2027届高三数学一轮复习试题规范练41数列中的综合问题（Word版附解析）

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1.(13分)(2026·江苏苏州模拟)已知数列{an}的前n项为Sn,且Sn=n2.正项等比数列{bn}的首项为1,Tn为其前n项和,且T5=5T3-4.
(1)求an,bn;
(2)当λ>0时,若λSn≤Tn+1对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.
2.(15分)(2026·浙江杭州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3n2+5n,数列{bn}是等比数列,公比q>0,b1=6,b3=2a3+4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=1,2k0,则λ·n2≤1-2n1-2+1=2n,即λ≤2nn2对任意的n∈N*恒成立.
当n=1时,2nn2=2,
当n≥2时,设数列{2nn2}在第n项取得最小值,则2nn2≤2n-1(n-1)2,2nn2≤2n+1(n+1)2,解得2+1≤n≤2+2,而n∈N*,则n=3,此时2nn2取得最小值89,即λ≤89,则实数λ的最大值为89.
2.解 (1)当n=1时,由2S1=2a1=8得a1=4.
当n≥2时,由2Sn=3n2+5n得2Sn-1=3(n-1)2+5(n-1),
两式相减整理得an=3n+1.
显然a1=4符合上式,所以an=3n+1.
由q>0,b1=6,且b3=2×(3×3+1)+4=24=b1q2,所以q=2,
所以bn=b1qn-1=3·2n.
(2)①易知210=1 024