2026年高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数易错易混03函数的概念及其性质(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数易错易混03函数的概念及其性质(复习讲义)(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了易错陷阱·避错攻略等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11478" 01 错点扫描・易错建模夯基石 PAGEREF _Tc11478 \h 1
\l "_Tc1178" 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 PAGEREF _Tc1178 \h 3
\l "_Tc22425" 易错归纳01 抽象函数的定义域理解不当（★★★） PAGEREF _Tc22425 \h 3
\l "_Tc23337" 易错归纳02 换元法求解析式忽略新元范围（★★★） PAGEREF _Tc23337 \h 4
\l "_Tc30853" 易错归纳03 复合函数的单调性忽略定义域（★★★★） PAGEREF _Tc30853 \h 5
\l "_Tc3898" 易错归纳04 分段函数的单调性（★★★★） PAGEREF _Tc3898 \h 5
\l "_Tc2545" 易错归纳05 函数的单调性结合奇偶性（★★★★★） PAGEREF _Tc2545 \h 7
\l "_Tc31677" 易错归纳06 函数的周期性结合对称性（★★★★★） PAGEREF _Tc31677 \h 8
\l "_Tc25908" 易错归纳07 函数性质的综合应用（★★★★★） PAGEREF _Tc25908 \h 10
\l "_Tc29001" 03 实战检测・易错通关验成效 PAGEREF _Tc29001 \h 11
1、基本的函数定义域限制
①分式的分母不为零；
②偶次方根的被开方数大于或等于零：
③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
④零次幂或负指数次幂的底数不为零；
⑤三角函数中的正切的定义域是且；
2、基本初等函数的值域
①的值域是.
②的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
③的值域是.
④且的值域是.
⑤且的值域是.
3、函数解析式的常见求法
法1：配凑法：已知，求的问题，往往把右边的整理或配凑成只含的式子，然后用将代换.
法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可.
法3：换元法：已知，求时，往往可设，从中解出，代入进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.
法4：解方程组法：已知满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如(或)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出．
4、函数周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，则（）；
5、函数对称性的常用结论
（1）轴对称：
①函数关于直线对称
②函数关于直线对称.
（2）中心对称：
①函数关于点对称；
②函数关于点对称
（3）函数的奇偶性和对称性的关系：
①若为奇函数，则关于对称；
②若为偶函数，则关于对称；
③若为奇函数，则关于对称；
④若为偶函数，则关于对称.


易错归纳01 抽象函数的定义域理解不当
【易错陷阱·避错攻略】
1．（24-25高三下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·陕西渭南·月考）已知的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数的定义域为
C．函数的值域为D．函数的值域为

易错归纳02 换元法求解析式忽略新元范围
【易错陷阱·避错攻略】
1．（24-25高三上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，且函数的定义域为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·山东潍坊·开学考试）已知，则 .
5．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知函数在上具有单调性，且，则 .

易错归纳03 求复合函数的单调性忽略定义域
【易错陷阱·避错攻略】
1．（24-25高三上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·江西南昌·月考）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ．
5．函数的单调增区间是 .

易错归纳04 分段函数的单调性
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·北京东城·期末）已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

易错归纳05 函数的单调性结合奇偶性
【易错陷阱·避错攻略】
1．（23-24高三上·河南周口·月考）设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·北京·月考）已知是偶函数，它在上是增函数．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·云南·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三下·河北保定·月考）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·云南曲靖·期末）（多选题）设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．存在，使得
8．（2024·山东·模拟预测）（多选题）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．D．若，则x的取值范围为

易错归纳06 函数的周期性结合对称性
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·江西赣州·二模）已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（ ）
A．1B．C．2D．
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．5B．C．2D．
4．（2025·山东青岛·三模）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
5．（2023·河南·模拟预测）已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数图象关于直线对称B．函数的周期为2
C．函数图象关于点中心对称D．
6．关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数；②曲线关于直线对称；
③在区间上恰有3个零点．④函数的最大值为．
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．函数为周期函数
C．函数的图象既有对称轴又有对称中心
D．函数在区间上单调递减
9．（多选题）已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．D．为偶函数
10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）（多选题）已知函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的为（ ）
A．4是的一个周期B．是偶函数
C．D．

易错归纳07 函数性质的综合应用
1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，且y＝f(2x＋2)为奇函数．当x∈(0，1]时，f(x)＝，则f(2 023)＝（ ）
A．1B．－1C．0D．2
2．（23-24高三上·河北邯郸·月考）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．
3．已知函数是上的偶函数，，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．4是的一个周期
C．在上单调递减
D．：
4．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选题）已知函数的定义域均为是偶函数，，则（ ）
A．B．是奇函数
C．D．是的对称轴
6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）已知对任意，且，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．若x为正整数，则
8．已知定义在上的函数的图象关于点对称，且，当时，．若，则实数的取值范围为 ．
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．在区间上单调递增，在区间上单调递减
D．在区间上单调递减，在区间上单调递增
4．（2024·河南·模拟预测）已知函数满足：，，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·河南信阳·月考）已知定义在上的函数单调递增，且对任意恒有，则函数的零点为（ ）
A．B．C．2D．4
8．（2024·山西·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数.当时，，则（ ）
A．1B．C．0D．2
9．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·海南·月考）已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·安徽·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0B．50C．2509D．2499
13．（2024·新疆·二模）设是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
14．（23-24高三上·山东淄博·期中）已知函数是R上的偶函数，，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．4是的一个周期
C．D．
15．已知函数的定义域为，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．当时，
D．当时，
16．（2024·广西·模拟预测）（多选题）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，则（ ）．
A．的图像关于点对称B．是周期为4的周期函数
C．D．
17．（多选题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．的图象关于点对称
18．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
19．函数的单调增区间为 .
20．（2024·宁夏银川·一模）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 .
21．（24-25高三上·四川绵阳·月考）若函数，则的解集为
22．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知己函数的最大值为，则的取值范围是 .
23．（24-25高三上·河北衡水·月考）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为 ．
24．已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是 .
抽象函数的定义域
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。
求复合函数的单调性
（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
分段函数的单调性
已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下：
类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件：
(1)在上单调増递增；
(2)在上单调増递增；
(3).
类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件：
(1)在上单调増递减；
(2)在上单调増递减；
(3).
1、在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
2、在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
函数对称与周期性常用思路
（1）如果函数有两条对称轴，则一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.
（2）如果函数有一条对称轴，一个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.
（3）如果函数有在同一水平线上的两个对称中心，则一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.
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