2026年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第02讲导数与函数的单调性(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第02讲导数与函数的单调性(复习讲义)(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了方法技巧，变式训练1-1，变式训练1-2，变式训练1-3，变式训练2-1，变式训练2-2，变式训练2-3，变式训练3-1等内容，欢迎下载使用。
01TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7037" \l "_Tc32046" \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 1
\l "_Tc8263" 02 \l "_Tc22569" 体系构建·思维可视2
\l "_Tc25989" 03 \l "_Tc3729" 核心突破·靶向攻坚2
\l "_Tc18155" 知能解码 PAGEREF _Tc18155 \h 4
\l "_Tc19333" 知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） PAGEREF _Tc19333 \h 4
\l "_Tc20164" 知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间 PAGEREF _Tc20164 \h 4
\l "_Tc12180" 知识点3 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 PAGEREF _Tc12180 \h 5
\l "_Tc13420" 知识点4 含参问题讨论单调性 PAGEREF _Tc13420 \h 5
\l "_Tc15161" 题型破译 PAGEREF _Tc15161 \h 6
\l "_Tc1349" 题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） PAGEREF _Tc1349 \h 6
【方法技巧】求单调区间步骤
\l "_Tc28795" 题型2 已知函数在区间上单调 PAGEREF _Tc28795 \h 6
【方法技巧】已知函数在区间上单调等价条件
\l "_Tc25783" 题型3 已知函数在区间上存在单调区间 PAGEREF _Tc25783 \h 7
【方法技巧】已知函数在区间上存在单调区间 等价条件
\l "_Tc28827" 题型4 已知函数在区间上不单调 PAGEREF _Tc28827 \h 8
【方法技巧】已知函数在区间上不单调 等价条件
\l "_Tc13460" 题型5 导函数与原函数图象的单调性 PAGEREF _Tc13460 \h 8
【方法技巧】导函数与原函数关系
\l "_Tc3439" 题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型）） PAGEREF _Tc3439 \h 11
\l "_Tc16762" 题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ） PAGEREF _Tc16762 \h 12
\l "_Tc8882" 题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ） PAGEREF _Tc8882 \h 13
\l "_Tc7020" 04 \l "_Tc32741" 真题溯源·考向感知25
\l "__x0001__5" 05课本典例·高考素材 \l "_Tc24269" PAGEREF _Tc24269 \h 16
\l "_Tc25045" 知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
自主检测已知函数y=fx的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′x的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）

B．
C． D．
\l "_Tc25045" 知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
自主检测（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数fx=x+2csx−π13
\l "_Tc25045" 知识点4 含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
自主检测（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数fx=ex+ax+aa∈R.
(1)当a=1时，求fx在0,f0处的切线方程；
(2)讨论fx的单调性，并求最值.
题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）
例1-1函数f(x)=x−3lnx+1的单调递增区间为 .
例1-2函数y=x−ln1+x的递增区间是 ；递减区间 ．
方法技巧 求单调区间步骤
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
【变式训练1-1】函数fx=x22+2x−3lnx的单调递增区间为 ．
【变式训练1-2】函数f(x)=x+21−x的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．
【变式训练1-3】函数fx=x3−3x2+2的单调递增区间为 .
题型2 已知函数在区间上单调
例2-1已知关于x的函数y=x3−t2x−tx2+t3在区间(−1,3)上单调递减，则t的取值范围是 ．
例2-2（2025·江苏·一模）若f(x)=ex−1ex+1+ax在−1,+∞上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
方法技巧 已知函数在区间上单调等价条件
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
【变式训练2-1】（2025·山西·模拟预测）若函数fx=x3+ax2−x+1在区间12,3单调递增，则a的取值范围是 .
【变式训练2-2】已知函数fx=x+2mex+1在R上单调递增，则m的取值范围为 .
【变式训练2-3】已知函数fx=x2+ax+lnx在2,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是 .
题型3 已知函数在区间上存在单调区间
例3-1已知函数fx=lnx+(x−b)2b∈R在22,2上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．−∞，524B．−∞,524
C．−∞,522D．−∞,522
例3-2（2025·山东威海·三模）已知函数f(x)=ax−lga(x+1)(a>1)在(0,+∞)上存在单调递减区间，则a的取值范围是（ ）
A．(1,e]B．(1,e)C．[e,+∞)D．(e,+∞)
方法技巧 已知函数在区间上存在单调区间 等价条件
①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则
【变式训练3-1】若函数fx=lnx+ax2−2在区间14,1内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,−12B．−18,+∞C．−12,+∞D．−8,+∞
【变式训练3-2】（多选）若函数fx=lnx+ax2−2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a的取值可以为（ ）
A．a=−3B．a=−2C．a=−1D．a=0
【变式训练3-3】若函数ℎ(x)=lnx−12ax2−2x在12,2上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 .
题型4 已知函数在区间上不单调
例4-1已知函数f(x)=12x2+alnx−(a+1)x在区间(1,3)上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1]B．(1,3)C．[1,3]D．(3,+∞)
例4-2已知函数 fx=x2ex在t,t+1上不单调，则t的取值范围是 .
方法技巧 已知函数在区间上不单调 等价条件
已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
【变式训练4-1】若函数fx=x2−lnx在区间m,m+1上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．0,22B．22−1,22C．22−1,0D．0,2
【变式训练4-2】若函数fx=x22−lnx在0,k上不单调，则实数k的取值范围是
【变式训练4-3】已知函数fx=lnx−ax+2在区间1,2上不单调，则实数a的取值范围为 .
题型5 导函数与原函数图象的单调性
例5-1已知下列四个图象之一是函数f(x)在某区间的图象，且f(x)的导函数f′(x)在该区间的图象如图所示，则f(x)在该区间的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例5-2（多选）如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间(−2,1)上f(x)单调递增B．在区间(2,3)上f(x)单调递减
C．在区间(4,5)上f(x)单调递增D．在区间(3,5)上f(x)单调递增
方法技巧 导函数与原函数关系
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．
【变式训练5-1】设函数fx在定义域内可导，y=fx的图象如图所示，则其导函数y=f′x的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练5-2】设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练5-3】（多选）已知函数y=fx的导函数y=f′x的图象如图所示，则函数y=fx的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
例6-1f(x)=aex−2x−1,a∈R
(1)a=3，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程
(2)讨论f(x)的单调性
例6-2已知函数fx=lnx−ax+1.
(1)讨论fx的单调性；
【变式训练6-1】已知 fx=lnx+ax.
(1)若 a=2，求fx在e,fe处的切线的斜率;
(2)讨论fx的单调性;
【变式训练6-2·变载体】设函数fx=ex−ax−1.
求f(x)的单调区间;
题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ）
例7-1（已知函数fx=x2−2a+1x+alnxa∈R
(1)若a=−1，求fx的最小值
(2)讨论fx的单调性；
例7-2（2025·新疆·模拟预测）已知函数f(x)=aex+e−x−(a−1)x+1．
(1)若函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x−1=0垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
【变式训练7-1】已知函数f(x)=x3+ax2−a2x−1．
(1)设a=1，求曲线f(x)在点A(0,−1)处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
【变式训练7-2】（2025·河南·二模）已知函数fx=12x2+alnx−a+1xa∈R.
(1)讨论fx的单调性.
【变式训练7-3·变载体】（2025·江西·二模）已知函数fx=12e2x−2a+1ex+2ax+32.
(1)当a=−12时，求函数y=fx的图象在x=0处的切线方程；
(2)讨论fx的单调性；
题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ）
例8-1已知函数fx=−x2+x−mlnx．
(1)当m=1时，求fx≥0的解集；
(2)当m∈R时，求fx的单调区间．
例8-2已知函数fx=−e2x+6ex−ax．讨论fx的单调性.
【变式训练8-1】（2025·贵州黔东南·三模）设函数f(x)=lnx+x−ax2,a∈R．
(1)若a=1，试求函数f(x)的极值；
(2)设g(x)=f1x，讨论g(x)的单调性．
【变式训练8-2·变载体】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数fx=−e2x+6ex−ax．
(1)讨论fx的单调性；
(2)设fx的两个极值点为x1,x2．当a>1且x2−x1>ln2时，求fx1+fx2的取值范围.
【变式训练8-3】已知函数f(x)=x−alnx−12x ，定义域为0,+∞．
讨论fx的单调性．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设a∈0,1，若函数fx=ax+1+ax在0,+∞上单调递增，则a的取值范围是 .
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数fx=ax−1−lnx+1．
(1)求fx的单调区间；
3．（2023·北京·高考真题）设函数f(x)=x−x3eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数fx=1x+aln1+x．
(1)当a=−1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程．
(2)若函数fx在0,+∞单调递增，求a的取值范围．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数fx=ax−sinxcs2x,x∈0,π2．
(1)当a=1时，讨论fx的单调性；
1.(人教A版选择性必修第二册P89练习T1)判断下列函数的单调性，并求出单调区间
（1） （2）
2.(人教A版选择性必修第二册P89练习T2)证明函数在区间内单调递减。
3(人教A版选择性必修第二册P89 例4)设，，两个函数的图象如图所示.判断,的 图 象 与, 之间的对应关系 .
4.(人教A版选择性必修第二册P94 练习第2题)证明不等式：，。
5.(人教A版选择性必修第二册P97 练习第1题)利用函数的单调性，证明不等式：，
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）函数的单调区间
（2）单调性与导数的关系
（3）含参数单调性讨论
单选题
多选题
填空题
解答题
全国二卷T18（2）（i）（5分）
全国甲卷（理）T20（1）（5分）
北京卷T20（1）（4分）
全国乙卷（文）T20（2）（7分）
全国甲卷（文）T20（1）（5分）
全国 I卷T19（1）（5分）
全国 II卷T6（5分）
北京卷T20（2）（5分）
考情分析：高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．
复习目标：
（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．
（3）分类讨论求函数单调区间，讨论时不重复，不遗漏
条件
恒有
结论
函数在区间上可导
在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数