2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第十一讲第二章函数与基本初等函数(章节验收卷)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第十一讲第二章函数与基本初等函数(章节验收卷)(原卷版+解析)，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则（ ）
A．3B．1C．D．
4．“”是“为幂函数”的（ ）条件．
A．充要B．必要不充分C．既不充分也不必要D．充分不必要
5．已知函数的图象关于原点对称，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，当时，火箭的最大速度为；当时，火箭的最大速度为．则（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．（，1）D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知且，则函数的图象一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知函数若存在满足，且则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的取值范围是D．的取值范围是
11．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．偶函数在区间上的最大值为，则实数 ．
13．已知且，若关于x的不等式恰有1个整数解，则a的取值范围是 ．
14．1.设函数满足下列条件：①若且则存在实数，使得；②方程至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；③；④；⑤.则 .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．化简下列各式：
(1)；
(2).
16．已知函数与的图象交点横坐标为，且的值域为．
(1)求的值；
(2)设函数若方程有且只有一个实数解，求的取值范围．
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在正实数，使得当时，函数的值域为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.
(1)证明：，并求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性（不需要用定义法证明），并解关于不等式：；
(3)设，对于，使得，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)证明：曲线是中心对称图形．
(2)已知，若，当且仅当时成立．
（ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）若是的零点，，求的值．
第二章 函数与基本初等函数（章节验收卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】由对数函数的性质可得.
【详解】由对数函数的性质可得，
所以函数的定义域是.
故选：B.
2．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数.
【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同，
，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数；
对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同，
故得到两个函数是同一函数；
对于C，两个函数的定义域相同为，
且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数；
对于D，两个函数定义域相同，，
对应法则相同，故两个函数是同一函数.
故选：A.
3．已知，，则（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】B
【知识点】指数幂的运算、对数的运算
【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解.
【详解】由，可得，，
则，
故选：B
4．“”是“为幂函数”的（ ）条件．
A．充要B．必要不充分C．既不充分也不必要D．充分不必要
【答案】D
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数是幂函数求参数值
【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足；
当为幂函数可得，解得或，
故必要性不满足，
所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件.
故选：D
5．已知函数的图象关于原点对称，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义，转化为恒成立问题求解即可.
【详解】易知的定义域为，且是奇函数，
则对任意均成立，
，
即
解得．
故选：D.
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，当时，火箭的最大速度为；当时，火箭的最大速度为．则（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】对数的运算、对数函数模型的应用（2）
【分析】结合已知，分别表达和时的，代入表达式，应用同底对数的减法法则运算即可求解.
【详解】由火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是，
当时，有，所以；
当时，有，所以；
可得．
故选：A．
7．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】根据对数函数的性质可得不等式在上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可得.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数的取值范围.
【详解】由题意可知，在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号，
所以.
因为函数在上单调，
所以在上单调，
由复合函数单调性可知在上单调，
所以结合二次函数的性质可得：或，解得或.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
8．已知函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．（，1）D．
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】将函数解析式化为分段函数，分、和三种情况讨论，结合函数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定的取值范围.
【详解】因为，
若时，，则有且仅有一个零点，不符合题意；
若，当时，，
则在上单调递增，且，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
要使恰有三个零点，则，解得；
若，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，，
所以在上单调递增，且，
要使恰有三个零点，则，解得；
综上可得实数的取值范围是.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知且，则函数的图象一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】AB
【知识点】对数型函数图象过定点问题、对数函数图象的应用
【分析】根据对数函数图象性质判断即可.
【详解】由，且，
则，
即函数过点,
当时，函数单调递增，过第一、二、三象限；
当时，函数单调递减，过第一、二、四象限．
故选：AB．
10．已知函数若存在满足，且则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的取值范围是D．的取值范围是
【答案】ACD
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】根据给定的分段函数，分析函数性质并作出图象，数形结合逐项判断.
【详解】函数的图象对称轴为，
由，得直线与函数的图象有3个交点，
其横坐标为，且，作出函数的图象和直线，如图，
观察图象，得，，即，AC正确；
当时，，则，于是，D正确；
由，即，得，B错误.
故选：ACD.
11．已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．
C．D．
【答案】BCD
【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值
【分析】利用函数奇偶性的定义推导出，进一步可推导出，结合函数周期性的定义可判断A选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD选项.
【详解】因为是偶函数， 所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以，
所以，所以的周期为，故A错误；
又当时，，
所以，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．偶函数在区间上的最大值为，则实数 ．
【答案】
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由奇偶性求参数
【分析】根据条件得到，再利用二次函数的性质，结合条件，即可求解.
【详解】因为是偶函数，则，则，
又在区间上的最大值为，且当时，，
所以，解得，
故答案为：.
13．已知且，若关于x的不等式恰有1个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】研究对数函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】根据给定条件，按分类讨论，结合对数函数与幂函数的变化快慢确定唯一整数解，进而列出不等式组求解.
【详解】不等式恰有1个解时，，
当时，，不等式无整数解；
当时，，随着的增大，函数比增长更快，
因此2是不等式的唯一整数解，则，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：
14．1.设函数满足下列条件：①若且则存在实数，使得；②方程至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；③；④；⑤.则 .
【答案】2026
【知识点】求函数值、函数与方程的综合应用、根据函数的单调性解不等式、函数新定义
【分析】设，由③得，设是的最小根，由②得，根据①⑤证得，且是方程的根，得，进而，得，再结合④即可得的值.
【详解】令，则．
设是的最小根，则．
若，则对于，由①及得出：存在，使得．
由⑤可知，矛盾，所以．
对于任意实数，由⑤有．
∴是方程的根．
∵是的最小根，
∴．
从而，，即．
∴．
又∵，∴．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)4
(2)
【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用
【分析】（1）根据对数的运算分析求解；
（2）根据指数幂运算分析求解.
【详解】（1）原式.
（2）根据分数指数幂的定义，得
，，，
原式.
16．已知函数与的图象交点横坐标为，且的值域为．
(1)求的值；
(2)设函数若方程有且只有一个实数解，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】求指数型复合函数的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】（1）依题意可得，即可得到，再分、、三种情况讨论，结合指数型函数的性质判断可得；
（2）首先得到的解析式，再分析函数在各段的单调性与值域，依题意与有且仅有一个交点，即可得解.
【详解】（1）依题意，即，所以，
当时，，显然不符合题意；
当时，的图象无限接近于直线，
当时的值域为，不符合题意；
当时的值域为，又的值域为，
所以，，经检验符合题意；
（2）由（1）可知，
因为，即，
所以当时单调递增，且；
当时，单调递减，且，
要使方程有且只有一个实数解，即与有且仅有一个交点，所以或，
即的取值范围为.
17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在正实数，使得当时，函数的值域为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在满足题意
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、由奇偶性求函数解析式
【分析】（1）根据函数是偶函数及即可求解；
（2）根据函数的单调性，将问题转化为方程有两个不相等的正根，再利用根与系数的关系即可求解.
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
解得，
所以当时，，
当时，可得，则，
所以函数的解析式为；
（2）存在．
假设存在正实数，使得当时，函数的值域为，
因为当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以为方程的两个根，即的两个根，
即的两根，整理得或，
解得或，
又，所以，
所以存在，使得当时，函数的值域为．
18．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.
(1)证明：，并求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性（不需要用定义法证明），并解关于不等式：；
(3)设，对于，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；，
(2)单调递增，；
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）由奇偶函数的定义化简得，结合已知条件解方程得到结果；
（2）通过解析式得出函数的单调性，再结合一元二次不等式计算求解；
（3）由单调性求出在，通过与的关系，分别写出函数在的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组后解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为①，则，
又为上的偶函数，为上的奇函数，则有②，
由①-②得到，所以
由①+②得到，所以.
（2）在上单调递增.
因为，所以，
所以，，所以或，
所以解集为；
（3），
因为，所以，所以，
因为对任意的，总存在，使得，
所以，
，
令，，
因为令在单调递增，故，
则，,
所以当时，，
故.
19．已知函数．
(1)证明：曲线是中心对称图形．
(2)已知，若，当且仅当时成立．
（ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）若是的零点，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【知识点】判断或证明函数的对称性、对数的运算性质的应用、零点存在性定理的应用、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】（1）由已知，得，即可证明；
（2）（ⅰ）由（1）知关于（9，9b）对称，计算即可求解；
（ⅱ）由（i），根据零点的概念可得，根据对数的运算性质和换元法可得，（令），进而与都是的零点，结合零点的存在性定理和的单调性可得，即可求解.
【详解】（1），
，．
即关于对称．
综上，曲线是中心对称图形．
（2）（ⅰ）因为，则的定义域为，
对于，函数在上单调递减，
所以在上单调递增，则函数在上单调递增，
又，函数是增函数，所以函数在上单调递增，
由（1）知关于对称．
当且仅当时成立，
当时，．
，即，
所以．
（ⅱ）因为是的零点，
所以 ，，
又，，
则，
令，则，
，即，都是方程的解，
与都是的零点，又由（ⅰ）知在上单调递增，
，即．