2027届高三数学一轮复习试题规范练42基本立体图形及空间几何体的表面积与体积（Word版附解析）

这是一份2027届高三数学一轮复习试题规范练42基本立体图形及空间几何体的表面积与体积（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.下列命题是真命题的是( )
A.两个四棱锥可以拼成一个四棱柱
B.正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C.经过不共线的三个点的球有且只有一个
D.直棱柱的侧面是矩形
2.如图,用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图是Rt△A'O'B',若A'B'的中点在y'轴上,且O'A'=O'B'=2,则AB=( )
A.26B.4
C.23D.2
3.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=8,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面AEF,则△AEF周长的最小值为( )
A.62B.63
C.82D.83
4.(2024·新高考Ⅰ,5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为( )
A.23πB.33π
C.63πD.93π
5.(2025·山东威海模拟)已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1∶2∶3,高为4,则该圆台的体积为( )
A.40π3B.56π3
C.40πD.56π
6.等腰四面体是一种特殊的三棱锥,它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12,则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为( )
A.3B.4
C.6D.8
7.(2025·天津和平模拟)已知底面半径为r的圆锥,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为r4,则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为( )
A.35B.235C.3316D.338
8.(2025·江苏南通模拟)若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切,则该正三棱柱外接球的表面积为( )
A.4πB.5π
C.16πD.20π
9.(多选题)(2025·河北衡水中学模拟)如图,该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体,若该几何体底面棱长和上面正四棱锥的侧棱长均为10 cm,则下列选项中正确的是( )
A.正四棱锥的高为52 cm
B.该几何体的表面积为(1003+2002)cm2
C.该几何体的体积为2 00023cm3
D.一只小蚂蚁从点E爬行到点S,它所经过的最短路程为150+506 cm
10.(2020·新高考Ⅱ,13)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为 .
11.(2024·九省适应性测试,13)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是 ,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是 .
12.(2025·上海徐汇中学模拟)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面,底面ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1=2,则四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为 .
综合提升练
13.(2022·全国甲,理9,文10)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙=( )
A.5B.22
C.10D.5104
14.已知一个圆锥的高是3,在正放(底面水平放置)时该圆锥内水面高度为2,现将圆锥倒置,则此时圆锥内的水面高度为( )
A.52B.324
C.325D.326
15.(2025·浙江嘉兴模拟)若某正四面体的内切球的表面积为4π,则该正四面体的外接球的体积为( )
A.9πB.27πC.36πD.64π
16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=π2,点P,E分别为棱A1C1,AA1上的动点(不包括端点),若AE=A1P,则三棱锥B1-A1PE的体积的最大值为 .
参考答案
课时规范练42 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积
1.D 解析 对于A,两个四棱锥不一定能拼成一个四棱柱,故A为假命题;对于B,正三棱锥的底面是等边三角形,侧面是等腰三角形,不一定是等边三角形,故B为假命题;对于C,经过不共线的三个点只能确定一个平面,经过不共线的三个点的球有无数个,故C为假命题;对于D,直棱柱的侧面是矩形,故D为真命题.故选D.
2.A 解析 由题可知,M'为A'B'的中点,O'A'=O'B'=2,则O'M'=1.
作M'N'∥O'A',则M'N'=22,如图.
作出原图形,
所以OA=2,OM=2,MN=22.
由OA⊥OM,所以AM=6.
又M为AB的中点,所以AB=26.故选A.
3.C 解析 如图,沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内,如图所示,
则AA'即为△AEF的周长的最小值.
因为∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,
所以∠AVA'=3×30°=90°.在△VAA'中,VA=VA'=8,由勾股定理得,AA'=VA2+VA'2=82+82=82.故选C.
4.B 解析 ∵圆柱和圆锥的底面半径相等,∴可设圆柱和圆锥的底面半径为r.
又圆柱和圆锥的高均为3,
∴圆柱的侧面积为2πr·3,圆锥的侧面积为πr·r2+(3)2=πr·r2+3.又圆柱和圆锥的侧面积相等,∴2πr·3=πr·r2+3,∴r2=9.∴圆锥的体积为13·πr2·3=13·π·9·3=33π.
5.B 解析 设上底面的半径为r,则下底面的半径为2r,母线长为3r,故4=9r2-(2r-r)2=22r,得r=2,故圆台的体积为13×4×[π(2)2+π(22)2+π×2×22]=56π3.故选B.
6.B 解析 如图所示,等腰四面体A-BCD的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积.
设长方体长,宽,高分别为a,b,c,则等腰四面体A-BCD的体积V=abc-4×13×12abc=13abc=4.故选B.
7. C 解析 由题意可知,圆锥的轴截面是边长为2r的正三角形,则圆锥的高SO=3r,如图.
易知,△SO1M∽△SOB,可得14=O1MOB=SO1SO,则SO1=14SO,∴OO1=34SO=33r4,圆柱侧面积S1=2π·r4·33r4=338πr2,圆锥侧面积S2=12·2πr·2r=2πr2,则S1S2=338×12=3316.故选C.
8.D 解析 因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切,所以正三棱柱的高h=2.
又底面正三角形的内切圆半径为1,则底面正三角形的外接圆半径r=1sin30°=2,所以该正三棱柱外接球半径为R=r2+(ℎ2) 2=22+12=5,所以外接球的表面积为4πR2=20π.故选D.
9.ACD 解析 对于A,由题可得,OA=12×102+102=52 cm,SO=SA2-OA2=102-(52)2=52 cm,故A正确;对于B,几何体的表面积为102+4×10×52+4×34×102=(100+2002+1003)cm2,故B错误;对于C,该几何体的体积为102×52+13×102×52=2 00023 cm3,故C正确;对于D,观察图形知,小蚂蚁从点E爬行到点S的最短路径为沿表面越过棱AB或AD,到达点S.
不妨将长方形EFBA及正三角形SAB置于同一平面内,连接SE,如图.
取EF中点M,连接SM,则SI=53,故SM=53+52.
又EM=5,
所以最短路程为SE=EM2+SM2=52+(52+53)2=150+506 cm,故D正确.故选ACD.
10.1 解析 如图,因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1A1⊥平面AA1B1B,所以D1A1⊥平面A1MN.所以VA1-D1MN=VD1-A1MN=13·S△A1MN·A1D1=13(2×2-12×1×2×2-12×1×1)×2=13×32×2=1.
11.23 1 解析 设圆锥的底面半径为r,球的半径为R.因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆锥的高h=3r,母线长l=2r.由题可知h=2R,所以球的半径R=32r,所以圆锥的体积V1=13×π×r2×3r=33πr3,球的体积V2=43πR3=43π×(32r)3=32πr3,所以V1V2=33πr332πr3=23.圆锥的表面积S1=πrl+πr2=3πr2,球的表面积S2=4πR2=4π×(32r)2=3πr2,所以S1S2=3πr23πr2=1.
12.733 解析 过点D1作D1H⊥AD于点H,则D1H∥A1A.
因为AA1⊥平面ABCD,所以D1H⊥平面ABCD.
在Rt△D1DH中,DD1=2,DH=2-1=1,可得D1H=DD12-DH2=3,从而棱台的高A1A=D1H=3,所以四棱台的体积为V=13(S'+S'S+S)h=13×(1+2+4)×3=733.
13.C 解析 如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V甲V乙=13πr12ℎ113πr22ℎ2=22×512×22=10.故选C.
14.D 解析 如图,设圆锥底面半径为r,则O'B'r=PO'PO=3-23,即O'B'=r3,
所以水的体积为13πr2×3-13π(r3)2×1=2627πr2.
将圆锥倒置后,水的体积不变,所以13πO1B12×PO1=2627πr2.
又PO1PO=O1B1r,即O1B1=PO1·r3,代入可得,13π(PO1·r3)2×PO1=2627πr2,解得PO1=326.故选D.
15.C 解析 正四面体的内切球与其外接球球心重合,
如图,正四面体ABCD内切球与外接球球心O在高AO1上,则OO1是正四面体ABCD内切球半径,OA是正四面体ABCD外接球半径.
由正四面体ABCD的内切球的表面积为4π,得OO1=1.
令AB=a,BO1=32a×23=33a,AO1=AB2-BO12=63a,BO=AO=63a-1.在Rt△BOO1中,(63a-1)2-(33a)2=1,解得a=26,AO=3,所以该正四面体的外接球的体积V=4π3OA3=36π.故选C.
16.13 解析 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,故A1E为三棱锥E-A1B1P的高.
设AE=A1P=t,t∈(0,2),则A1E=2-t.
因为∠BAC=π2,则AB⊥AC,故A1B1⊥A1C1,则S△A1B1P=12A1P×A1B1=t,故VB1-A1PE=VE-A1B1P=13S△A1B1P·A1E=13t(2-t)=-13(t-1)2+13,故当t=1时,三棱锥B1-A1PE的体积有最大值13.