重庆市第八中学校2026届高三5月热身考试数学试卷（含解析）

这是一份重庆市第八中学校2026届高三5月热身考试数学试卷（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量,在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A．B．C．10D．18
4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
5．若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（ ）
A．B．C．2D．
6．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（ ）
A．2026B．2027C．4052D．4053
8．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态.假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则B，I灯区最终仍处于“点亮”状态的不同按法种数为（ ）
A．18B．20C．24D．36
二、多选题
9．两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A．的平均数为B．的方差为
C．若，则D．若，则
10．已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与是异面直线
B．侧棱与底面的夹角正弦值为
C．平面平面
D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则
11．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，成等比数列，，，成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．幂函数在区间上单调递增，则______.
13．直线与圆相交于、两点．写出使得的面积为1的一组，的值，________，________．
14．已知数列满足，，则__________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)若，求及的单调递增区间；
(2)已知在区间上单调递增，且，求的最小正周期.
16．在五面体中，平面，平面.
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中10处中轴线遗产点分为、、三种类型，如下表：
(1)在上述10处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学．
（i）求选取的3处遗产点都为类的概率；
（ii）设选取的3处遗产点的类型种数为，求的分布列及数学期望；
(2)若该研学团队有10人，每人随机的从10处遗产点选择一处研学，记这10人中选择、、类遗产点的人数分别为，，，记，，，比较方差，，的大小．
18．已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线交于两点.
（i）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由；
（ii）求四边形面积的取值范围.
19．已知函数，其中为非零实数．
(1)讨论的单调性；
(2)定义双自变量函数（，均为自变量，定义域均为），证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
参考答案
1．B
【详解】因为.
所以.
2．D
【详解】,又，
对于A，,因与都是集合，不能用“∈”连接，故A错误；
对于B，,故B错误；
对于C，,即C错误；
对于D，显然,故D正确.
3．B
【详解】
如图建立平面直角坐标系,由图知，，
则,故.
4．D
【详解】对于A，的最小正周期为，当时，，
由余弦曲线的图像知，该函数单调递减，故A不合题意；
对于B，，为偶函数，
结合正弦曲线的图像知，没有周期性，故B不合题意；
对于C，，最小正周期为，故C不合题意；
对于D，，
最小正周期为，当时，，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，故D符合题意．
5．A
【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍，
所以，即，所以，
抛物线的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点，
所以，所以，即.
6．B
【详解】由，得，
即，所以函数关于直线对称，
所以，且.
又，所以，且，.
所以，
所以是周期为的函数，所以.
7．C
【详解】因为，所以，
则等差数列为递增数列，
，
，
故使得的最大正整数为.
8．B
【详解】与B相邻的灯区为；与相邻的灯区为，
故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．
若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区．
①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；
②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；
③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．
故灯区最终仍处于“点亮”状态的不同按法种数为．
9．AC
【详解】由题意可知：，，即，，
对于选项A：因为，
所以的平均数为，故A正确；
对于选项C：若，
则，即，故C正确；
对于选项BD：例如两组数据分别为和，
则，，，，
数据的平均数为，方差为，故B错误；
且满足，，但，故D错误；
故选：AC.
10．ABD
【详解】对于A，因为平面，
平面，故与是异面直线，A正确，
对于B，由正四棱台，可知在底面的投影在对角线上，
如图，作于上的点，则平面，
再作于点，
因为平面，平面，
则，由平面，，
则平面，又平面，
则，则即为正四棱台侧面与底面夹角，
不妨设，则， 侧面与底面所成夹角的平面角，
故，， 所以，B正确；
对于C，若平面平面，
由面面平行的性质定理可得：，
又，
则四边形为平行四边形，
则，又为的中点，
所以，从已知条件中无法得到这个信息，故平面平面不成立，故C错误，
对于D，先将问题转化为平面几何问题： 记上下底面中心分别为，
过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，其一半为如图所示直角梯形，
若存在球与该正四棱台每个面都相切，不妨记该内切球球心为，半径为，
因为正四棱台侧面与底面夹角为，即，
由，得，
，又，
即，解得，D正确．
11．ACD
【详解】由，，成等比数列得，，
由，，成等差数列得，，
因为，
所以
，
所以，
由正弦定理得，，故A正确；
则，
代入得，，所以，故C正确；
将代入，
设，则（负值舍去），
则，显然，所以，故B错误；
所以，
又，所以，故D正确．
12．2
【详解】由幂函数在区间上单调递增，
得，所以.
故答案为：2
13． （答案不唯一，满足即可）
【详解】圆的半径 ，所以,
因为
所以，所以，
等腰直角，斜边 ，设圆心到直线距离是，
由 ，得，
直线 ，点到直线距离
所以，
取 ， 满足条件.
14．5
【详解】由，用分别替换，
得，，
联立，解得，
所以，联立,得.
由，，得，
所以，
又因为时，代入，得，
所以，故，
故答案为：5.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）因为
，
当时，，则.
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）因为，所以
因为在区间上单调递增，且，在区间上单调递增，
所以，解得.
又，在区间上单调递增，
所以曲线关于对称，且点在曲线的递增部分上，
则，
又在处单调递增，所以，解得，
又，所以，则，
所以的最小正周期为.
16．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面，
则平面，又平面，平面平面，
所以.
（2）令，则，有，
于是，由已知得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)（i）（ii）
；
(2)
【详解】（1）（i）设事件M：选取的3处遗产点都为A类，．
（ii）X的所有可能取值为1，2，3，，
，
．
故X的分布列为：
．
（2）由题意得，，所以；
，所以；
，所以．
因此．
18．(1)
(2)（i）存在，直线的方程为；（ii）
【详解】（1）因为关于轴对称，所以必在上，又，
所以不在上，所以在上，则，所以，
因此的方程为.
（2）（i）由题意知，假设四边形为平行四边形，设直线的方程为，
设，
将直线方程代入椭圆方程，化简整理得，
所以，，
所以，
所以中点坐标为，
若四边形为平行四边形，则与互相平分，所以为中点，
则，，所以点的坐标为，
代入，化简整理得，即，
解得或（舍），
所以，因此，存在四边形为平行四边形，
此时直线的方程为；
（ii）由点的坐标为，所以直线的方程为，代入双曲线方程，
化简整理得，则，所以，
即，又点关于原点对称，则，
因为点到直线的距离，
点到直线的距离，
因为，
代入，化简得，
因为，所以，因此，
由弦长公式可得，
所以四边形面积，代入，
化简整理得，因为，
所以.
19．(1)当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减．
(2)（ⅰ）由（1）可得当时，在上递减，在是递增，
所以（*）．
要证原式成立，只需证：．当a，b中至少有一个不小于1时，上式显然成立；
当a，b都小于1时，在（*）式中，令，则，同理可得．
所以，
综上，．
（ⅱ）由（*）式得，
令，则，
故，
令，
则，
作差得，
所以，
所以，即．
【详解】（1）由题意可得当时，函数的定义域为，
当时，函数的定义域为，
且，
当时，，在单调递增；
当时，
时，，在上递减；
时，，在递增；
当时，的定义域为，
时，，在上递增；
时，，在递减
综上，当时，在单调递增；
当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减．
（2）（i）略.
（ii）略.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
类型
（古代皇家宫苑建筑）
（古代皇家祭祀建筑）
（古代城市管理设施）
中轴线遗产点
景山
故宫
端门
太庙
社稷坛
天坛
先农坛
钟鼓楼
正阳门
永定门
X
1
2
3
P
X
1
2
3
P