2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第十讲：第二章函数与基本初等函数章节总结(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第十讲：第二章函数与基本初等函数章节总结(精讲)(原卷版+解析)，共3页。试卷主要包含了函数的定义域为 ，已知函数是定义在上的偶函数.，已知，函数.，已知二次函数等内容，欢迎下载使用。
题型一：函数的定义域
1．（24-25高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
3．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则实数a的取值范围是 ．
4．（24-25高二下·北京平谷·期中）函数的定义域为 ．
5．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
题型二：函数的值域(最值）
1．（24-25高三上·广东韶关·阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则其值域为 ．
3．（2025·安徽·一模）函数的值域为 .
4．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）函数的值域为 ．
5．（25-26高三上·全国·课后作业）（1）已知的定义域为，求的定义域．
（2）求下列函数的值域：
①；
②．
题型三：求函数的解析式
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·全国·课后作业）已知函数满足，则函数 ．
3．（24-25高三上·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
4．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）（1）已知，求的表达式；
（2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式．
5．（23-24高三上·云南红河·）根据下列条件，求的解析式.
(1)已知；
(2)已知是二次函数，且满足.
题型四：分段函数问题
1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（24-25高三上·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·全国·课后作业）设函数若，则实数 ．
4．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
5．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数a为实数，若有最大值，则a的取值范围是 ．
题型五：函数的单调性
1．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·四川巴中·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明.
4．（2025·江苏盐城·三模）已知函数（，且）．
(1)讨论的奇偶性；
(2)若，不等式恒成立，求t的取值范围．
5．（24-25高一下·浙江·期中）已知为奇函数，且定义域为，.
(1)求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
(2)若，求的取值范围；
(3)若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围.
6．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数.
(1)当时，，求时，的表达式；
(2)当时，，若实数满足，求的取值范围.
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用
1．（多选）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数为奇函数
C．D．
2．（多选）（2025·广西北海·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
3．（多选）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数关于直线对称
C．函数的周期为4
D．
4．（多选）（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数为偶函数
C．D．函数的周期为4
5．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
6．（多选）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数D．
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（多选）多选（24-25高三上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（24-25高三上·黑龙江鹤岗·期中）使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知不等式对任意恒成立，则满足条件的正实数a的值可以是（ ）
A．2B．4C．8D．9
4．（多选）（23-24高二下·云南临沧·期中）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A．10B．9C．8D．7.5
5．（多选）（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的值可以为（ ）
A．B．C．1D．3
题型八：不等式中的能成立问题
1．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ）
A．9B．6C．D．5
3．（24-25高三下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
4．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ．
5．（24-25高三上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 .
题型九：函数的图象
1．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·浙江温州·期中）函数（为自然常数）的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）如图为函数在上的大致图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ）
A． B．
C．D．
题型十：指数函数，对数函数，幂函数
1．（浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象有对称轴B．的图象有对称轴
C．的图象有对称中心D．的图象有对称中心
2．（2025·江西·模拟预测）已知，，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知，，且，其中所有正确结论的序号是 ．
1． 2． 3． 4．
6．（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
7．（2025届上海市宝山区高考三模数学试卷）已知，函数.
(1)若，求函数的表达式及定义域；
(2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
8．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知二次函数．
(1)关于的不等式的解集为．
①求实数，的值；
②若对任意，恒成立，求的取值范围．
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
题型十一：函数中的零点问题
1．（河南省多校联考2025届高三考前模拟考试数学试题）已知函数恰有一个零点，则实数（ ）
A．1B．C．0D．
2．（24-25高一下·湖南湘潭·期中）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知函数至少有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·山西·三模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
6．（辽宁省葫芦岛市2025届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数，当时，方程有实数解，则实数m的取值范围是 ．
7．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，（，且）．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围．
8．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知，
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
题型十二：函数模型的应用
1．（24-25高一下·湖南·期中）DeepSeek以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度（）与时间t（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，a为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的，至少需要的时间为（ ）
（参考数据：）
A．23个月B．24个月C．25个月D．26个月
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（ ）
A．12年B．13年C．14年D．15年
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75米B．1.5米C．1.25米D．1米
4．（25-26高一上·全国·课后作业）10辆货车从站匀速驶往相距的站，其速度都是．为安全起见，要求每辆车速度不得超过，每辆货车间隔为（为常数，货车长度忽略不计）．将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示为的函数．若，则当 时，有最小值，为 ．
5．（23-24高一上·贵州黔南·期末）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率）
给出以下3个函数模型：①；②③
(1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型.
6．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且）．其销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为5050元．
(1)给出如下四个函数模型：① ② ③ ④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量与时间的关系，并求出该函数解析式；
(2)设该纪念品的销售收入为（单位：元），求的最小值．
年份
2019
2020
2021
2022
…
年投资成本
4
6
10
18
…
年利润
1
2
3
4
…
10
15
20
25
30
500
550
600
550
500
第10讲：第二章 函数与基本初等函数
章节总结
题型一：函数的定义域
1．（24-25高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，得且．
即函数的定义域为，
故选：D
2．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【详解】由题意知恒成立，所以恒成立，所以，又且，所以或．所以实数a的取值范围是．
3．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数
【详解】若函数的定义域为，则对任意恒成立．当时，不等式化为，恒成立；当时，需满足，解得．综上所述，实数a的取值范围是．
4．（24-25高二下·北京平谷·期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解.
【详解】的定义域满足，解得且，
故定义域为，
故答案为：
5．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】抽象函数的定义域
【详解】由函数的定义域为得，解得．
题型二：函数的值域(最值）
1．（24-25高三上·广东韶关·阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出函数的定义域，再根据函数单调性求出函数的值域.
【详解】由，得，则的定义域为．
易得是增函数，所以，即的值域为．
故选： B.
2．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则其值域为 ．
【答案】
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域
【详解】当时，；当时，；当时，；当时，．所以值域为．
3．（2025·安徽·一模）函数的值域为 .
【答案】
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求指数函数在区间内的值域
【分析】由函数的单调性即可求解.
【详解】因为与在上均为减函数，
且当时，，所以，
故的值域为.
故答案为：
4．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）函数的值域为 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】将问题转化为半圆与直线存在交点，画图象，再数形结合即可.
【详解】令，则，
则半圆与直线存在交点，
半圆方程为：，
画出图象如图：
当直线过点，即图中直线时，；
当直线与半圆相切时，即图中直线时，，得（舍），
故，即值域为.
故答案为：
5．（25-26高三上·全国·课后作业）（1）已知的定义域为，求的定义域．
（2）求下列函数的值域：
①；
②．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【知识点】抽象函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【详解】解：（1）在函数中，，则．因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为．
（2）①函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为．
②函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为．
题型三：求函数的解析式
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】令，利用换元法求解析式即可．
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以．
故选：B．
2．（24-25高三上·全国·课后作业）已知函数满足，则函数 ．
【答案】
【知识点】函数方程组法求解析式
【分析】构造关于的方程组后可解得.
【详解】由题知用代换得到，，
与两式联立，消去，
解得．
故答案为：.
3．（24-25高三上·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
【答案】（1）
（2）
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式.
（2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式.
【详解】（1）因为函数是一次函数，则设.
由于，所以
所以.化简得：
这是一个恒等式，所以，且.
所以.
所以函数的解析式为.
（2），
令，.
所以.
所以函数的解析式为.
4．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）（1）已知，求的表达式；
（2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式．
【答案】（1）（2）
【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数方程组法求解析式
【分析】（1）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可．
（2）设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式．
【详解】在中用替换，得，
于是有，
消去，得．
所求函数的表达式为．
（2）奇函数的定义域为．
当时，，又当时，，
，
．
故．
5．（23-24高三上·云南红河·）根据下列条件，求的解析式.
(1)已知；
(2)已知是二次函数，且满足.
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的解析式
【分析】（1）利用换元法，可求得函数解析式；
（2）利用待定系数法，即可求得答案.
【详解】（1）令，则，
所以由，
得，
所以；
（2）由题意设，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，得，
所以.
题型四：分段函数问题
1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据分段函数的单调性求参数
【详解】由题意知，函数在上为减函数，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是．
故选：D.
2．（多选）（24-25高三上·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值
【详解】当时，；当时，，所以即，A错误，C正确；则，B正确，D错误．
3．（24-25高三上·全国·课后作业）设函数若，则实数 ．
【答案】
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【详解】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故．
4．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围
【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象，设，依题意，，
且，，解得，，
故，因函数在上单调递减，故，
即的取值范围是.
故答案为：.
5．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数a为实数，若有最大值，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、分段函数的值域或最值
【详解】作出的图象如图所示，由解得或，则或对于二次函数，函数的图象开口向下，对称轴为直线，当时，．对于指数型函数，当时，．对于函数当时，；当时，；当时，没有最大值．综上所述，a的取值范围是．
题型五：函数的单调性
1．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围.
【详解】设，因为为上的增函数，
而在内单调递增，
故为内的增函数，且在内恒成立，
故，故，
故选：D.
2．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性
【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误．
3．（24-25高三上·四川巴中·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)是上的增函数，证明见解析
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数
【分析】（1）根据为奇函数可得，即可得解；
（2）利用函数单调性的定义求解即可.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
检验：因为，故满足题意，
所以；
（2）是上的增函数，证明如下：
设任意，，
，
∵，∴，，，，
∴是上的单调增函数.
4．（2025·江苏盐城·三模）已知函数（，且）．
(1)讨论的奇偶性；
(2)若，不等式恒成立，求t的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可；
（2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可.
【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且
当时，，即恒成立，
所以，即，此时，定义域为R，，
所以是R上的奇函数；
当时，，即恒成立，所以，即，此时，定义域为R，，
所以是R上的偶函数；
当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数；
当且时，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数中，由，得，而，
所以，则，由（1）知是R上的奇函数；
因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数，
不等式，
因此，即，则，
解，得或；
解，即，得.于是，
所以t的取值范围是.
5．（24-25高一下·浙江·期中）已知为奇函数，且定义域为，.
(1)求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
(2)若，求的取值范围；
(3)若存在两个不相等的实数，，使，且.求实数的取值范围.
【答案】(1)，增函数，证明见解析；
(2)；
(3).
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）由奇函数性质求参数，进而判断函数的单调性，应用单调性定义证明即可；
（2）由（1）所得单调性列不等式求参数范围；
（3）由题设可得，且令，则能成立，结合二次函数的性质列不等式求参数范围.
【详解】（1）因为为奇函数，定义域为，
所以，得，经验证满足题设，
在定义域上为增函数，证明如下：
任取，，且，，
，
所以，在定义域上为增函数；
（2）由（1）得，解得；
（3），
，
，即，
，
，，
令，，，
，
，则存在一个实数，使成立，
只需或，解得或，
综上：.
6．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数.
(1)当时，，求时，的表达式；
(2)当时，，若实数满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元一次不等式
【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可；
（2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可.
【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即
当时，，
所以，
所以.
（2）当时，，
由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数.
又函数为偶函数，
所以，
两边平方后展开可得，即，
解得.
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用
1．（多选）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数为奇函数
C．D．
【答案】BC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用、对数的运算
【分析】由题意可得，可判断A；令，可得，进而可判断B；由已知可得是偶函数，进而计算可得，进而可得，，进而计算可判断C；利用作差法可得，进而求得在区间上单调递减，可得结论判断D.
【详解】因为，所以，所以关于点中心对称，故A错误；
令，所以，又，
所以，故为奇函数，故B正确；
又因为，所以是偶函数，所以，
所以，所以，
所以是周期为4的函数，
令，得，令，得，令，得，
所以，故C正确；
，
又，
故，又因为当，单调递减，且，
所以，所以关于点中心对称，
所以在区间上单调递减，所以，
所以，故D错误.
故选：BC.
2．（多选）（2025·广西北海·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
【答案】ACD
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可.
【详解】为奇函数，故，即①，
又为偶函数，故②，
则由①②可得，，
则，则的一个周期为4，
在①中令有，
又当时，，则，则，
所以，
故A正确；
由②可得，，则，
即函数是定义在上的偶函数，
因时，，则是上的增函数，
则是上的减函数，
因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误；
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，
由题意得与的图象如下：
当时，，
当时，，
当时，，
结合图象可知，函数在上存在1个零点，
当时，，
当时，，
由此可得与的图象有5个交点，
所以有5个零点，故D正确．
故选：ACD．
3．（多选）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数关于直线对称
C．函数的周期为4
D．
【答案】AC
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】利用复合函数的奇函数定义及复合函数的导数法则，结合函数的对称性及周期性即可求解.
【详解】对于A，因为为奇函数，所以，
所以函数关于点对称，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
又，所以，
所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故B错，
对于C，因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，所以，
取，可得.所以，
由，得，
所以，即，
所以，所以函数是周期函数，且周期为，
又，即，
所以函数也是以周期得周期函数，故C正确；
对于D，因为，，
所以，即，
所以，则，
所以，
，无法确定该值，故D错误.
故选：AC.
4．（多选）（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数为偶函数
C．D．函数的周期为4
【答案】ABD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性、简单复合函数的导数
【分析】首先由条件可得，即可判断函数的周期，并求值判断A，根据条件等式，两边取导数，判断BCD.
【详解】由条件可知，，即，
所以函数是周期为4的函数，，故A正确；
由，两边取导数，得，即，所以是偶函数，故B正确；
由，两边取导数，得，即，
令，得，即，故C错误；
因为，两边取导数，得，即，所以函数的周期为4，故D正确.
故选：ABD
5．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
【答案】ACD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、导数的运算法则、由函数的周期性求函数值
【分析】先根据关系式，，求出对应的对称轴和对称中心，进而得到周期，再结合时，，可画出的图像，即可解决问题.
【详解】由，可得到函数图像的对称轴为，
由，可得到函数图像的对称中心横坐标为，
所以函数的周期.
因为时，，根据对称性和周期性，可画出的图像，如图所示.
由周期性可知，，故A正确；
根据周期性可知，，故B错误；
，由图可知，，，所以，故C正确；
由图可知，函数在轴两侧的图像是对称的，因此导函数应应当关于原点对称，即为奇函数，故D正确；
故选：ACD.
6．（多选）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数D．
【答案】BCD
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】由可判断A，由，得到，可判断C，由和可判断B，由周期性，奇偶性可判断D.
【详解】对于A，，所以不是奇函数，错误；
对于B：因为为奇函数，
所以，
由，可得：，
所以，即，
所以，偶函数，正确；
对于C：由，
可得，所以是周期为3的周期函数，正确；
对于D，，
所以，
由周期性可得：
故选：BCD
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（多选）多选（24-25高三上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【知识点】充分条件的判定及性质、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内.
【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立.
当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.
综合两种情况
不等式对一切实数都成立时的取值范围是.
分析各个选项：
A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件.
C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.
故选：ACD.
2．（多选）（24-25高三上·黑龙江鹤岗·期中）使函数的定义域是的一个充分不必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【知识点】根据充分不必要条件求参数、具体函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】转化为不等式恒成立问题，根据一元二次不等式的解法可得.
【详解】若函数的定义域是，则恒成立，
当时，恒成立；
当时，则，解得.
综上，函数的定义域是的充要条件为，
所以函数的定义域是的充分不必要条件为的真子集.
结合选项可知，选项AB符合题意.
故选：AB
3．（多选）（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知不等式对任意恒成立，则满足条件的正实数a的值可以是（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】BCD
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】令，则，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值为，则问题转化为，从而可求出取值范围，进而可得答案.
【详解】令，则.
由基本不等式得 ，
当且仅当，即时等号成立,
所以要使对任意正实数恒成立,只需
即，得，
解得（舍去），或，得，
故选：BCD.
4．（多选）（23-24高二下·云南临沧·期中）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A．10B．9C．8D．7.5
【答案】BC
【知识点】基本不等式的恒成立问题
【分析】根据基本不等式求出的最小值，得的取值范围，根据范围可得答案.
【详解】由，且，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意.
故选：.
5．（多选）（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，则实数m的值可以为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】BC
【知识点】基本不等式的恒成立问题
【分析】参变分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果.
【详解】∵，
∴
而，
则，
故选：BC.
题型八：不等式中的能成立问题
1．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、求二次函数的值域或最值
【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解.
【详解】依题意，令，
则，其图象开口向上，对称轴为，
所以函数在区间上单调递减，则，
因为存在，使得成立，
所以，即，
即，解得，
所以的取值范围是，
故选：C.
2．（23-24高二上·浙江·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ）
A．9B．6C．D．5
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值
【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解.
【详解】关于的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，
即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6．
故，可得，则实数的最小值为5．
故选：D．
3．（24-25高三下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
【答案】
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可.
【详解】因为“，使得”为假命题，
所以“，使得”为真命题，
即在内有解，即，
因为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
4．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知命题“，使得”为假命题，则实数a的范围为 ．
【答案】
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】利用已知得到真命题，结合二次函数的单调性求解即可；
【详解】由题意可得命题“，使得”为真命题，
即在上有解，
令，，则，
在为减函数，所以，
所以，即实数a的范围为.
故答案为：.
5．（24-25高三上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案.
【详解】由题意，在上有解，
∴在上有解，
即，其中，
在中，，
对称轴，
∵，二次函数开口向上，
∴函数在单调递减，在上单调递增，
∴函数在上取最大值，，
∴，
故答案为：.
题型九：函数的图象
1．（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数图像的识别、求余弦（型）函数的奇偶性
【分析】根据的解析式得到的定义域和奇偶性，再根据的取值情况得到符合题意的选项．
【详解】由已知，定义域为，，
所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除B,C；
又，故D错误，A正确．
故选：A．
2．（24-25高二下·浙江温州·期中）函数（为自然常数）的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】函数图像的识别、求已知指数型函数的最值
【分析】由函数的奇偶性可排除D；由，可排除B；当趋近正无穷时，趋近可排除C，即可得出答案.
【详解】因为的定义为，
所以，所以为奇函数，排除D，
又因为，所以排除B，
当趋近正无穷时，趋近，故C错误.
故选：A.
3．（2025高三·全国·专题练习）如图为函数在上的大致图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】由奇偶性及正负即可判断.
【详解】由图像可知函数为奇函数，
选项A，，故为偶函数，其图象关于轴对称，A错误；
选项D，，故为偶函数，其图象关于轴对称，D错误；
选项B，因为，所以B错误.
对于C：，奇函数，且，符合，
故选：C.
4．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断
【分析】函数图象关于轴对称，排除A ，C，由排除B，利用排除法即可.
【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数，
对于A，,,
,
即函数是奇函数，故A错，
对于B，，，
，
是偶函数，
当时，，故B错，
对于C ， ，，
，
是奇函数，故C错，
对于D，，，
，
是偶函数，，符合题意，故D正确.
故选：D
5．（多选）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】BD
【知识点】函数图像的识别、求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象．
【详解】令，得，
，令，得，
若，，则，且时，恒成立，
时，，递减，，，递减，
，，递增，故D正确；
若，，则，且时，恒成立，
时，，递增，时，，递减，
时，，递减，故B正确；
若，，则，且时，恒成立，
时，，递减，时，，递增，
时，，递增，故C错误；
若，，，且时，恒成立，
时，，递增，，，递增，
，，递减，故A错误；
综上，A,C错误，B,D正确．
故选：BD．
题型十：指数函数，对数函数，幂函数
1．（浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象有对称轴B．的图象有对称轴
C．的图象有对称中心D．的图象有对称中心
【答案】D
【知识点】函数对称性的应用、对数函数的概念判断与求值
【分析】只需计算，验证即可求解.
【详解】，，所以，所以的图象有对称中心，故A错误，D正确；
，，
所以，，故B错误，C错误，
故选：D.
2．（2025·江西·模拟预测）已知，，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【知识点】比较对数式的大小
【分析】根据对数的运算性质与运算法则，结合对数函数的单调性，化简运算，即可求解.
【详解】由对数的运算性质，可得，
则；
又由，则，
因为，可得，所以，所以.
故选：A.
3．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】，结合指数函数单调性得到，又，得到结论.
【详解】，，
，，故，所以，
，所以.
故选：D
4．（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围.
【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增，
可得在上单调递增且恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
5．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知，，且，其中所有正确结论的序号是 ．
1． 2． 3． 4．
【答案】
【知识点】求指数函数在区间内的值域、对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式判断1，根据对数运算及基本不等式判断2，根据指数函数的单调性判断3，根据二次函数的性质判断4.
【详解】因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以1正确；
因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以2正确；
因为，，且，所以，且，所以，即，所以3正确；
因为，，且，所以，且，
所以，因为，所以，所以4错误.
故答案为：
6．（24-25高一下·江西·期中）已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【知识点】对数型复合函数的单调性、对数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得；
（2）依题意关于的不等式在上有解，令，，利用作差法证明函数的单调性，即可得到在上的单调性，从而求出，即可得解.
【详解】（1）因为函数为偶函数，所以，
即，
所以，整理得恒成立，
所以，解得，所以，故．
（2）由（1）可得，关于x的不等式在上有解，
令，，取，
则．
因为，所以，，，，
所以，，即，
所以在上单调递增，
又在定义域上单调递增，因此在上单调递增．
令，，
因为函数与函数在上均单调递增，
所以在上单调递增，且，
所以，故实数的取值范围为．
7．（2025届上海市宝山区高考三模数学试卷）已知，函数.
(1)若，求函数的表达式及定义域；
(2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】(1)，定义域为
(2)
【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即可；
（2）根据对数运算法则化简方程，结合对数函数的性质得方程，分类讨论得方程的根从而得实数的取值范围.
【详解】（1），令，
则
因为，所以，又得，解得或，
则函数的定义域为；
（2）由（1）得
方程，
即
可转化为，且
①当即时，，符合题意；
②当即时，
（i）当时，符合题意
（ii）当时，且时，要满足题意，则有
或无解
综上可得，的取值范围.
8．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知二次函数．
(1)关于的不等式的解集为．
①求实数，的值；
②若对任意，恒成立，求的取值范围．
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)
【知识点】判断指数函数的单调性、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】（1）①利用不等式的解集和方程的根的关系可求答案；
②求出的最小值，求解二次不等式可得答案；
（2）对参数分类讨论求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】（1）①不等式，即，
所以不等式的解集为，
所以与为的两个根，
由韦达定理可得：，，
所以，；
②由①得，
所以，
又因为，所以，
又对任意，恒成立，
所以，即，解得，
所以的取值范围为；
（2）设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以对任意的，，都有等价于，
又在上单调递减，在上单调递增，
①当，即时，在上单调递增，
则，，
即，解得，又，即；
②当，即，在上单调递减，在上单调递增，
，，
由，即
解得，又，即；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
由．得，
又，即；
④当，即时，在上单调递减，
，，
由，得，
又，即，
综上所述，的取值范围为．
题型十一：函数中的零点问题
1．（河南省多校联考2025届高三考前模拟考试数学试题）已知函数恰有一个零点，则实数（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】A
【知识点】根据函数的最值求参数、函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数且恰有一零点可得，求出后再检验即可得解.
【详解】由得，
而，
故为偶函数.
由对称性，，从而
当时，
当时，，即无零点，
由对称性，时，也无零点，从而仅有一解，即满足题意.
故选：A
2．（24-25高一下·湖南湘潭·期中）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数图象的应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】画出函数图象，数形结合得到，得到答案.
【详解】画出的图象，
显然当时，方程恰有三个不同的实数解，B正确，ACD错误.
故选：B
3．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知函数至少有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】利用两曲线的图象特点进行求解即可.
【详解】令，即，可得，
令，，原题意等价于曲线与至少有一个交点，
如图，注意到与的对称轴均为，可得，即，即，.
故选：B.
4．（多选）（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、判断零点所在的区间
【分析】依题意作出分段函数的图象，利用函数零点概念，图象对称性，以及函数与方程，对勾函数的单调性等知识点依次判断各选项即可.
【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，
对于A，由图象知，方程有四个不同的零点，等价于，故A正确；
对于B，C， 因为，，，
且函数关于对称，
由图象得，，是的两个根，
所以，即，所以，
由，是的两个根，所以，
，故B正确；
且，故C错误；
对于D，由，可得，，
令，，易得函数在上单调递增，
则，即，故，故D正确.
故选：ABD.
5．（2025·山西·三模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据题意当时，函数有一个零点，所以只要时，函数有一个零点即可，利用二次函数的相关性质可解.
【详解】因为当时，解得，函数有一个零点；
因此，要使函数有两个零点，只需时，函数有一个零点．
当时，函数对称轴为，
若，只需，解得；
若，只需，可得；
若，有且只有一个零点，不满足条件，
综上，的取值范围为．
故答案为：
6．（辽宁省葫芦岛市2025届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数，当时，方程有实数解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据零点所在的区间求参数范围
【分析】应用奇偶性定义确定为奇函数，结合已知有，问题化为在上有解，应用换元法及对勾函数的性质求参数范围.
【详解】由，且，所以为奇函数，
由，则，
所以，即在上有解，
令，则在上单调递增，
所以.
故答案为：
7．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，（，且）．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0列出不等式组，解出即可；
（2）根据函数奇偶性定义判断；
（3）根据题意转化为有两解，利用函数的单调性求值域进行求解.
【详解】（1）由题意得，
由得，
所以的定义域为．
（2）因为，定义域关于原点对称，
，
所以是偶函数．
（3）当时，．
令，则．
令，，
则，函数在上单调递增，，
易知，函数在上单调递增，在上单调递减．
要使有两个零点，即有两个解，
那么，则，所以实数m的取值范围是．
8．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知，
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求导，由求解即可；
（2）求导，分析函数的单调性，进而结合题意求解即可.
【详解】（1）的定义域为，
，
令，得，
的单调递增区间是.
（2）由已知得，
则，
，则当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
若在上有两个零点，则，
，即，
即实数的取值范围为.
题型十二：函数模型的应用
1．（24-25高一下·湖南·期中）DeepSeek以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度（）与时间t（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，a为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的，至少需要的时间为（ ）
（参考数据：）
A．23个月B．24个月C．25个月D．26个月
【答案】C
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题
【分析】根据题设函数模型，结合题意可得，可得，由，进而得到，进而求解即可.
【详解】设关注度下降到峰值的，至少需要的时间为t个月，
由题意得，则，
由，则，
所以，
即，又，则至少需要的时间为25个月.
故选：C．
2．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（ ）
A．12年B．13年C．14年D．15年
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】由题意可得，即可利用对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知，代入公式可得，
所以所以，所以至少需要14年，
故选：C
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75米B．1.5米C．1.25米D．1米
【答案】A
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.
由题意知，，即①.
又，即，即②.
由可得，解得.
故选：A.
4．（25-26高一上·全国·课后作业）10辆货车从站匀速驶往相距的站，其速度都是．为安全起见，要求每辆车速度不得超过，每辆货车间隔为（为常数，货车长度忽略不计）．将第一辆货车由站出发到最后一辆货车到达站所需时间表示为的函数．若，则当 时，有最小值，为 ．
【答案】
【知识点】分式型函数模型的应用
【详解】由题意，可得．又，
所以由“对勾函数”的性质知当时，取得最小值，．
5．（23-24高一上·贵州黔南·期末）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率）
给出以下3个函数模型：①；②③
(1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型.
【答案】(1)选择③来描述之间的关系，函数解析式为；
(2)该企业要考虑转型.
【知识点】对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题
【分析】（1）利用表格中的数据分别计算判断，确定函数关系.
（2）利用（1）中结论，求出年利润率判断得解.
【详解】（1）点不同在函数的图象上，①不符合要求；
将代入，得，解得，，
当时，，不符合要求；
将代入，得，解得，
，当时，；当时，，符合题意，
所以选择③来描述之间的关系，函数解析式为.
（2）由（1）知，，当时，，解得，
当时的年利润率，所以该厂要考虑转型.
6．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）平凉崆峒山是国家首批5A级旅游景区，集奇险灵秀的自然景观和古朴精湛的人文景观于一身，具有极高的观赏、文化和科考价值．每年吸引了大量游客前来参观游玩．景区也设置了文创产品销售中心，今年10月份以来，通过对文创中心某纪念品销售情况的统计发现：该纪念品在过去一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式为：（为常数且）．其销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为5050元．
(1)给出如下四个函数模型：① ② ③ ④请根据表中数据，从中选择出你认为最合适的一种模型来表示销售量与时间的关系，并求出该函数解析式；
(2)设该纪念品的销售收入为（单位：元），求的最小值．
【答案】(1)选择②分段函数模型，
(2)4410元．
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、指数函数模型的应用（2）、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）所给函数①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的，而表中数据显示销售量随时间先增大后减小且呈对称趋势，故选择②分段函数模型较合适；
（2）由（1）得的解析式，根据求出的值，再由求得，通过分类讨论结合基本不等式和单调性求最小值即可.
【详解】（1）由表中数据可知，销售量随时间先增大后减小，并且呈对称趋势，
而①、③、④分别对应的一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型都是单调的，
故选择②分段函数模型．
将点，，代入（2），得，
解得，故函数解析式为．
分别将和代入，解得，，与题中数据相符，因此该函数模型合理．
（2）由（1）知，
又由题意知，
即，解得，
所以，
故．
当时，；
当时，，在上单调递减，
所以．
综上所述，销售收入的最小值为4410元．
年份
2019
2020
2021
2022
…
年投资成本
4
6
10
18
…
年利润
1
2
3
4
…
10
15
20
25
30
500
550
600
550
500