2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第二章函数与基本初等函数(高效培优综合训练)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第二章函数与基本初等函数(高效培优综合训练)(全国通用)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了函数的大致图象为，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组函数中，，是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．D．2
4．设函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（ ）
A．9B．10C．11D．12
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期为2
B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称
D．函数为奇函数
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．
C．在上单调递减D．在上单调递增
11．已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．的解集为D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的定义域为 .
13．已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ．
14．设，函数的最小值为－1，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数（且），，.
(1)求a，b的值；
(2)若函数，求的值.
16．（15分）
已知幂函数为奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)求函数（）的值域．
(3)求函数在区间上的最小值.
17．（15分）
舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.
(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；
(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.
18．（17分）
已知函数（，且）．
(1)讨论的奇偶性；
(2)若，不等式恒成立，求t的取值范围．
19．（17分）
如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.
①对任意的，有；
②对于任意的，若，则.
(1)是否存在指数函数是型函数？若存在，请求出该指数函数的解析式；若不存在，请说明理由；
(2)判断型函数在上的单调性并说明理由；
(3)求证：对于型函数，恒有（为正整数）.
天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156
第二章 函数与基本初等函数（高效培优综合训练）（全国通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组函数中，，是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】函数是同一函数的条件为：定义域相同，对应关系一致，由此逐项判断，即可得出结果.
【详解】解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；
对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数.
故选：D
2．设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】，结合指数函数单调性得到，又，得到结论.
【详解】，，
，，故，所以，
，所以.
故选：D
3．已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解．
【详解】函数的定义域为，
因为是奇函数，
所以恒成立，
所以，
故选：A．
4．设函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用复合函数和对数函数的性质转化为二次函数单调性的问题，建立不等式组求解取值范围，再求最值即可.
【详解】令，，
则可视为由和构成的复合函数，
由对数函数性质得在区间上单调递增，
因为在区间上单调递减，
所以由复合函数性质得在区间上单调递减，
由二次函数性质得的对称轴为直线，
显然开口向上，故，解得，
则的最大值为4，故C正确.
故选：C
5．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当时，排除A，B;
故选：D．
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意得到，，相减即可求解；
【详解】由题意，
，
两式相减可得：，
又，
所以，
所以，
故选：C
7．已知函数，若在上有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数零点的定义先确定当时，有1个零点，进而得到当时，只有一个零点，进而转化问题为方程在时有一个解，再结合指数函数的性质求解即可.
【详解】当时，有1个零点，
则当时，只有一个零点，
即方程在时有一个解，
即方程在时有一个解，
因为函数为增函数，
且当时，，
则，即.
故选：B.
8．已知定义在上的函数满足，且当时，．若的图象与曲线，且恰有10个交点，则实数（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案.
【详解】因为，所以，
从而可得，所以函数是以2为周期的周期函数，
当时，，可得；
当时，，由，可得，
所以，从而可得，
所以，在上有：，
又，且的定义域为，
当时，作出两函数的图象，如图，
由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意.
当时，作出两函数的图象，如图，
结合函数的周期性可知，两函数的图象在上没有交点；在，，，上均有2个交点；在上有1个交点，
要使的图象与曲线，且恰有10个交点，由图可知，只需，解得.
故选：C.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的周期为2
B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称
D．函数为奇函数
【答案】BC
【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断.
【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误；
选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确；
选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确；
选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误.
故选：BC.
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】A选项，利用函数奇偶性的定义判断，B选项，特值代入说明不成立，C和D选项，利用复合函数的单调性判断.
【详解】要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称，
且，从而是奇函数，A正确；
，B错误；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，C正确；
当时，，
在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，D正确.
故选：ACD
11．已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．的解集为D．
【答案】ACD
【分析】赋值可确定A，令可得知函数关于对称，不是偶函数，通过变换，可证明函数单调性，再利用函数的单调性解不等式，由可求D.
【详解】对A，令，，故A正确；
对B，令，，故函数关于对称，不是偶函数，故B错误；
对C，，所以，
即，，，
，时，，故，
所以，即在上单调递增，
，所以，解得，故C正确；
对D，，，故D正确；
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据题意列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，即，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
13．已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围.
【详解】分析时函数的最小值：
对于函数，将其进行配方可得.
因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值.
分析时函数存在最小值的条件：
当时，.
因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于.
又因为对数函数在上单调递增，所以.
要使存在最小值，则，即，解得.
故答案为：.
14．设，函数的最小值为－1，则 .
【答案】e
【分析】结合函数新定义，分，，三种情况讨论即可求解.
【详解】①当时，，当x趋于正无穷时，与均趋于负无穷，无最小值，不符合题意；
②当时，，
而，当时，，
所以的最小值为0，不符合题意；
③当时，，的大致图象如图，设的最小值为.
令，可得，消去得，解得（舍去）或.

故答案为：e.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数（且），，.
(1)求a，b的值；
(2)若函数，求的值.
【答案】(1)，
(2)2
【分析】（1）由对数的运算即可求解；
（2）由（1）得到，进而得到，累加求和即可；
【详解】（1）由题意得，，，所以，
（2）由（1）知，，
则
所以，则
所以，
故.
16．（15分）
已知幂函数为奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)求函数（）的值域．
(3)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质列式运算判断；
（2）换元令，转化为二次函数求值域；
（3）利用二次函数对称轴与定义域关系讨论求解.
【详解】（1）∵函数为幂函数，
∴，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
因为函数为奇函数，∴.
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数的图像开口向下，对称轴为，
∴当时，函数，当，函数取得最大值为1，
∴的值域为，
故函数的值域为.
（3）函数，
当，即时，在区间上单调递增，最小值为；
当，即时，在区间上先减后增，最小值为；
当，即时，在区间上单调递减，最小值为．
综上，当时，；
当时，；
当时，.
17．（15分）
舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.
(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；
(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.
【答案】(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论；
（2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测；
（3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果.
【详解】（1）③；
根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③；
（2）将表格数据代入，得，，
解得，
故函数为，
则第4天时的舆论场指数为.
（3）若本次舆情不是严重的，则恒成立，
原式等于，故两边同时除以，得到，
不妨设，故原式等于，整理得，
由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可，
代入得，解得，
故的最小值为.
18．（17分）
已知函数（，且）．
(1)讨论的奇偶性；
(2)若，不等式恒成立，求t的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可；
（2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可.
【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且
当时，，即恒成立，
所以，即，此时，定义域为R，，
所以是R上的奇函数；
当时，，即恒成立，所以，即，
此时，定义域为R，，
所以是R上的偶函数；
当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数；
当且时，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数中，由，得，而，
所以，则，由（1）知是R上的奇函数；
因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数，
不等式，
因此，则，
解，得或；
解，即，得.于是，
所以t的取值范围是.
19．（17分）
如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.
①对任意的，有；
②对于任意的，若，则.
(1)是否存在指数函数是型函数？若存在，请求出该指数函数的解析式；若不存在，请说明理由；
(2)判断型函数在上的单调性并说明理由；
(3)求证：对于型函数，恒有（为正整数）.
【答案】(1)存在，
(2)增函数，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由指数函数的性质结合题目中函数新定义求解即可；
（2）由函数的单调性判断即可；
（3）对不等式进行放缩后由等比数列的求和公式求解；
【详解】（1）存在指数函数是U型函数；
对任意的，有；
对于任意的，若，
则，
即.
故函数是型函数.
（2）设，且，则.
因此
，
可知在上为增函数.
（3）因为，
所以
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156