专题01 平面向量及其应用 2025-2026学年高一下高中数学必修二期末专题复习课件（人教A版2019）

这是一份专题01 平面向量及其应用 2025-2026学年高一下高中数学必修二期末专题复习课件（人教A版2019），共112页。PPT课件主要包含了知识剖析，向量的减法运算，向量的数乘运算，向量共线定理，向量的数量积，向量数量积的常用结论，向量数量积的两大应用，平面向量基本定理，平面几何中的向量方法，余弦定理等内容，欢迎下载使用。
知识点4 向量的概念
向量的概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
向量的表示法(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量的表示方法：①字母表示法：如 等.②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段 （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段 表示向量，通常我们就说向量 .
向量的有关概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作 ，它的方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．③非零向量 与 的关系： 是与 同方向的单位向量.
知识点2 相等向量与共线向量
向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定: 与任一向量共线.注：①零向量的方向是任意的，注意 与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
平行向量有关概念的三个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
知识点3 平面向量的线性运算
向量的加法运算(1)向量加法的定义及两个重要法则
向量的加法运算(2)多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
向量加法的运算律(1)交换律： ；(2)结合律： .
平面向量线性运算问题的求解思路：(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
知识点2 向量共线定理
知识点5 向量的数量积
向量的数量积的性质和运算律
知识点6 平面向量基本定理
用平面向量基本定理解决问题的一般思路用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
平面向量的正交分解及坐标表示
知识点7 平面向量的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
平面向量位置关系的坐标表示
平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
知识点8 平面几何中的向量方法
平面几何中的向量方法(1)用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
平面几何中的向量方法(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
知识点9 向量在物理中的应用
力学问题的向量处理方法向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
速度、位移问题的向量处理方法速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
知识点10 余弦定理、正弦定理
余弦定理(1)余弦定理及其推论的表示
解三角形(1)解三角形的概念一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；③已知三边，求三角形的三个角.
对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.
对三角形解的个数的研究
对三角形解的个数的研究(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：
判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
知识点11 测量问题
测量问题(1)测量距离问题的基本类型和解决方案当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
测量问题(2)测量高度问题的基本类型和解决方案当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
测量问题(3)测量角度问题测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　）A．4个B．3个C．2个D．1个
一．平面向量的概念与几何表示
【答案】A【解答】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个．故选：A．
以下选项中，都是向量的是（　　）A．时间、海拔B．质量、位移C．加速度、体积D．浮力、速度
【答案】D【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；浮力和速度既有大小又有方向，是向量．故选：D．
三．平面向量中的零向量与单位向量
四．平面向量的相等向量
【答案】B【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误；B．零向量和任何非零向量共线，B正确；C．平行向量一定是共线向量，C错误；D．向量不能比较大小，D错误．故选：B．
五．平面向量的平行向量
如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（　　）
八．平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则
四．平面向量的加减混合运算
九．两个平面向量的和或差的模的最值
A．5B．8C．10D．12
十．平面向量的数乘与线性运算
十一．平面向量数量积的含义与物理意义
十二．平面向量数量积的性质及其运算
十三．平面向量的投影向量
十四．数量积表示两个平面向量的夹角
十五．数量积判断两个平面向量的垂直关系
十七．用平面向量的基底表示平面向量
十八．平面向量的正交分解及坐标表示
十九．平面向量加减法的坐标运算
二十．平面向量数乘和线性运算的坐标运算
二十一、平面向量数量积的坐标运算
二十二．平面向量在物理中的应用
二十三．平面向量的综合题
二十四．利用正弦定理解三角形
二十五．正弦定理与三角形解的存在性和个数
二十六．正弦定理与三角形的外接圆
二十八．三角形中的几何计算