湖南长沙市雅礼中学2026届高三数学模拟卷(一)

这是一份湖南长沙市雅礼中学2026届高三数学模拟卷(一)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题：∀x∈R，x+x≥0，则该命题的否定是（ ）
A．∀x∈R,x+x0过点A−1,0，且焦距为22.
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）过定点2,0的直线l与双曲线Γ交于B,C两点，若AB=AC，求直线l的方程.
17．已知函数fx=sinωx−2sin2ωx2+1其中实数ω>0.
（1）若fx的最小正周期为π，求 fx在x=0处的切线方程；
（2）若fx在区间0,π上恰有三个极值点、两个零点，求ω的取值范围.
18．如图，在三棱台A'B'C'−ABC中，AB⊥BC，AB=2A'B'=4，BC=42 ，M，N分别为AC,BC的中点，且AN⊥B'N.
（1）证明：A'M//平面AB'N；
（2）证明：平面AB'N⊥平面A'BM；
（3）若B'B=C'C=6，求平面AB'N与平面ABC的夹角的正弦值.
19．已知有穷数列 xn满足xn+1=lgaxn−lgae， 其中a>1，且最后一项xm≤0m≥2.
（1）当a=e，且m=2时，求x1的取值范围；
（2）当a>ee−2时，如果m足够大，
（i）证明：数列xn为单调递减数列；
（ii）探究数列 xn中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：根据命题的否定得该命题的否定为：∃x∈R,x+x0m2+3m=mm+31，
b+c>a，则b+c2>a2=2b2−2c2，整理得b2−2bc−3c20,b>0过点A(−1,0)，
代入点坐标得(−1)2a2=1，解得a2=1，
由焦距2c=22​得c=2，即c2=2，
故b2=c2−a2=2−1=1，
因此双曲线Γ的方程为： x2−y2=1；
（2）分两种情况讨论：
直线l斜率不存在时，
此时直线方程为x=2，代入双曲线得y=±3，
即B2,3,C2,−3，
计算得AB=9+3=23,AC=9+3=23，满足条件，
故x=2是符合要求的直线，
直线l斜率存在时，设直线l：y=k(x−2)，
联立双曲线x2−y2=1，整理得： (1−k2)x2+4k2x−(4k2+1)=0 ，
直线与双曲线交于两点，故1−k2≠0 （即k≠±1），且判别式Δ=12k2+4>0恒成立，
设B(x1,y1),C(x2,y2) ，BC中点为M(x0,y0)，
由韦达定理得： x1+x2=4k2k2−1，
因此x0=2k2k2−1，y0=k(x0−2)=2kk2−1，
由AB=AC，得A在BC的垂直平分线上，
故AM⊥BC，即k⋅kAM=−1 ，
代入坐标化简得： k⋅2k3k2−1=−1⇒5k2=1⇒k=±55，
即y=±55x−2，整理得x±5y−2=0，满足条件，
综上，直线l的方程为：x=2或x±5y−2=0.
17．【答案】（1）解：fx=sinωx−2sin2ωx2+1=sinωx+csωx=2sinωx+π4.
因为fx的最小正周期为π，所以2πω=π，解得ω=2.
所以fx=2sin2x+π4.
则f0=2sin2×0+π4=2×22=1，所以切点为0,1.
又f'x=22cs2x+π4，则f'0=22cs2×0+π4=22×22=2，
所以切线方程为y−1=2x−0，即2x−y+1=0.
（2）解：由（1）知，fx=2sinωx+π4，ω>0，x∈0,π，则ωx+π4∈π4,ωπ+π4，
因为fx在区间0,π上恰有三个极值点，所以π2,3π2,5π2∈π4,ωπ+π4，且7π2∉π4,ωπ+π4，
即5π20，当x>1lna时，f'xe−2，所以e2lna>1，所以00，当x>1lna时，f'xe−2，所以e2lna>1，所以0