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精品解析：重庆市第八中学校2024届高三下学期5月月考数学试卷
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1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图所示，U是全集，A，B是U子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设，是两条不同直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线l：对称的点在椭圆C上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，则曲线的法线的纵截距的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知盘子A中有3颗糖，盘子B中有4颗糖，小琨每次随机从其中一个盘子中选择吃一颗糖，直到7颗糖全部吃完为止，则盘子A中的糖先吃完的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 棱长为3的正方体容器中，点E是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是棱BC上靠近B的三等分点，在点E，F，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为（ ）
A. 0B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若正项无穷数列是等差数列，且，则（ ）
A.
B. 当时，前20项和为128
C. 公差d的取值范围是
D. 当为整数时，的最大值为9
10. 已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》的章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．实际上，设圆锥母线与轴所成角为，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为θ．则当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线．则在长方体中，，，点P在平面ABCD内，下列选项正确的是（ ）
A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为直线
B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆
C. 若，则点P的轨迹为抛物线
D. 若，则点P的轨迹为双曲线
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数r=______，其决定系数=______．
13. 已知直线l：被动圆C：截得的弦长为定值，则直线l的方程为______．
14. 满足且互不相似的的个数为______个．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即为未患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病的小白鼠为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
若随机变量，分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数．
（1）求，能取到的最大值和其对应的概率；
（2）为使检测次数的期望最小，同学们应该选取甲方案还是乙方案？并说明理由．
16. 已知数列满足，．
（1）求，，，并求证：；
（2）求数列的前2n项和．
17. 如图，在直三棱柱中，，为线段上一点，平面交棱于点．
（1）求证：直线共点；
（2）若点为中点，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：三棱锥体积为；
条件②：三棱柱的外接球半径为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18. 已知M为双曲线C：上的动点，过点M作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q．
（1）求值；
（2）设，分别为双曲线C左、右顶点，过点的直线l与双曲线C交于A，B两点（点A在x轴上方），R为直线，的交点，若点R的纵坐标为，求直线l的方程．
19. 已知函数，．
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图所示，U是全集，A，B是U子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设，是两条不同直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线l：对称的点在椭圆C上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，则曲线的法线的纵截距的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知盘子A中有3颗糖，盘子B中有4颗糖，小琨每次随机从其中一个盘子中选择吃一颗糖，直到7颗糖全部吃完为止，则盘子A中的糖先吃完的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 棱长为3的正方体容器中，点E是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是棱BC上靠近B的三等分点，在点E，F，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为（ ）
A. 0B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若正项无穷数列是等差数列，且，则（ ）
A.
B. 当时，前20项和为128
C. 公差d的取值范围是
D. 当为整数时，的最大值为9
10. 已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》的章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．实际上，设圆锥母线与轴所成角为，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为θ．则当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线．则在长方体中，，，点P在平面ABCD内，下列选项正确的是（ ）
A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为直线
B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆
C. 若，则点P的轨迹为抛物线
D. 若，则点P的轨迹为双曲线
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知成对样本数据，，…，中，，…，不全相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数r=______，其决定系数=______．
13. 已知直线l：被动圆C：截得的弦长为定值，则直线l的方程为______．
14. 满足且互不相似的的个数为______个．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验结果呈阳性的即为患病，呈阴性即为未患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小白鼠为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病的小白鼠为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
若随机变量，分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数．
（1）求，能取到的最大值和其对应的概率；
（2）为使检测次数的期望最小，同学们应该选取甲方案还是乙方案？并说明理由．
16. 已知数列满足，．
（1）求，，，并求证：；
（2）求数列的前2n项和．
17. 如图，在直三棱柱中，，为线段上一点，平面交棱于点．
（1）求证：直线共点；
（2）若点为中点，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：三棱锥体积为；
条件②：三棱柱的外接球半径为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18. 已知M为双曲线C：上的动点，过点M作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q．
（1）求值；
（2）设，分别为双曲线C左、右顶点，过点的直线l与双曲线C交于A，B两点（点A在x轴上方），R为直线，的交点，若点R的纵坐标为，求直线l的方程．
19. 已知函数，．
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．
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