天津河东区2026届高三第二学期质量检测（二）数学试题

这是一份天津河东区2026届高三第二学期质量检测（二）数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答庼等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共9个小题，每小题6分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.
1．已知全集U=0,1,2,3,4,5，集合A=0,1,4，集合B={x|x∈A}，则∁UA∩∁UB=（ ）
A．2B．0,1C．3,5D．2,3,4,5
2．已知x∈R，“1−2x≥3”是“x2−2x−3≥0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知函数fx=1−m5x+1，当函数fx为奇函数时，flg153为（ ）
A．−12B．−1C．0D．12
4．“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是（ ）
A．小明根据散点图判断气温与日期无相关关系
B．小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为y=−0.69x+2.92，其中x为日期（3月1日为x=1，3月31日为x=31）
C．小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱
D．小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关
5．已知a=e0.8，b=0.8e，c=lg0.8e，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c0,bn=2n−1>0，anbn>0，所以S2n=3+2n−32n+n2单调递增，
又n=7，S14=14602026，所以最小正整数n=8．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列an的通项公式为an=a1+n−1d，n∈N∗，等比数列bn的通项公式为bn=b12n−1，由题意，求等差数列，等比数列基本量证明即可；
（2）由（1）的结论，结合bk=am+a1求得2k−2=m，再根据m的范围，以及函数y=2x−2在R上单调递增求解元素个数即可；
（3）由已知得an=2n−1，bn=2n−1，设An=a1+a2+⋅⋅⋅+an=1+2n−12n=n2，
Bn=1×20+3×21+5×22+⋅⋅⋅+2n−1×2n−1，利用分组求和，结合错位相减法求S2n，再根据S2n单调性求解最小正整数n即可．
（1）设an的通项公式为an=a1+n−1d，n∈N∗，bn的通项公式为bn=b12n−1
因为a2−b2=a3−b3，所以a1+d−2b1=a1+2d−4b1，则d=2b1，
因为a2−b2=b4−a4，所以a1+d−2b1=8b1−a1−3d，则d=2a1，
所以a1=b1．
（2）由bk=am+a1，a1=b1得，a12k−1=a1+m−12a1+a1，所以2k−2=m，
又因为1≤m≤500，所以1≤2k−2≤500，
因为函数y=2x−2在R上单调递增，
所以k=2,3,4,5,6,7,8,9,10，元素个数为9．
（3）由已知得an=2n−1，bn=2n−1，S2n=a1+a2+⋅⋅⋅+an+a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn，
设An=a1+a2+⋅⋅⋅+an=1+2n−12n=n2，
设Bn=1×20+3×21+5×22+⋅⋅⋅+2n−1×2n−1①
2Bn=1×21+3×22+5×23+⋅⋅⋅+2n−1×2n②
①-②得：−Bn=1−2n−12n+221+22+⋅⋅⋅+2n−1，
Bn=3+2n−32n，
所以S2n=An+Bn=3+2n−32n+n2，
因为an=2n−1>0,bn=2n−1>0，anbn>0，
所以S2n=3+2n−32n+n2单调递增，
又n=7，S14=14602026，
所以最小正整数n=8．
19．【答案】（1）解：易知A0,b，Fc,0，Ec2,0，
椭圆的离心率为22，则a=2c，b=c，AE=c22+b2=52c=5，解得c=2，
则a=22，b=2，即椭圆方程为x28+y24=1；
（2）解：由（1）可知，A0,2,F2,0，则E1,0，直线AF的方程为：x+y−2=0，
因为∠PAF=∠EAF，所以点E关于直线AF的对称点在直线AP上，
因为E1,0关于直线x+y−2=0的对称点为2,1，所以直线AP的斜率为k=2−10−2=−12，
设lAP:y−2=−12x−0，联立y=−12x+2x2+2y2−8=0，32x2−4x=0，解得x1=0（舍），x2=83，
所以P83,23，即y0=23；
（3）证明：设Qt,−x02y0t,t>0，
因为PQ=22，所以x0−t2+y0+x02y0t2=8，整理为1+x024y02t2−x0t+x02+y02−8=0，
由椭圆方程可知x02+2y02−8=0代入得8+2y024y02t2−x0t−y02=0，Δ=16，
因为t>0，所以t=2y024−x0，则Q2y024−x0,−x0y04−x0，
kPQ=−x0y04−x0−y02y024−x0−x0=y0x0−2，lPQ:y−y0=y0x0−2x−x0．
整理为lPQ:y=y0x0−2x−2，显然过定点，定点坐标为2,0．
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知A0,b，Fc,0，Ec2,0，根据椭圆的离心率以及AE=5求得a,b的值，即可得椭圆方程；
（2）由（1）可知，A0,2,F2,0，E1,0，直线AF的方程为：x+y−2=0，求出点E关于直线AF的对称点，利用斜率公式求得直线AP的斜率，利用点斜式求得直线AP的方程，联立直线与椭圆方程求解即可；
（3）设Qt,−x02y0t,t>0，由PQ=22，利用两点之间距离公式得出t的方程，结合椭圆方程求解t，再表示出直线PQ证明即可．
（1）由离心率为22，得a=2c，所以b=c，A0,b，Fc,0，Ec2,0，
AE=c22+b2=52c=5，
所以c=2，则a=22，b=2，所以x28+y24=1．
（2）由（1）可知，A0,2,F2,0，则E1,0，
所以直线AF的方程为：x+y−2=0，
因为∠PAF=∠EAF，所以点E关于直线AF的对称点在直线AP上，
因为E1,0关于直线x+y−2=0的对称点为2,1，
所以直线AP的斜率为k=2−10−2=−12，可设lAP:y−2=−12x−0，
联立y=−12x+2x2+2y2−8=0，32x2−4x=0，解得x1=0（舍），x2=83，
所以P83,23，即y0=23．
（3）设Qt,−x02y0t,t>0，因为PQ=22，
所以x0−t2+y0+x02y0t2=8，整理为1+x024y02t2−x0t+x02+y02−8=0，
由椭圆方程可知x02+2y02−8=0代入得8+2y024y02t2−x0t−y02=0，Δ=16，
因为t>0，所以t=2y024−x0，则Q2y024−x0,−x0y04−x0，
kPQ=−x0y04−x0−y02y024−x0−x0=y0x0−2，lPQ:y−y0=y0x0−2x−x0．
整理为lPQ:y=y0x0−2x−2，显然过定点，定点坐标为2,0．
20．【答案】（1）解：函数fx=e2x−1−ax定义域为R，f'x=2e2x−1−a，
①当a≤0时，f'(x)>0，则fx单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去；
②当a>0时，令f'x=0，设x0=1+lna22，
在−∞,x0上，f'x0，得t>0，
因为F't=et+tet=et1+t>0，所以Ft在0,+∞为单调递增函数，t=3为方程Ft=3e3的唯一解，
所以x0=2，a=e3；
（3）解：gx=fx+ax−lnax=e2x−1−lnax(a>0)，
设φx=e2x−1−2x，φ'x=2e2x−1−2，令φ'x=0，得x0=12，
当x∈0,12时，φ'x0，fx在x0,+∞单调递增，
所以fx的极小值为fx0，
由已知，x→+∞时fx>0，x→−∞时fx>0，只须fx00，
所以Ft在0,+∞为单调递增函数，t=3为方程Ft=3e3的唯一解．
所以x0=2，a=e3．
（3）gx=fx+ax−lnax=e2x−1−lnax(a>0)，
设φx=e2x−1−2x，
φ'x=2e2x−1−2，令φ'x=0，得x0=12，
当x∈0,12时，φ'x