专题03 面向量初步 2025-2026高中数学必修二高一下期末复习专题讲义（人教版2019B）

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知识点一、向量的概念及表示
1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.表示:
（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
知识点二、向量间的关系
1.平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作.
知识点三、向量的线性运算
1.向量的加法
三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和
,
规定：零向量与任意向量的和,都有
运算律：①交换律：；②结合律：
2.相反向量
1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量,
3.性质：①；②若互为相反向量,则；
③的相反向量是
3.向量的减法
1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2.运算法则:在平面内取一点O,作,则.
3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量；
②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”.
4.向量的数乘运算
1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下:
①;
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，
2.运算律:设为任意实数,则有①；②；
③
特别地,有.
向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有.
知识点四、共线向量定理
1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使.
2.三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得.
知识点五、平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
2.基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
3.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
知识点六、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标.
（4）坐标表示.
（5）特殊向量的坐标:
知识点七、平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量则有下表
平面向量共线的坐标表示
（1）条件: ,其中；
（2）结论:当且仅当时,向量共线.
知识点八、向量线性运算的应用
1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
2.用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
一．平面向量的概念与几何表示（共3小题）
1．下面命题中，正确的是（ ）
A．零向量没有方向B．若|a→|＞|b→|，则a→＞b→
C．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→D．若a→=b→，则a→∥b→
2．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减．已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为（45，25），地速对应的向量为（315，245），则飞行器在该时刻的空速大小约为（单位：km/h）（ ）
A．400B．450C．560D．630
（多选）3．下列说法正确的是（ ）
A．若a→，b→都是单位向量，则a→=b→
B．在四边形ABCD中，若AB→=DC→，则四边形ABCD是平行四边形
C．若|a→|＞|b→|，则a→＞b→
D．若e1→，e2→是平面内的一组基底，则e1→+e2→和−e2→也能作为一组基底
二．平面向量中的零向量与单位向量（共4小题）
4．下列向量中，与向量a→=（3，4）共线的一个单位向量是（ ）
A．（﹣6，﹣8）B．(−35，−45)C．（8，6）D．(45，35)
5．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量AB→方向相反的单位向量为（ ）
A．(−35，45)B．(35，−45)C．(−45，35)D．(45，−35)
6．以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量a→和b→都是单位向量，则a→=b→
7．与a→=（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 ．
三．平面向量的相等向量（共3小题）
8．已知平面向量a→，b→，则“a→=b→或a→=−b→”是“|a→|＝|b→|”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（ ）
A．OA→+OC→=0→B．|AC→|=|BD→|C．OD→∥BO→D．AB→=CD→
（多选）10．下列结论中错误的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量AB→与向量BA→的长度相等
C．对任意向量a→，a→|a→|是一个单位向量
D．零向量没有方向
四．平面向量的平行向量（共4小题）
11．已知e1→，e2→是同一平面内两个不共线的向量，AB→=2e1→+3ke2→，BC→=4e1→+3e2→，若A，B，C三点共线，则k的值为（ ）
A．−12B．12C．﹣2D．2
12．已知向量OA→=(−3，1)，OB→=(1，−2)，OC→=(x−6，x+5)，若点A，B，C不能构成三角形，则x的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
（多选）13．下列关于向量说法，正确的是（ ）
A．对于非零向量a→，b→，c→，若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．若|a→|＞|b→|且a→与b→方向相同，则a→＞b→
C．两个非零向量a→，b→，若|a→−b→|=|a→|+|b→|，则a→与b→共线且反向
D．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a→=λb→
14．（1）已知e1→，e2→是两个不共线的向量，a→=2e1→−e2→，b→=3e1→+ke2→，若a→，b→是共线向量，求k的值．
（2）已知向量AB→=(9，1)，AC→=(m，1)，CD→=(6，0)．若A，B，D三点共线，求m的值．
五．平面向量的加法（共4小题）
15．在如图所示的方格纸中，OP→+OQ→=（ ）
A．OG→B．HO→C．OE→D．FO→
16．在四边形ABCD中，若AC→=AB→+AD→，则（ ）
A．四边形ABCD一定是等腰梯形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是直角梯形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
17．点O是△ABC所在平面上一点，且满足OA→+OB→+OC→=0→，则点O为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
18．化简2AB→+2BC→+3CD→+3DA→+AC→= ．
六．平面向量的减法（共4小题）
19．化简AB→−AD→=（ ）
A．AD→B．AC→C．DB→D．CB→
20．如图，在平行四边形ABCD中，AC→−AB→=（ ）
A．CB→B．AD→C．BD→D．CD→
21．下列表达式化简结果与PA→相等的是（ ）
A．AB→+BP→B．PB→+BA→C．BC→+CA→−PA→D．PB→+PC→
22．已知向量a→=（1，5），b→=（0，3），则|a→−b→|＝（ ）
A．3B．5C．3D．5
七．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则（共4小题）
23．OA→−OB→+AC→=（ ）
A．OC→B．BC→C．CB→D．CA→
24．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA，记CA→=a→，CD→=b→，则CB→=（ ）
A．﹣4a→+3b→B．﹣3a→+4b→C．3a→−4b→D．3a→+4b→
（多选）25．给出下面四个推论，其中正确的是（ ）
A．若线段AC＝AB+BC，则向量AC→=AB→+BC→
B．若向量AC→=AB→+BC→，则线段AC＝AB+BC
C．若向量AB→与BC→共线，则线段AC＝AB+BC
D．若向量AB→与BC→反向共线，则|AB→−BC→|＝AB+BC
26．已知D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，求证：AD→+BE→+CF→=0→．
八．平面向量的加减混合运算（共4小题）
27．AB→−AD→+BD→−CD→=（ ）
A．AC→B．DC→C．BC→D．CD→
28．化简：AB→−(DC→−BC→)+DA→=（ ）
A．2AD→B．AD→C．0→D．2DA→
29．化简ME→+EN→−PN→=（ ）
A．MP→B．MN→C．NM→D．PM→
（多选）30．对于任意一个四边形，下列式子能化简为BC→的是 （ ）
A．BA→+AD→+DC→B．BD→+DA→+AC→C．AB→+BD→+DC→D．DC→+BA→+AD→
九．两个平面向量的和或差的模的最值（共4小题）
31．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则|MA→+MB→+2MC→|的最大值是（ ）
A．5B．8C．10D．12
（多选）32．已知向量a→=(csθ，sinθ)，b→=(−3，4)，则（ ）
A．若a→∥b→，则tanθ=−43
B．若a→⊥b→，则sinθ=35
C．|a→−b→|的最大值为6
D．若a→⋅(a→−b→)=0，则|a→−b→|=26
33．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=8，则|a→+b→|的最小值为 ，当且仅当a→与b→的方向 时取得最小值．
34．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AC=2，∠BAC＝45°，则|CB→+2CD→|的最小值为 ．
十．平面向量的数乘与线性运算（共4小题）
35．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→=mAM→，AC→=nAN→，m＞0，n＞0，则1m+9n的最小值为（ ）
A．3B．8C．92D．9
36．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→=mAM→，AC→=nAN→，m＞0，n＞0，则2m+8n的最小值（ ）
A．2B．8C．9D．18
37．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具．如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若BD→=xAC→+yAD→，则xy＝（ ）
A．34B．−34C．32D．−32
38．在平行四边形ABCD中，AF→=14AD→．设AB→=a→，AD→=b→，请用a→，b→表示BF→= ．
十一．平面向量的基底（共4小题）
39．已知向量e1→，e2→是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．{e1→，e1→−e2→}
B．{e1→+e2→，e1→−3e2→}
C．{e1→−2e2→，−3e1→+6e2→}
D．{2e1→+3e2→，2e1→−3e2→}
40．若{e1→，e2→}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．{e1→−2e2→，−e1→+2e2→}
B．{2e1→+e2→，e1→+12e2→}
C．{3e1→+2e2→，6e1→+4e2→}
D．{e1→−2e2→，e1→+3e2→}
（多选）41．下列各组向量中，可以作基底的是（ ）
A．m→=(3，−2)，n→=(4，1)B．m→=(−2，3)，n→=(4，−6)
C．m→=(2，0)，n→=(0，3)D．m→=(−1，3)，n→=(−2，6)
（多选）42．已知{a→，b→}是平面向量的一组基底，能组成平面向量的一组基底的有（ ）
A．{a→−3b→，−a→+3b→}B．{a→+3b→，a→}
C．{a→+b→，a→−2b→}D．{2a→−3b→，4a→−6b→}
十二．用平面向量的基底表示平面向量（共4小题）
43．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB→=2AM→，AC→=4AN→，D在边BC上（不包含端点）．若AD→=xAM→+yAN→，则1x+2y的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
44．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA．记CA→=m→，CD→=n→，则CB→=（ ）
A．3m→−2n→B．−2m→+3n→C．−3m→+4n→D．3m→+2n→
45．设e1→，e2→为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A．e1→+e2→和e1→
B．4e1→+2e2→和e2→
C．2e1→−e2→和e1→−2e2→
D．e1→−2e2→和4e2→−2e1→
46．在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠DAB=π3，E是AB的中点，FD→=2AF→，BG→=23BC→，设AB→=a→，AD→=b→．
（1）用a→，b→表示EF→、EG→；
（2）求EF→与EG→的夹角．
十三．平面向量加减法的坐标运算（共3小题）
47．若OM→=(1，−2)，ON→=(−1，3)，则MN→的坐标为（ ）
A．（0，1）B．（2，﹣5）C．（﹣2，5）D．（2，5）
48．已知向量a→=（﹣2，1），b→=（1，1），则3a→−2b→=（ ）
A．（﹣8，1）B．（﹣4，5）C．（﹣4，1）D．（﹣8，5）
49．已知a→=(3，−1)，b→=(5，2)，则a→−b→为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
十四．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共4小题）
50．已知向量AB→=(5，1)，BC→=(m，9)，CD→=(−8，−5)，若A，B，D三点共线，则m＝（ ）
A．54B．62C．28D．−54
51．如图，已知|OA→|=|OB→|=1，|OC→|=3，OC→⊥OB→，∠AOC=30°，则（ ）
A．OC→=2OA→+OB→B．OC→=2OA→−OB→C．OC→=OA→+OB→D．OC→=OA→+2OB→
52．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若AB→=(2 ， 4)，AC→=(1 ， 3)，则DB→=（ ）
A．（3，5）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣3，﹣5）D．（2，4）
53．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且BD→=13BC→，E为AD的中点，则|BE→|=（ ）
A．34B．136C．32D．3
十五．平面向量共线（平行）的坐标表示（共3小题）
54．已知向量a→=(1，−2)，b→=(2，−3)，c→=(2，x)，若xa→−c→与b→共线，则实数x＝（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
55．已知向量a→=(csα，3)，b→=(sinα，−4)，a→∥b→，则3sinα+csα3sinα的值是（ ）
A．34B．﹣2C．−43D．12
56．已知向量a→=（4，x），b→=（x，1），那么“x＝2”是“a→∥b→”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
十六．平面向量在物理中的应用（共4小题）
57．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝6km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2km/h，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直
B．cs＜v1，v2＞=−14
C．|v|=42km/ℎ
D．该船到达对岸所需时间为3分钟
58．已知两个力F1→，F2→的夹角为π2，它们的合力大小为10N，合力与F1→的夹角为π4，那么F1→的大小为（ ）
A．5NB．52NC．53ND．10N
59．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 m/sB．226m/sC．46m/sD．12 m/s
60．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为 ．
题型1 平面向量的概念与几何表示
题型2 平面向量中的零向量与单位向量
题型3 平面向量的相等向量
题型4 平面向量的平行向量
题型5 平面向量的加法
题型6 平面向量的减法
题型7 平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
题型8 平面向量的加减混合运算
题型9 两个平面向量的和或差的模的最值
题型10 平面向量的数乘与线性运算
题型11 平面向量的基底
题型12 用平面向量的基底表示平面向量
题型13 平面向量加减法的坐标运算
题型14 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
题型15 平面向量共线（平行）的坐标表示
题型16 平面向量在物理中的应用
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知,则