
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 .
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 , 但不一定重合 .
4、体积分割是求内切球半径的通用做法 .
例 : 已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O ( 重量忽略不计 ) , 现从该三棱锥顶端向内注水 , 小球慢慢上浮 , 若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时 , 小球与该三棱锥各侧面均相切 ( 与水面也相切 ) 则小球的表面积等于
对应练习 .
Ⅰ已知△ ABC 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上 , 球心 O 到平面 ABC 的距离为 ,则球 O 的体积是
2在三棱锥 A - BCD 中 , 平面 ACD ⊥平面 ABC , 且△ ACD . △ ABC 均是边长为 6 的正三角形 , 则该三棱锥的外接球的表面积为
3已知四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上 , M 为 AB 的中点 , Δ ABC , Δ ABD , Δ CDM 都是正三角形 , 若 AB = 6 , 则球 O 的表面积为
4已知侧棱和底面边长均为的正三棱锥 A - DBC 的四个顶点在同一球面上 , 则该球的表面积为
5已知正三棱柱 ABC - DEF 的顶点 DEF 在同一球面上 , 且平面 ABC 经过球心若此球的表面积为 4 π ,则该三棱柱的侧面积的最大值为
6已知一个正六棱锥的底面边长为高为 2 , 则该正六棱锥的外接球的表面积为
7已知直三棱柱 ABCDEF 的全部顶点在都在球 O 的球面上 , 若 AB = 3 , ACA , AB ⊥ AC . AD = 12 . 则球 O 的表面积为
8如图 , 三棱锥 P -4 BC 的底面 ABC 是边长为的正三角形 , 侧棱 PA ⊥底面 ABC , 且 PA = 3 , 则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面积为
9已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 . SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA ⊥平面 CB , SA = AC ,SB = BC , 三棱锥 S - ABC 的体积为 9 , 则球 O 的表面积为
10已知圆柱的高为 1 , 它的两底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上 , 则该圆柱的体积为
11已知三棱锥 P -4 BC 中 , AB = BC , AB ⊥ BC 点 P 在底面△ ABC 的射影为 AC 的中点 , 若该三棱锥的体积为 , 那么当该三棱锥的外接球体积最小时 , 该三棱锥的高为
12若一个半球的内接正四棱锥的体积为, 则该半球的体积为
13在三棱锥 S-ABC 中 , 底面 ABC 是等腰直角三角形 , 斜边 BC = 2 , SA⊥平面 ABC , S = 1 , 若这个几何体的顶点都在球 O 的表面上 , 则球 O 的表面积是
14已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点在某球面上 , PC 为该球的直径 , △ ABC 是边长为 4 的等边三角形 ,三棱锥 P - ABC 的体积为 , 则此三棱锥的外接球的表面积为
15如图 , 在四棱锥 CABOD 中 , CO ⊥平面 ABOD , ABMOD , OB ⊥ OD , ,AB=2OD=6, 异面直线 CD 与 AB 所成的角为 点 OBCD 都在同一个球面上 , 则该球的表面积为
16 已知正三棱柱 ABC - ABC 的所有棱长均相等 , 且外接球的体积为,则三棱柱的表面积为
,
17四棱锥 S - ABCD 中 , 底面 ABCD 为长方形 , AB = 4 , BC = 3 , 平面 SAB ⊥平面 ABCD , ,则该四棱锥的外接球的表面积为
18已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上 , 若 SC ⊥ AC , SC ⊥ BC , SC = AB = AC = 1 , ,则球 O 的表面积为
19已知三棱锥 A - BCD 中 , AB=AC=BC=2, 点 E 是 BC 的中点 , 点 A 在平面 BCD 内的射影恰好为 DE 的中点 , 则该三棱锥外接球的表面积为
20正四棱锥的顶点都在同一球面上 . 若该棱锥的高为 4 , 底面边长为 2 , 则该球的表面积为
21已知正四棱锥 O - ABCD 的体积为, 底面边长为, 则以 O 为球心 , OA 为半径的球的表面积为
22在正三棱锥 S - ABC 中 , M , N 分别是 SC , BC 的中点 , 且 MN ⊥ AM , 若侧棱 , 则正三棱锥S - ABC 外接球的表面积是
23已知三棱锥 P 一 ABC 的四个顶点均在同一个球面上 , 底面 Δ ABC 满足 BA=BC= , 若该三棱锥体积的最大值为 3 , 则其外接球的体积为
1
解 : △ ABC 是等边三角形 , 所以球心 O 在底面的射影是△ ABC 的中心 O' 、
点 OO ' A 是直角三角形 , 满足 解得, R = 2 ,
,
2 60
解 : 如图 , M 为 AC 中点 , 易证平面 BMD ⊥平面 ABC , 平面 BMD ⊥平
面 ADC , P , Q 分别为△ ACD , △ ABC 的外心 , 过 P , Q 作相应平面的垂线 , 交于点 O 连接 AO , 在直角三角形 AOP中 , 可计算出
3 52
解 . 如图 , M 为 AB 中点 , 易证平面 CMD ⊥平面 ABD , 平面 CMD ⊥平面 ABC , P , Q 分别为△ ABD , △ ABC 的外心 , 过 P , Q 作相应平面的垂线 , 交于点 O : 计算时 , 将平面 CMD 提出来 , 易知 PD = 2 PM ,QC = 2 QM , ∠ PMO = ∠ CMO , 连接 DO , 在直角三角形 DOP 中 , 可计算出
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解 : 方法一 . 正四面体的外接球方 法二 . 放入正方体中
5
解 : 如图 , 在直角三角形 OFC 中 , ,
由 故 .
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解 : 设外接球半径为为 R , OM = 2 . R , 则在直角三角形 OMB 中 ,可计算出 代入计算可得,
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解 : 如图 , 取 BC , NE 的中点 M , N , 易知 AM= \frac{5}{2} 在直角三角形 OMA 中 , , 计算可得 R ,
6题 7题
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解 :
方法一 . 补形成棱柱
如图 , 取上下底面的外心 M , N , 连接 MN , 取 MN 的中点 O , 则 O 即为球心在直角三角形 OMA 中 , 可得
方法二 . 定义法
如图 , 取底面的外心 M , 则过 M 作平面 ABC 的垂线 MO , 取点 O 使得 P
OP = 0A , 则 O 即为球心。设 OM = h , OA = R , AM = 2 , 在直角三角形 OMA 中 ,
过 O 作 ON ⊥ AP , 在直角三角形 ONP 中 , , 联立可得 ,
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解 , 由题意 , AS = AC , 则 A 在 SC 的中垂线上 , B 在 SC 的中垂线上 ,
从而易知 AOB 所在的平面为过球心的大圆面 , =
, 于是表面积 S = 36 π
10
解 , 如图 , 在直角三角形 OAM 中 , , 从而
11 3
解 : 如图 , 由题意 , 可知△ ABC 为等腰直角三角形 , D 为 AC 的中点 , 连接 PD , 则 PD ⊥平面 ABC , 连接 BD , 在 PD 上取点 O , 连接 BO , BD , 使得 BO = PO , 则 O 为球心 .
设 AB = a , PD = h , 则 , 即,在直角三角形 OBD 中 , ，OB = R , 则有 ,
当且仅当 即 h = 3 时 , 等号成立
12 5
解 , 设边长为 a , 在在直角三角形 POB 中 , R= V=
13 5 解 . 补形成正方体
14解 : 如图 , 设 M 为底面三角形的外心 , 取 PC 的中点 O , 连接 OM ,则易知 OM ⊥平面 ABC ,由题意 , , 得 , 从而可得, 又
故 表面积为
15 21
解如图 , 可计算得 BO=3,OD=3, 被形成长方体 , 可计算得
.
16
解如图 , O 为球心 , 设边长为 a , 则 AM 又因为 , 则 ﹐
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如图 , 补形成棱柱 , 易知△ SAB 为直角三角形 , O 为球心 ,
可知﹐ ﹐故表面积为
18 5
解 : 如图 , 补形成棱柱 , M , N 为上下底面的外心 , O 为中点 , 则 O为球心 . 在底面△ CAB 中 , , 则易知, 从而 MC = 1 , 故 ,
19
解 : 如图 , 可知 , AE ⊥平面 BCD , O 是△ CAB 的外心 , 由底面△BCD是直角三角形 , 则 O 是球心 , , 从而表面积为
20
解 : 如图 , 由题意知 , 球心在正四棱锥的高上 , 设球的半径为 R , 则 , 则
21 24
解底面中心为 E , 则 ∵体积
. 从而以 O 为球心 , OA 为半径的球的表面积
22
解 : 取 AC 的中点为 D 连结 BD , SD , 知 BD ⊥ AC , SD ⊥ AC , ∴ AC ⊥平面 BDS ,
∴ AC ⊥ BS , 又 MN ⊥ AM , ∴ BS ⊥ AM , ∴ BS ⊥平面 ACS , 由 S - ABC 是正三棱
锥知 BS , AS , CS 两两垂直 , 则 , ∴, ∴
23．
解 : 在△ ABC 是等腰直角三角形 , 所以外接圆的半径是 r , 设外接球
的半径是 R , 球心 O 到该底面的距离 d , 如图 , 则 S △ ABC = 3 ,
由题设, 最大体积对应的高为 SD = h = 3 , 故
解之得 R = 2 , 所以外接球的体积是 ,
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