专题05 概率 2025-2026学年高一下高中数学必修二期末专题复习课件（人教A版2019）

这是一份专题05 概率 2025-2026学年高一下高中数学必修二期末专题复习课件（人教A版2019），共66页。PPT课件主要包含了知识剖析，概率的基本性质，知识点6随机模拟，综合训练，样本点与样本空间，概率的应用等内容，欢迎下载使用。
知识点1 有限样本空间与事件
有限样本空间(1)随机试验我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.(2)有限样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω={ }为有限样本空间.
事件(1)随机事件一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件.
事件的关系和运算(1)两个事件的关系和运算
事件的关系和运算(2)多个事件的和事件、积事件类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生.
样本空间中样本点的求法(1)列举法列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.(2)列表法对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.(3)树状图法树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
用集合观点看事件间的关系
知识点2 古典概型与概率的基本性质
古典概型(1)事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(3)古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型：①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)== ，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
知识点3 事件的相互独立性
事件的相互独立性(1)定义对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质若事件A与B相互独立，则 与B，A与 ， 与 也相互独立.(3)应用因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.(4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An).
知识点4 有限样本空间与事件
互斥事件与相互独立事件的辨析(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：
互斥事件与相互独立事件的辨析(2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
知识点5 频率的稳定性
频率与概率(1)频率与概率的区别
频率与概率(2)频率的特点随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点.①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.
频率与概率(2)频率的特点②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小.③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
频率与概率(3)频率的稳定性(用频率估计概率)大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率 会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率 估计概率P(A).
生活中的概率(1)游戏的公平性在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
生活中的概率(2)天气预报的概率解释天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
随机数的产生(1)随机数的定义随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.(2)产生随机数的方法①利用抽签法产生随机数要产生 之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，……，n放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
随机数的产生②利用计算机或计算器产生伪随机数计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
随机数的产生(3)用随机模拟法估计概率①随机模拟法产生的必要性用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.
随机数的产生②随机模拟法估计概率的思想随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
随机数的产生③随机模拟法的优点不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.④随机模拟法的步骤建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
已知某同学预定的闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间一共（　　）A．5次B．6次C．7次D．8次
【答案】C【解答】解：闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间有6：00，6：20，6：40，7：00，7：20，7：40，8：00共7次．故选：C．
抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是（　　）A．M是不可能事件B．N是必然事件C．M∩N是不可能事件D．M∪N是必然事件
二．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件
【答案】D【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，事件M是点数为1或2，事件N是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，M∩N是点为2，是随机事件，是可能发生的，M∪N是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件．故选：D．
将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（　　）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件
三．事件的并事件（和事件）
【答案】ACD【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以 P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．
在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则A∪B和A∩B中包含的样本点数分别为（　　）A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
四．事件的交事件（积事件）
【答案】C【解答】解：试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个，所以事件A∪B中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个，事件A∩B中所含的样本点为（2，4），共1个．故选：C．
投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（　　）A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件C．A与C是独立事件D．B与C是独立事件
五．事件的互斥（互不相容）及互斥事件
【答案】C【解答】解：投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数，A和B有公共事件：点数为3，∴A和不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；事件AC表示点数为4或6，P(A)=23，P(C)=12，P(AC)=13，∴P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是独立事件，故C正确；事件BC表示点数为2，则P(B)=12，P(C)=12，P(BC)=16，∴P（BC）≠P（B）P（C），∴B与C不是独立事件，故D错误．故选：C．
从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（　　）A．恰好有一件次品与全是次品B．至少有一件次品与全是次品C．至少有一件次品与全是正品D．至少有一件正品与至少有一件次品
六．事件的互为对立及对立事件
【答案】C【解答】解：根据题意，从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，其可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品；依次分析选项：对于A，恰好有一件次品即为一件正品一件次品，所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件，不符合题意；对于B，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件，不符合题意；对于C，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是正品是对立事件，符合题意；对于D，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件，不符合题意．故选：C．
设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（　　）A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D．P（A）+P（B）≤1
七．概率及有包含关系的事件的概率
【答案】C【解答】解：若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；若事件A，B相互独立，且P（A）＞12，P（B）＞12，则P（A）+P（B）＞1，故D错误．故选：C．
已知事件A，B互斥，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.9
八．互斥事件的概率加法公式
【答案】B【解答】解：根据题意，事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5．故选：B．
对于随机事件，下列说法错误的是（　　）A．如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（A）＝1﹣P（B）B．如果事件A与事件B满足A⊆B，那么P（A）≤P（B）C．如果A，B是一个随机试验中的两个事件，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）D．对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么事件A与事件B相互独立
九．对立事件的概率关系及计算
【答案】C【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由对立事件的性质，有P（A）＝1﹣P（B），A正确；对于B，若A⊆B，必有P（A）≤P（B），B正确；对于C，当事件A，B不互斥时，P（AB）＞0，此时P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＜P（A）+P（B），C错误；对于D，对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），由对立事件的定义，事件A与事件B相互独立，D正确．故选：C．
假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（　　）A．0.12B．0.58C．0.7D．0.88
十．并事件积事件的概率关系及计算
【答案】B【解答】解：P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12，故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.3+0.4﹣0.12＝0.58．故选：B．
袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个是事件的概率（　　）A．颜色全相同B．颜色不全同C．颜色全不同D．无红球
十一．等可能事件和等可能事件的概率
【答案】B【解答】解：根据题意，易得有放回地取3次，共3×3×3＝27种情况；由古典概型依次计算四个选项的事件的概率可得：A、颜色全同共三次全部是黄、红、白三种情况，其概率为327=19；B、颜色不全同，与A为对立事件，故其概率为1−19=89；C、颜色全不同，即黄、红、白各有一次，则其概率为3×2×127=29；D、无红球，即三次都是黄、白球，则其概率为2×2×227=827；综合可得：颜色不全同时概率为89；故选：B．
从4名男生和2名女生中任选2人参加座谈会，设事件A为“选中的2人中至少有1名女生”，则P（A）的值为（　　）A．B．C．D．
十二．古典概型及其概率计算公式
十三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为2%，4%，5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的20%，20%，60%，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　）A．0.036B．0.040C．0.042D．0.048
【答案】C【解答】解：根据题意，设事件Ai＝“零件为第i（i＝1，2，3）台车床加工”，事件B＝“零件为次品”，则P（A1）＝20%，P（A2）＝20%，P（A3）＝60%，P（B|A1）＝2%，P（B|A2）＝4%，P（B|A3）＝5%，则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝20%×2%+20%×4%+60%×5%＝0.042，即任取一个零件是次品的概率为0.042．故选：C．
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（　　）A．A与B互斥B．B与C互为对立C．A与B相互独立D．A与C相互独立
十五．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
【答案】D【解答】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其中第一次在前，第二次在后，样本空间Ω如下：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个样本点；依次分析选项：对于A，AB＝{（3，1）}，事件A、B可以同时发生，即事件A、B不互斥，A错误；对于B，事件B、B互斥但不对立，B错误；对于C，A＝{（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）}B＝{（1，3），（2，2），（3，1）}；P（A）=636=16，P（B）=336=112，P（AB）=136，事件A、B不相互独立，C错误；对于D，C＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，AC＝{（3，4）}，P（A）=636=16，P（C）=636=16，P（AC）=136，则A与C相互独立，D正确．故选：D．
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=56×6=536，P（丁）=66×6=16，A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），B：P（甲丁）=136=P（甲）P（丁），C：P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙），D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），故选：B．
已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）A．事件A与B一定是对立事件B．P（A∪B）＝1C．P（AB）＝0.24D．若事件A、B相互独立，则P(AB)=0.16
十六．相互独立事件的概率乘法公式
【答案】D【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，依次分析选项：对于A，A⊆B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；对于D，P（B）＝0.6，则P（B）＝0.4，若事件A、B相互独立，则A与B也相互独立，则有P（AB）＝P（A）P（B）＝0.16，D正确．故选：D．
下列说法正确的是（　　）A．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定
十七．频率及频率的稳定性
【答案】C【解答】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确．频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确．频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确．故选：C．
天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908．由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（　　）A．0.6B．0.7C．0.75D．0.8
十八．模拟方法估计概率